《等差数列一》教学设计

教学目标

1.知识目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；能运用等差数列的通项公式解决一些问题。

2.能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。通过强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。

3.情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。

教学重难点

1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。 2.教学难点：对等差数列中“等差”两字的把握，通项公式的推导。

教学过程 一.课题引入

①数学家高斯八岁时计算1+2+3+···+100=? 时，所用到的数列：1，2，3，4，...，100

②姚明刚在NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，．8500，9000

③双星女运动鞋的尺码（单位是cm）:221111,23,23,24,24,25,25,26 2222引导学生观察 ，发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的

差等于同一个常数，我们把有这一特点的数列叫做等差数列（板书课题）。

二、新课探究

（一）等差数列的定义

1、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 上面三个数列都是等差数列，公差依次是 ， ， 。 你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？强调：

①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；

②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；

在理解概念的基础上，思考将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： 2、等差数列定义的数学表达式： anan1d(d是常数,nN且n2)

练习1：

① 9 ，8，7，6，5，4，„„是等差数列吗？ ②常数列３，３，„，３，„是等差数列吗？

③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？

可见，公差d可以是正数、负数，也可以是0；

当d0,是递增数列;当d0,是递减数列;当d0,是常数列.

④若数列an满足：an1and(d是常数,nN且n2) ，则数列an是等差数列吗？

（二）等差数列的通项公式

1、公式推导

如果等差数列an首项是a1，公差是d，那么这个等差数列a2,a3,a4如何表示？an呢？

根据等差数列的定义可得：

a2a1d ，a3a2d，a4a3d，„。 所以：a2a1d，

a3a2da1dda12d， a4a3da12dda13d， „„

由此完成ana1()d填空（学生易归纳填出），得ana1(n1)d„(*)，这

是等差数列的通项公式吗？（让学生回答）

当n1时，对(*)式两边均为a1,即等式也成立，说明(*)式对nN*都成立，因此等差数列的通项公式就是: ana1(n1)d，nN*

上面求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不严谨，因此我们有必要寻求更严谨的推导方法，学生思考：

根据等差数列的定义可得：

a1a1

a2a1d

a3a2d

„„

anan1d 将以上n个式子相加得an法叫叠加法。

a1(n1)d（过程体现探索）。这种求通项公式的方

2、公式理解

通项公式含有a1,d,n,an这4个量，已知三个量，第4个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第4个量。即利用方程的思想“知三可求一”。

三、应用例题

例１．已知等差数列１８，１５，１２，９，„„ ①请写出a20,an

②-279是否是这个数列中的项，若是，则是第几项？

分析：要判断-279是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得

an279成立，实质上是要求方程an279的正整数解。

例2．已知等差数列an中，a510,a1525,求a25的值。

a14a5a14d 解：3a2540。

aa14dd1152解方程组比较麻烦，可否避免？ 发现：a15a510d(155)d——是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？

思考：在公差为d的等差数列an中，an与am有何关系？

分析：

{

比较anana1(n1)dama1(m1)danam(nm)danam(nm)da1(n1)d与amanmnd 发现，前式是后式的特例，后式是

anmnd叫做等差数列的变通式。

前式的推广。 为此我们不妨把am用变通式再解例2。 练习2：

(1)在等差数列an中,已知a510，a1231 ,则an ； (2)若d2,a20397，则 an (3) 在等差数列an中,已知a11，a2a54,an33 ,则n的值为 ； 3四、课堂小结

1.等差数列定义

2.等差数列通项公式推导及应用

五、作业 六、板书设计