线面平行典型例题

线面平行典型例题和练习

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键． 1．运用中点作平行线

例1．已知四棱锥PABCD的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD．

P

G D N C

M 2．运用比例作平行线 A B 例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中图MAC，NBF，求证：ＭＮ∥平面BCE C D B E

M

H N

F

A

3. 运用传递性作平行线

例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行

k 

nlm



４.运用特殊位置作平行线 图4

例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？

C1

E A１ B1

N

C F

M A B 课堂强化： 图5

1. 1．棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A-BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，

给出下列命题：

①直线MN∥平面ABC；

--

--

②直线CD⊥平面BMN；

③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半． 则其中正确命题的序号为

2. 如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD． （Ⅰ）求证：BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC ．

3. ．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点． （Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′； （Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．

4. 如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点． （1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；

5. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD；

（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．

（I）证明：直线CE∥平面PAB；

7. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

8. 已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．且M、N、P、Q为中点，

--

--

（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；

9. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点． （Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；

10. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，点D、E分别为AB、PC的中点．

（1）在AC上找一点M，使得PA∥面DEM；

11. 空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

12. 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，BG=2CG （I）求证：PC⊥BC；

（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．

13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．

（I）证明：直线CE∥平面PAB；

14. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点． （Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若PD：SP=1：3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

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15.如图，在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2． （Ⅰ）证明：AF∥DE；

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

课后作业

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A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( ) A.b∥α B.b

α

C.b与α相交 D.以上都有可能 3． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（ ）

A．a//,b B．a//,b// C．a//c,b//c D．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ） A．内的所有直线与m异面 B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行 D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，错误的个数是（ ）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行

A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知空间四边形ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，则下列判断正确的是（ ） A．MN1ACBC B．MN1ACBC

22C．MN1ACBC D．MN1ACBC

227 ．，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β的是（ ）

A．，β都平行于直线a，b

B．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

8．两条直线a，b满足a∥b，b，则a与平面的关系是（ ）

A．a∥ B．a与相交 C．a与不相交 D．a 9．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A．a，则a// B．a//，b，则a//b

C．//,a,b，则a//b D．Pa,P,a//,//，则a

10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）

A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（ ） ①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行

A．①③ B．①② C．②③ D．③④

12．在下列命题中，错误的是 A. 若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥β

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B. 若两个平面没有公共点，则两个平面平行

C. 若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β

D. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行

二、填空题

13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①

②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是 ．

15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c

④∥c∥∥a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥其中正确的命题是________________.

16．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，

点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BD D1． 三、解答题

DC中

17.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD. C1A

C1 B1 A1

EH

A CDB1 DGA B C FC

D

A

18、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD. 19、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；

B1B--

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20.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

D1C1

P B1A1E

ADCDOABCB21、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点. 求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)面OC1D//面AB1D1．

探究习题：

0

1.平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC,FB上，且AM:MC=FN:NB，沿AB折起，使得∠DAF=90 (1)证明：折叠后MN//平面CBE；

(2)若AM:MC=2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE?若存在，试确定点G的位置.

AMECNDB

2.设平面∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A，C∈，B，D∈β，求证：MN∥平面.

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