高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案

1. 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

2 .已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C． 解：∵A∪B=A ∴B

A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或1或2∴C={0，1，2}

3 。已知mA,nB, 且集合A=x|x2a,aZ，B=x|x2a1,aZ，又C=x|x4a1,aZ，则有：m+n (填A,B,C中的一个)

解：∵mA, ∴设m=2a1,a1Z, 又∵nB,∴n=2a2+1,a2 Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB。

4 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p

的取值范围．

解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1

p≥2.由B

A得：－2≤p＋1且2p－1≤5.

由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3

②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2. 由①、②得：p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A

B等集合问题易忽视空集

的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

5 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2

}．若A=B，求c的值．

分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2

－ac－a=0， ∵a≠0，∴2c2－c－1=0，

即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－

12． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A是实数集，满足若a∈A，则

11aA，a1且1A.

⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.

⑶若a∈A，证明：1－

1a∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.

解：⑴2∈A  －1∈A 

12∈A  2∈A ∴ A中至少还有两个元素：－1和12

⑵如果A为单元素集合，则a＝11a即a2a1＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集 ⑶a∈A 

111a∈A  ∈A

1a1a1A，即1－111a∈A

1a⑷由⑶知a∈A时，

11a∈A， 1－1a∈A .现在证明a,1－1a, 11a三数互不相等.

①若a=11a,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠11a

②若a=1－11a，即a2

-a+1=0，方程无解∴a≠1－a

③若1－1a =11a，即a2-a+1=0，方程无解∴1－11a≠1a.

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

7 设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；

（2）从M到N的映射满足 f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数. 解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

一共有27个映射

a0（2）符合条件的映射共有4个,a2a2a2b2,b2,b0,b0,

c2c2c2c08.已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x1)的定义域

解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0x1∴f(x1)满足0x11

1x0，∴f(x1)的定义域是[－1，0]

9根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知f(x)是二次函数，若f(0)0,f(x1)f(x)x1，求f(x). （2）已知f(x1)x2x，求f(x)

（3）若f(x)满足f(x)2f(1x)ax,求f(x) 解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设f(x)＝ax2bxc(a0)由于f(0)0得f(x)ax2bx，

又由f(x1)f(x)x1，∴a(x1)2b(x1)ax2bxx1 即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1

2abb1a0ab1ab12 因此：f(x)＝112x22x

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设

ux1(x0),xu1(u1)f(u)(u1)22(u1)u21(u1)∴f(x)＝x21 （x1）

（3）由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解

用

1x代x可得：f(1x)2f(x)a1x,与 f(x)2f(1x)ax 联列可消去f(1x)得：f(x)＝2a3xax3.

点评：求函数解析式（1）若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g(x)]表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知3x22y26x，试求x2y2的最大值.

分析：要求x2y2的最大值，由已知条件很快将x2y2变为一元二次函数

f(x)1(x3)29,然后求极值点的x值，联系到y2220，这一条件，既快又准地求

出最大值.

解6xy23 由 3x22y2x2得23x.

y20,32x23x0,0x2.又x2y2x232x23x12(x3)292, 当x2时，x2y2有最大值，最大值为192(23)224.

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由 3x22y26x得 y232x23x,

x2y2x23219x3x(x3)2, 2229当x3时，x2y2取最大值，最大值为

2这种解法由于忽略了y20这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1,并且对任意的实数x,y都有

f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式.

解法一：由f(0)1,f(xy)f(x)y(2xy1)，设xy，

得f(0)f(x)x(2xx1)，所以f(x)＝x2x1

解法二：令x0，得f(0y)f(0)y(y1)即f(y)1y(y1)

又将y用x代换到上式中得f(x)＝x2x1

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数f(x)(1x)1x1x的奇偶性. 解：f(x)(1x)1x1x1x有意义时必须满足1x01x1 即函数的定义域是｛x｜1x1｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 13 判断f(x)log2(xx21)的奇偶性.

正解：方法一：∵f(x)log22(x(x)1)log2(xx21)

＝log12＝xx21log2(xx21)＝－f(x)∴f(x)是奇函数

方法二：∵f(x)f(x)log(xx21)log222(xx1)

＝log2[(xx21)(xx21)log210

f(x)f(x) ∴f(x)是奇函数

14函数y=54xx的单调增区间是_________.

解：y=54xx的定义域是[5,1]，又g(x)54xx2在区间[5,2]上增函数，22在区间[2,1]是减函数，所以y=54xx2的增区间是[5,2]

15已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.

解：由3x33得0x6,故03－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还

应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

(x1)29(x2)所以y24

(x12)294(x2)这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)

(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)

点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.

17若f(x)=

ax1x2在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围 解：设2x1x2,f(x1)f(xax11ax22)x1x 1222(ax11)(x22)(ax21)(x12)(x12)(x22)

(ax1x22ax1x22)(ax1x22ax2x12)(x

12)(x22)2ax1x12ax2x2(2a1)(x1x2)(x2)(x122)(x12)(x22) 由f(x)=

ax1x2在区间（－2，＋）上是增函数得 f(xf(x2a10 ∴a＞11)2)02

点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(

12)=－1,当且仅当0xy1xy),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(

xy1xy),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(

xx1x2)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0x2x11x)

1x2

xx∵00,1－x1x2>0，∴

211x>0,

1x2又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<

x2x11x<1,由题意知f(x2x1)<0

2x11x1x

2即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不

过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定

x2x11x的范围是解题的焦点.

1x219已知loga,18b1895,求log3645

解：∵18b5,∴log185b ∴logba3645log1845log185log18log9baba

1836log184log189log182182a18(9)a2log18(9)a

20知yloga(2ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0 ∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知

ylogau应为增函数，∴a＞1

又由于x 在[0，1]上时 yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，

u2ax取最小值是umin2a＞0即可， ∴a＜2

综上可知所求的取值范围是1＜a＜2 21已知函数f(x)loga(3ax).

（1）当x[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.

（2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如

果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

分析：函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.

解：（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a0,a1

显然，函数g(x)= 3ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a＞0得到a＜32 ∴a的取值范围是（0，1）∪（1，

32） (2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1 ∴a＝

32此时f(x)log3a(32x) 当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.

点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处

理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.

22已知函数f(x)=lg12x4xaa2a1, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.

分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.

解：12x4xaa2a1>0, 且a2

－a+1=(a－1232)+4>0, ∴ 1+2x+4x·a>0, a>(14x12x), 当x∈(－∞, 1]时, y=114x与y=2x都是减函数，

∴ y=(111134x2x)在(－∞, 1]上是增函数，(4x2x)max=－4,

∴ a>－34, 故a的取值范围是(－34, +∞).

点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换

位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=(14x12x)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 23若(a1)13(32a)13，试求a的取值范围.

解：∵幂函数yx13有两个单调区间，

∴根据a1和32a的正、负情况，有以下关系

a10a1032a0.① 32a0.② a10.③a132aa132a32a0 解三个不等式组：①得23＜a＜32，②无解，③a＜－1 ∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）

点评：幂函数yx13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认

为a132a，从而导致解题错误. 24 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) =

aa21 (x －1x ) (1)求f(x)；

(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=logax(t∈R)，则

xat,f(t)aa21(atat),f(x)axxa21(aa),(xR). (2)f(x)aa21(axax)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,aa210, u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.

(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m21).又 x(1,1)11m11m2111m2. 1mm21点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.

25已知函数f(x)x2ax3a若x[2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 解：设f(x)的最小值为g(a)

（1）当a722即a＞4时，g(a)＝f(2)＝7－3a≥0，得a3故此时a不存在；

(2) 当a2[2,2]即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2

又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； （3）a22即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－4 故－7≤a＜－4 综上，得－7≤a≤2

26已知mx2x10有且只有一根在区间（0,1）内，求m的取值范围. 解：设f(x)mx2x1，（1）当m＝0时方程的根为－1，不满足条件. （2）当m≠0∵mx2x10有且只有一根在区间（0,1）内 又f(0)＝1＞0

∴有两种可能情形①f(1)0得m＜－2 或者②f(1)0且0<12m<1得m不存在 综上所得，m＜－2

27.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程

x2+（2k－3）x－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

解：令f(x)x2(2k3)x(3k1)那么由条件得到

2(2k3)4(3k1)04k250f(0)13k0k1f(2)42(2k3)(3k1)0即3即此不等式无解 k102k32232k72即不存在满足条件的k值.

28已知二次函数f(x)ax2bxc对于x1、x2R，且x1＜x2时

f(x，求证：方程f(x)＝11)f(x2)2[f(x1)f(x2)]有不等实根，且必有一根属于区间

（x1，x2）.

解：设F（x）＝f(x)－12[f(x1)f(x2)]，

则方程 f(x)＝12[f(x1)f(x2)] ①

与方程 F（x）＝0 ② 等价 ∵F（x1）＝f(x1)－[f(x1)f(x2)]＝[f(x1)f(x2)] F（x2）＝f(x2)－[f(x1)f(x2)]＝[f(x1)f(x2)] ∴ F（x1）·F（x2）＝－[f(x1)f(x2)]2，又f(x1)f(x2)

∴F（x1）·F（x2）＜0

故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，1212121214所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

点评：本题由于方程是f(x)＝12[f(x1)f(x2)]，其中因为有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（x）＝f(x)－12[f(x1)f(x2)]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.

29试确定方程2x3x24x20最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整

数.

分析：只要构造函数f(x)＝2x3x24x2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令f(x)＝2x3x24x2

∵f(3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 f(2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 f(1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，

，f0()＝0－0－0＋2＝2＞0 f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0， f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0

根据f(2)·f(1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0 可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

2x3x24x2

x2(2x1)2(2x1)2(x12)(x22)2(x1

2)(x2)(x2)所以2x3x24x2＝0有三个根：

12,2,2 30设二次函数f(x)ax2bxc(a0),方程f(x)x0的两个根x1,x2，满足0x1x21a. （1）当x(0,x1)时，证明xf(x)x1；

（2）设函数f(x)ax2bxc(a0),的图像关于直线xx0对称，证明：

xx102. 分析：（1）用作差比较法证明不等式xf(x)x1；

（2）函数f(x)ax2bxc(a0),图像关于直线xx0对称，实际直线xx0就是二次函数的对称轴，即x0b2a，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设F(x)f(x)xa(xx1)(xx2) 当x(0,x1)时，由于x1x2，∴(xx1)(xx2)0，又a0 ∴F(x)f(x)xa(xx1)(xx2)>0即xf(x)

x1f(x)x1[xF(x)]x1xF(x)(x1x)(1axax2)(x

1x)(1ax2)∵0xx11x2a.∴x1x0,1ax20 ∴x1f(x)0 综合得xf(x)x1 （2）依题意知xb02a，又xb11x2a ∴xba(x1x2)1ax02a2a1ax212a

∵ax210,∴x0ax1x1 2a2点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达

式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即x0b2a 31已知函数f(x)x22bxc(cb1),f(1)0，且方程f(x)10有实根. (1)求证：-3(2)若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有cb1和方程f(x)10有实根.

及一个等式f(1)0，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断f(m4)的符号，因而只要研究出m4值的范围即可定出f(m4)符号. (1)证明：由f(1)0，得1+2b+c=0,解得bc12，又cb1， 1c12c 解得3c13， 又由于方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根，

故4b24(c1)0即(c1)24(c1)0解得c3或c1 ∴3c1，由bc12，得b≥0. （2）f(x)x22bxc=x2(c1)xc(xc)(x1) ∵f(m)10，∴c点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.

32定义在R上的函数fx满足：对任意实数m,n，总有fmnfmfn，且当

x0时，0fx1.

（1）试求f0的值；

（2）判断fx的单调性并证明你的结论； （3）设Ax,yfx2fy2f1,Bx,yfaxy21,aR，若

AB，试确定a的取值范围.

（4）试举出一个满足条件的函数fx.

解：（1）在fmnfmfn中，令m1,n0.得：f1f1f0.

因为f10，所以，f01.

（2）要判断fx的单调性，可任取x1,x2R，且设x1x2.

在已知条件fmnfmfn中，若取mnx2,mx1，则已知条件可化为：

fx2fx1fx2x1.

由于x2x10，所以1fx2x10.

为比较fx2、fx1的大小，只需考虑fx1的正负即可.

在fmnfmfn中，令mx，nx，则得fxfx1. ∵ x0时，0fx1， ∴ 当x0时，fx1fx10.

又f01，所以，综上，可知，对于任意x1R，均有fx10. ∴ fx2fx1fx1fx2x110. ∴ 函数fx在R上单调递减.

（3）首先利用fx的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子.

fx2fy2f1即x2y21，

faxy21f0，即axy20.

由AB，所以，直线axy20与圆面x2y21无公共点.所以，

2a121.

解得 1a1.

x（4）如fx12.

点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令m1,n0；以及mnx2,mx1等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值.

解：（1）当a0时，函数f(x)(x)2|x|1f(x) 此时，f(x)为偶函数

当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，

f(a)f(a)，f(a)f(a)

此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

（2）（i）当xa时，f(x)x2xa1(x1)2a324 当a12，则函数f(x)在(,a]上单调递减，从而函数f(x)在(,a]上的最小值为f(a)a21.

若a12，则函数f(x)在(,a]上的最小值为f(12)34a，且f(12)f(a). （ii）当xa时，函数f(x)x2xa1(x1232)a4

若a12，则函数f(x)在(,a]上的最小值为f(12)34a，且f(12)f(a)

若a12，则函数f(x)在[a,)上单调递增，从而函数f(x)在[a,)上的最小值为

f(a)a21.

综上，当a12时，函数f(x)的最小值为34a 当112a2时，函数f(x)的最小值为a21

当a132时，函数f(x)的最小值为4a.

点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过f(x)f(x)代入有

(x)2|xa|1x2|xa|1，即|xa||xa|

可得，当a0时，|xa||xa|，函数f(x)f(x)函数为偶函数. 通过f(x)f(x)可得 (x)2|xa|1x2|xa|1 化得 2x22|xa||xa|此式不管a0还是a0都不恒成立，

所以函数不可能是奇函数.

（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.

34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).

已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售

q量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中60的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.

（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； 24（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 1

405881p分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.

从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.

由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则

Sqp40100600m13200.

又由图可知：q2p140, 40p5882 58p81. p所以，S2p140p40100600m13200 40p58p82p40100600m13200 582p140p40100600m132000，

解得m50.即此时该店有50名职工.

（2）若该店只安排40名职工，则月利润

S2p140p4010037200 40p58p4010037200 5812n78002680002000000. 解得n5.

所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.

点评：求解数学应用题必须突破三关：

（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.

（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.