高二数学平面向量复习课

中山市实验高中高三数学备课组 2006。3。8

一．考试要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 二．知识梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 ) a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2) 平面向量的数量积 ： ab=abcos

设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2

（3）两个向量平行的充要条件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

=λ x1y2-x2y1=0

· =0

设 =(x1,y1)， =(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教学过程

（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是 （ ）

(A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等 (C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形ABCDEF中，若ABa， FAb，则BC（ ）

111(A)(ab) (B)(ab) (C) ab (D)ab

2223. 已知向量e10,R，ae1e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是 （ ）

(A)0 (B) e20 (C)e1∥e2 (D)e1∥e2或0

4. 若向量a(1,x)，b(x,2)共线且方向相同，x=__________。 （二）．典例分析

例1：（1）设a与b为非零向量，下列命题：

 ①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反；

 ②若ABa,CDb, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；

a③若a与b共线，则abab；④若a与b反向，则ab

b其中正确命题的个数有 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（2）下列结论正确的是 （ ）

bab （B）abab （C）若(a（A）ab)c(ca)b0

（D）若a与b都是非零向量，则ab的充要条件为abab

错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a与b共

线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时

bbaa，a与b反向时aa。

bb第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。

例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1

例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。 AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN。

11解：DC= AB=a

2211 BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a

22111MN=DN-DM=a-b-a= a-b

244例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

解：设a=(x,y)则 x2+y2=100 （1） 由a∥b得 -4x-3y=0 （2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8

∴ a=(6,-8)或(-6,8) 四． 归纳小结

1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形

中发现向量间的关系。

2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意

零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五．作业：

1、下列命题正确的是（ ）

A．若|a|0，则a0 B．若|a||b|，则ab或ab

C．若a||b，则|a||b| D．若a0，则a0

2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，则顶点D的坐标为（ ）

A．(1,2) B．(2,2) C．(2,1) D．(2,2)

3、设|a|m(m0)，与a反向的单位向量是b0，则a用b0表示为

11A．amb0 B．amb0 C．ab0 D．ab0

mm4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb，下列命题中正确命题的个数是（ ）

1111①ADab；②BEab；③CFab；

2222④ADBECF0。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、化简：CEACDEAD=__________。

6、已知向量a3,b(1,2)，且ab，则a的坐标_____________。

227、若a1,b2,aba0，则a与b的夹角为______________。

8、已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)

求 （1）ab;ab的值； （2）a与b的夹角。

9、如果向量a与b，c的夹角都是60，而bc，且|a||b||c|1，求

(a2c)(bc)的值。

10、如图，设O为ABC内一点，PQ∥BC，且

PQt，OAa ，BCOBb，OCc，试用a，b，c表示OP,OQ． 答案

基础知识训练：D，C，D，2

6535 达标练习： D，B，B，D， 5，0； 6，（，—），（—

556535，） 55107，450， 8，(1)ab=10, ab=52 (2) =arccos

2219,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb