航空公司的预订票策略

高敏2011114103

摘要：在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，建立二元规划订票方案，既考虑航空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉。

航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。于是航空公司预订票模型简化为一个两目标的规划问题，即求航空公司的平均利润

Sm和被挤掉的乘客数超过j人的概率Pjm之间的平衡关系，决策变量是预订票数量的限额m。

最后，考虑不同的客源的实际需要，对补偿金模型进行改进优化，比较详细的给出了航空公司的预订票策略，具有很强的实际指导意义。

关键字 二元规划 目标函数 约束条件 决策变量

一.问题重述

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

设飞机容量为N，若公司只预订m张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。如果不订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%_60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。

二．模型假设

(1) 航班的飞行成本f为常数，与乘客人数无关，飞机最大容量为N.； (2) 客源丰富，不考虑订票不满的情况。

(3) 尽管不同机舱的票价不同，为了简化模型，设机票价格按照 gf/N，预订票乘客不按时前来登机概率为q

p1q；

三．符号说明

符号 代表的意义 某次航班订票的总数 一次飞行，不按时前来登机的人数 某次航班出售的折价机票数 机票折价率 m k t r sk s Pjm s,m 每次航班的利润； 航空公司的平均经济利润； 被挤掉的乘客数超过j人的概率 为单位费用获得的平均利润，s,m＝S/f; 赔偿金占机票价格的比例, b/g 

四．问题分析

（1）航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是一个两目标的规划问题，决策变量是预订票数量的限额。

（2）为了航空公司的经济利益最大化，需要考虑不同的乘客的实际需要，对补偿金模型进行约束条件，改进优化后的模型即符合实际要求。

五．模型建立与求解

5.1 模型一 不考虑任何形式补偿

m个订票者中有k个不按时前来登机时利润

(mk)gf,mkNskmkN Ngf,（1） 平均利润S为

Spkskk0mmmN1kopngfkpmkgfkkkmNm

pk(ngf)k0mkmNmp[(mk)gf(Ngf)]km

(Ngf)pkk0kmNpk(mNk)g

＝NgfgpimNi (2)

i0n要使S最大，应该pi尽可能小，因此需要m越大越好。这个模型的缺点是没有考签补偿金。更合理的模型需要将补偿金因素计入模型。将补偿金因素考虑入模型，得到如下补偿金模型。

5.2 模型二 补偿金模型

每次航班的利润sk为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的补偿金。m个订票者中有k个不按时前来登机时利润

(mk)gf,mkN (3) skNgf(mkN)b,mkN平均利润S为

Spkskk0mmN1k0pk[(Ngf)(mkN)b]

kmNmN1mpk[(mk)gf]

k0pk[(Nmk)g(mkN)b]mm

m(mgf)pkgkpkk0k0

记 kpkk 表示不登机乘客的期望值，则有

k0mN1Smgfkg(bg)

(mk)gf(bg)k0pk(mNk) (4)

mN1k0pk(mNk)

下面考虑几种特殊情况，验证模型的有效性： 情形一：p01,pk0,k1

k0,SNgfb(mN)

结果表明，当mN时，公司利润最大，这与实际是相符的。

情形二：预订票者实际登机的概率服从二项分布，因此m个预定票者有k个不按时前来登机的概率为

kmkpkCmp(1p)k

mN1kmq,Spmgf(bg)k0pk(mNk) （5）

5.3 航空公司从社会声誉和经济利益两方面加以考虑，应该要求被挤掉的乘客不

要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j人的概率为Pjm，因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于m位乘客中不按时前来登机的不超过m－N－j－1人，所以

PjmmNj1

pk0k

对于给定的n，j,显然当m=n+j时被挤掉的乘客不会超过j人，即Pjm＝0。而当m变大时 单调增加。

综上，S和Pjm 是这个优化问题的两个目标，但是可以将Pjm不超过某给定值作为约束条件，以S为单目标函数。

模型二的求解如下：

取S除以飞行费用f为新的目标函数s,m，其含义为单位费用获得的平均利润，记b/g,则

mN1S1[pm(1)pk(mNk)]1 (6) s(,m)fNk0其中b/g是赔偿金占机票价格的比例。问题转化为给定、n、q、，求m使s,m最大，而约束条件为 PjmmNj1k0pk （7）

其中是小于1的正数。

(1) 0.2,0.5,N200,q分别为0.02，0.04，0.06，0.08，0.1，横坐标为m200,纵坐标为s(,m),结果见图1。

0.980.960.94q0.1 q0.08

q0.06 q0.04 q0.02

0.92

10 0.88 0.86203040 图1

从图1可以看出，q对需要超额预定的票数有较大影响，这一点与实际也是相符的，因为q(q1p)越大，平均来说实际不按时登机的人数越多。为了保证航班满座，就必须多预售一些票。

（2）q0.04,0.5,N200,分别为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，横坐标为

m200。,纵坐标为s(,m)，结果见图2。

0.980.960.940.92100.880.862030 0.1 0.2

0.3

40 0.4

0.5

图2

从图2中可以看出，在实际登机率为96%的情况下，对于赔付比率为0.1～0.5，一架200座的航班，超额预售的票数约为11张时，利润最大。该图也说明了，如果航空公司能准确地知道预定票者的登机概率，只要适当地控制预售票数，从平均意义上来说，即使航空公司制定较高的赔偿金，也不会对其最大利润产生多大影响。

六.结果分析

1．对于所取的N，q, ,平均利润s,m随着m的变大都是先增加再减少。不按时前来登机概率为q对需要超额预定的票数有较大影响，为了保证航班满

座，就必须多预售一些票。

2．对于给定的N，p, 由0.1增加到0.5时s,m的减少不超过％5，所以不放付给被挤掉的乘客以较高的赔偿金，也不会对其最大利润产生多大影响，而同时赢得社会声誉。

3．综合考虑经济效益和社会声誉，给定赔付比率为0.2，被挤掉的乘客数超过j人的概率为Pjm0.1,对于N＝200，若估计q=0.1,取m=211.

七.模型评价

7.1 模型改进：

考虑不同的客源的实际需要，如商界人士，文艺界人事更趋向于这种无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而不按时前来登机的可能性较大；旅游者，学生，会愿意以不能前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。旅游者，学生这类乘客基数较大，航空公司为降低风险，可以把旅游者，学生这类乘客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不按时前来登机则机票作废。

设订票数量m中有t张是专门售给第二类乘客的，不考虑这部分人不来登机情况，折价机票为rg（r<1） ，当m－t位第一类乘客中有k位不按时前来登机时每次航班的利润s为

trg(mjk)gf,mkNsktrg(Nj)gf(mkN)b,

kmktpkCm(1p)k,k(mt)qtpmkN （8）

Spkskk0mmN1k0pk[(Ngf)t(1r)g(mkN)b]

mN1kmNmpk[(mk)gt(1r)gf]

k0pk[(Nnk)g(mkN)b]mm

[mt(1r)gf]pkgkpkk0k0nN1

pmgt(1r)gf(bg)据此得到

k0pk(mNk) （9.）

mN1S1[pmt(1r)(1)pk(mNk)]1 （10） s(,m)

fNk0约束条件――被挤掉的乘客数超过j人的概率为Pjm不变，为

PjmmNj1pk0k

类似于前面的分析，也可以得到最优的预订票方案。

7.2 优缺点：

（1）本模型充分运用数学分析，概率论等知识分析求解模型；

（2）本模型在考虑经济利益和社会声望的条件下比较全面、准确的给出了航空预订票策略，具有一定的实际指导意义；

（3）由于飞机容量、费用、迟到概率等参数没有给出具体数据，在建模时自己给出，具有一定的主观性。

（4）对模型改进部分没有给出具体的数据进行分析检验。

参考文献

【1】数学模型（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊 高等教育出版社 200年8月