热力学参数及关系
δ𝑞+δ𝑤=d𝑒 𝑝=𝜌𝑅𝑇 R=287J/(kg∙K) 𝑝
ℎ=𝑒+ 𝑑 ℎ=𝑑𝑒+𝑝𝑑𝑣+𝑣𝑑𝑝 𝑒=𝐶𝑉𝑇 ℎ=𝐶𝑝𝑇
𝜌𝐶𝑝−𝐶𝑉=𝑅 𝛾=𝐶𝑝/𝐶𝑉 𝐶𝑝=
可逆过程（不一定绝热，等熵过程为可逆且绝热的过程）
1𝑇2𝑝2𝑇2𝜌1
𝑇d𝑠=d𝑒+𝑝d𝑣=dℎ−𝑣d𝑝=dℎ−d𝑝 𝑠2−𝑠1=𝐶𝑝ln−𝑅ln=𝐶𝑉ln+𝑅ln 𝜌𝑇1𝑝1𝑇1𝜌2
等熵关系式
𝑝2𝜌2
=()=()𝑝1𝜌1𝑇1
滞止参数
2
𝑉2𝑉2𝛾𝑅𝑇𝑉2𝑎2𝑉2𝛾𝑅𝑇0𝑎0𝑎∗2𝑎∗2
ℎ0=ℎ+=𝐶𝑝𝑇+=+=+===+
22𝛾−12𝛾−12𝛾−1𝛾−1𝛾−12𝛾
𝛾
𝛾−1𝑇2
𝛾𝑅𝑅
𝐶𝑉= 𝛾−1𝛾−1
𝑇0𝛾−1𝑝0𝛾−1
=1+𝑀𝑎2 =(1+𝑀𝑎2)𝑇2𝑝2临界参数
𝛾
𝛾−1
𝜌0𝛾−1=(1+𝑀𝑎2)𝜌21
𝛾−1
𝑇∗𝑎∗22𝑝∗2𝛾−1𝜌∗2𝛾−12𝛾𝑅𝑇0
=()= =() =() a∗=√ 𝑇0𝑎0𝛾+1𝑝0𝛾+1𝜌0𝛾+1𝛾+1定义速度系数
(𝛾+1)𝑀𝑎2𝑣2λ2
λ=∗=√ 𝑀𝑎=√ (𝛾+1)−(𝛾−1)λ2𝑎2+(𝛾−1)𝑀𝑎2定义气体动力学函数
𝛾𝛾−11𝛾−1𝛾1
τ(𝜆)=
𝑇𝛾−12𝑝𝛾−12=(1−𝜆) π(𝜆)==(1−𝜆)𝑇0𝛾+1𝑝0𝛾+1 ε(𝜆)=
𝜌𝛾−12
=(1−𝜆)𝜌0𝛾+1
激波与膨胀波
正激波关系式
22(𝛾+1)𝑀𝑎12+(𝛾−1)𝑀𝑎1𝑝22𝛾𝜌2𝑢1
2(𝑀𝑎1−1) =𝑀𝑎2=√ =1+=22 𝑝1𝛾+1𝜌1𝑢22+(𝛾−1)𝑀𝑎12𝛾𝑀𝑎1−(𝛾−1)𝛾
𝛾−11 𝛾−12
𝑇22𝛾2+(𝛾−1)𝑀𝑎1𝑇02𝑝02
2(𝑀𝑎1−1)]=[1+ =1 =2(𝛾+1)𝑀𝑎1𝑇1𝛾+1𝑇01𝑝01
[
(𝛾+
2]2+(𝛾−1)𝑀𝑎1
2
1)𝑀𝑎12𝛾2
[1+𝛾+1(𝑀𝑎1−1)]
2
2𝛾2+(𝛾−1)𝑀𝑎12𝛾22(𝑀𝑎1−1)](𝑀𝑎1𝑠2−𝑠1=𝐶𝑝ln{[1+}−𝑅ln+−1)] [12(𝛾+1)𝑀𝑎1𝛾+1𝛾+1斜激波关系式
2
𝑀𝑎1sin2𝛽−1𝑀𝑎𝑛,2
tan𝜃=2cot𝛽 𝑀𝑎=𝑀𝑎sin𝛽 𝑀𝑎= 𝑛,1122(sin(𝛽−𝜃)𝑀𝑎1𝛾+cos2𝛽)+2𝑀𝑎𝑛,2
22(𝛾+1)𝑀𝑎𝑛,12+(𝛾−1)𝑀𝑎𝑛,1𝑝22𝛾𝜌2
2
=√ =1+(𝑀𝑎𝑛,1−1) =22 𝑝1𝛾+1𝜌12+(𝛾−1)𝑀𝑎𝑛,12𝛾𝑀𝑎𝑛,1−(𝛾−1)2
𝑇22𝛾2+(𝛾−1)𝑀𝑎𝑛,1𝑇02𝑝02
2
=[1+(𝑀𝑎𝑛,1−1)] =1 =2(𝛾+1)𝑀𝑎𝑛,1𝑇1𝛾+1𝑇01𝑝01
𝛾
2𝛾−1(𝛾+1)𝑀𝑎𝑛,1
[2]2+(𝛾−1)𝑀𝑎𝑛,1
2𝛾2[1+𝛾+1(𝑀𝑎𝑛,1−1)]
1 𝛾−12
2𝛾2+(𝛾−1)𝑀𝑎𝑛,12𝛾22
𝑠2−𝑠1=𝐶𝑝ln{[1+(𝑀𝑎𝑛,1−1)]}−𝑅ln+(𝑀𝑎𝑛,1−1)] [12(𝛾+1)𝑀𝑎𝑛,1𝛾+1𝛾+1膨胀波关系式 马赫角μ
𝜇1=arcsin
普朗特—迈耶函数
𝛾+1𝛾−1
(𝑀𝑎2−1)−arctan√𝑀𝑎2−1 𝜃=ν(𝑀𝑎2)−ν(𝑀𝑎1) ν(𝑀𝑎)=√arctan√
𝛾−1𝛾+1𝛾
2𝛾−1−1)𝑀𝑎1
2)−1)𝑀𝑎2
11
𝜇2=arcsin 𝑀𝑎1𝑀𝑎2
𝑇2𝑇2/𝑇022+(𝛾
==
𝑇1𝑇1/𝑇012+(𝛾2
−1)𝑀𝑎1𝑝2
2𝑝1−1)𝑀𝑎2
=
𝑝2/𝑝022+(𝛾
=(
𝑝1/𝑝012+(𝛾准一维流动与喷管流动
面积-速度关系式
𝛾−1
1+2𝑀𝑎2𝑑𝐴𝑑𝐴𝑑𝑢𝑑𝑀𝑎
=(𝑀𝑎2−1) = 𝐴𝑢𝑀𝑎1−𝑀𝑎2𝐴
𝛾+1
(2𝛾−1)𝐴12𝛾−1
=)(1+𝑀𝑎2)][(∗𝐴𝑀𝑎𝛾+12𝐴2
(∗)=
𝐴2𝛾−1(𝛾−1)(
𝛾+1)𝑝
2[1−(𝑝)
0𝛾+1𝛾0
𝛾+1
2 𝛾𝑝](𝑝)
无粘流基本方程
雷诺输运定理及随体导数
𝐷𝜕𝐷𝜙𝜕𝜙𝜕𝜙∭𝜙𝑑𝑣=∭𝜙𝑑𝑣+∯𝜙(𝑽∙𝒏)𝑑𝐴 =+(𝑽∙𝛁)𝜙=+𝑽∙𝛁𝜙 𝐷𝑡𝜕𝑡𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑡连续方程
𝐷𝑚𝐷𝜕𝜕𝜌
=∭𝜌𝑑𝑣=∭𝜌𝑑𝑣+∯𝜌(𝑽∙𝒏)𝑑𝐴=∭[+𝛁∙(𝜌𝑽)]𝑑𝑣=0 𝐷𝑡𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑡
定常不可压
𝜕𝑢𝜕𝑣𝜕𝑤
++=0 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧动量方程
𝐷𝜕𝜕𝜌𝜕𝑽∭𝜌𝑽𝑑𝑣=∭𝜌𝑽𝑑𝑣+∯𝜌𝑽(𝑽∙𝒏)𝑑𝐴=∭[𝑽+𝜌+𝑽𝛁∙(𝜌𝑽)+𝜌𝑽(𝛁∙𝑽)]𝑑𝑣𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑡𝜕𝑡𝜕𝑽
=∭{𝜌[+𝑽(𝛁∙𝑽)]}𝑑𝑣=∭𝜌𝒇𝑑𝑣−∯𝑝𝑑𝐴+𝑭𝜇=∭(𝜌𝒇−𝛁𝑝)𝑑𝑣+𝑭𝜇
𝜕𝑡不考虑粘性力则为欧拉方程
𝐷𝑽𝜕𝑽1𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖1𝜕𝑝
=+𝑽(𝛁∙𝑽)=𝒇−𝛁𝑝 +𝑢𝑗=𝑓𝑖− 𝐷𝑡𝜕𝑡𝜌𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑖𝜕𝜌𝐷𝜌𝜕𝜌𝜕(𝜌𝑢)𝜕(𝜌𝑣)𝜕(𝜌𝑤)
+𝛁∙(𝜌𝑽)= +𝜌𝛁𝑽=0 +++=0 𝜕𝑡𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢1𝜕𝑝 +𝑢+𝑣+𝑤=𝑓𝑥−𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜌𝜕𝑥 𝜕𝑣𝜕𝑣𝜕𝑣𝜕𝑣1𝜕𝑝+𝑢+𝑣+𝑤=𝑓𝑦− 𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜌𝜕𝑦 𝜕𝑤+𝑢𝜕𝑤+𝑣𝜕𝑤+𝑤𝜕𝑤=𝑓−1𝜕𝑝
𝑧
{𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜌𝜕𝑧葛罗米柯运动微分方程（把涉及运动旋涡部分的项分离出来而使研究无旋运动时方程简化） 利用矢量恒等式改写欧拉方程
𝑉2𝜕𝑽𝑉21
(𝑽∙𝛁)𝑽=𝛁()−𝑽×(𝛁×𝑽) → + 𝛁()−𝑽×(𝛁×𝑽)=−𝛁𝑝+𝒇
2𝜕𝑡2𝜌𝜕𝑢𝜕𝑉21𝜕𝑝
+()+2(𝜔𝑦𝑤−𝜔𝑧𝑣)=−+𝑓𝑥𝜕𝑡𝜕𝑥2𝜌𝜕𝑥
𝜕𝑣𝜕𝑉21𝜕𝑝+()+2(𝜔𝑧𝑢−𝜔𝑥𝑤)=−+𝑓
𝜌𝜕𝑦𝑦 𝜕𝑡𝜕𝑥2 𝜕𝑤𝜕𝑉21𝜕𝑝 +()+2(𝜔𝑥𝑣−𝜔𝑦𝑢)=−+𝑓
𝜌𝜕𝑧𝑧{𝜕𝑡𝜕𝑥2克罗克运动方程（在葛罗米柯运动方程基础上吧焓梯度和熵梯度与旋涡量建立联系） 对于理想气体，忽略质量力后的葛罗米柯运动微分方程为
𝜕𝑽𝑉21
+ 𝛁()−𝑽×(𝛁×𝑽)=−𝛁𝑝 𝜕𝑡2𝜌由热力学关系的矢量形式改写上述方程
1𝜕𝑽𝑉2
𝑇𝛁𝑠=𝛁ℎ−𝛁𝑝 → + 𝛁()−𝑽×(𝛁×𝑽)=𝑇𝛁𝑠−𝛁ℎ
𝜌𝜕𝑡2由滞止焓改写上述方程
𝑉2𝜕𝑽
𝛁ℎ0=𝛁ℎ+ 𝛁() → −𝑽×(𝛁×𝑽)=𝑇𝛁𝑠−𝛁ℎ0
2𝜕𝑡定常状态
𝑽×(𝛁×𝑽)=𝛁ℎ0−𝑇𝛁𝑠
均能流（滞止焓均匀分布）、均熵流及均能均熵流
𝑽×(𝛁×𝑽)=−𝑇𝛁𝑠 𝑽×(𝛁×𝑽)=𝛁ℎ0 𝑽×(𝛁×𝑽)=𝟎
能量方程
𝐷𝐸𝛿𝑄𝛿𝑊
=+ 𝐷𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡𝐷𝑉2
∭𝜌(𝑒+)𝑑𝑣=∭𝜌𝑞𝑑𝑣+∯𝑘(𝛁𝑇∙𝒏)𝑑𝐴+∭𝜌𝒇∙𝑽𝑑𝑣−∯𝑝(𝑽∙𝒏)𝑑𝐴+𝑾𝜇 𝐷𝑡2不考虑粘性力
𝐷𝑉2
∭[𝜌(𝑒+)]𝑑𝑣=∭[𝜌𝑞+𝛁(𝑘𝛁𝑇)+𝜌𝒇∙𝑽−𝛁∙(𝑝𝑽)]𝑑𝑣
𝐷𝑡2𝐷𝑉2
𝜌(𝑒+)=𝜌𝑞+𝛁(𝑘𝛁𝑇)+𝜌𝒇∙𝑽−𝛁∙(𝑝𝑽) 𝐷𝑡2𝑝𝑝𝑝𝑝𝐷𝜌𝜕𝜌𝐷𝑝𝜕𝑝𝐷𝑝𝜕𝑝
𝛁∙(𝑝𝑽)=𝛁∙(∙𝜌𝑽)=𝛁∙(𝜌𝑽)+𝜌𝑽∙𝛁()=(−)+𝜌[()−()]=𝜌()− 𝜌𝜌𝜌𝜌𝐷𝑡𝜕𝑡𝐷𝑡𝜌𝜕𝑡𝜌𝐷𝑡𝜌𝜕𝑡𝐷𝑉2𝐷𝑝𝜕𝑝
𝜌(𝑒+)=𝜌𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+𝜌𝒇∙𝑽−[𝜌()−] 𝐷𝑡2𝐷𝑡𝜌𝜕𝑡𝐷𝑝𝑉2𝜕𝑝𝐷𝑉2
𝜌(𝑒++)=𝜌𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+𝜌𝒇∙𝑽+=𝜌(ℎ+) 𝐷𝑡𝜌2𝜕𝑡𝐷𝑡2设质量力有势且在固定点处不随时间变化
𝐷𝑈𝜕𝑈𝐷𝑈𝒇=𝛁𝑈 → 𝜌𝒇∙𝑽=𝜌𝛁𝑈∙𝑽=𝜌(−)=𝜌
𝐷𝑡𝜕𝑡𝐷𝑡𝐷𝑉2𝜕𝑝
𝜌(ℎ+−𝑈)=𝜌𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+ 𝐷𝑡2𝜕𝑡绝热无机械功输入输出的定常流动
𝑉2
ℎ+−𝑈=const
2熵方程
𝛿𝑄𝐷𝑆𝑄𝑑𝑆≥ ≥
𝑇𝐷𝑡𝑇𝐷𝑆𝐷𝜕𝜕(𝜌𝑠)𝜌𝑞
=∭𝜌𝑠𝑑𝑣=∭𝜌𝑠𝑑𝑣+∯𝜌𝑠(𝑽∙𝒏)𝑑𝐴=∭[+𝛁∙(𝜌𝑠𝑽)]𝑑𝑣≥∭𝑑𝑣 𝐷𝑡𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑡𝑇𝜕(𝜌𝑠)𝜌𝑞𝜕𝑠𝜕𝜌𝜌𝑞𝜕𝑠𝐷𝑠𝑞+𝛁∙(𝜌𝑠𝑽)≥ → 𝜌+𝑠+s∙𝛁(𝜌𝑽)+𝜌𝑽∙𝛁s≥ → +𝑽∙𝛁s=≥ 𝜕𝑡𝑇𝜕𝑡𝜕𝑡𝑇𝜕𝑡𝐷𝑡𝑇
粘性流体基本方程
连续方程
𝜕𝜌𝐷𝜌𝜕𝜌𝜕(𝜌𝑢)𝜕(𝜌𝑣)𝜕(𝜌𝑤)
+𝛁∙(𝜌𝑽)= +𝜌𝛁∙𝑽=0 +++=0 𝜕𝑡𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧定常不可压
𝜕𝑢𝜕𝑣𝜕𝑤++=0 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧动量方程
𝐷𝑽𝜕𝑽1𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖1𝜕𝑝
=+𝑽(𝛁∙𝑽)=𝒇−𝛁𝑝+𝒇𝜇 +𝑢𝑗=𝑓𝑖−+𝑓𝜇𝑖 𝐷𝑡𝜕𝑡𝜌𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑖
流体表面应力张量
𝜕𝑢2𝜕𝑢𝜕𝑣
2𝜇−𝜇𝛁∙𝑽−𝑝𝜇(+)
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥3𝜏𝒙𝒛
𝜕𝑣2𝜏𝒚𝒛]= …2𝜇−𝜇𝛁∙𝑽−𝑝 𝜕𝑦3𝜎𝒛
……[
𝜕𝑢𝜕𝑤
𝜇(+)
𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑣𝜕𝑤 𝜇(+) 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕𝑤2 2𝜇−𝜇𝛁∙𝑽−𝑝]𝜕𝑧3𝜎𝒙
𝚷=[𝜏𝒚𝒙
𝜏𝒛𝒙𝜏𝒙𝒚𝜎𝒚𝜏𝒛𝒚
1𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗2𝑠𝑖𝑗=(+) 𝑚𝑖𝑗=2𝜇𝑠𝑖𝑗− 𝜇𝛁∙𝑽𝛿𝑖𝑗 𝜋𝑖𝑗=𝑚𝑖𝑗−𝑝𝛿𝑖𝑗
2𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖3𝐷𝑽𝜕𝑽𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖1𝜕𝜋𝑗𝑖=+𝑽(𝛁∙𝑽)=𝒇+𝛁∙𝚷 +𝑢𝑗=𝑓𝑖+ 𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗
𝐷𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢1𝜕𝜎𝑥𝜕𝜏𝒚𝒙𝜕𝜏𝒛𝒙
=+𝑢+𝑣+𝑤=𝑓𝑥+(++)𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜌𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
𝐷𝑣𝜕𝑣𝜕𝑣𝜕𝑣𝜕𝑣1𝜕𝜏𝒙𝒚𝜕𝜎𝑦𝜕𝜏𝒛𝒚
=+𝑢+𝑣+𝑤=𝑓𝑦+(++) 𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜌𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
𝐷𝑤𝜕𝑤𝜕𝑤𝜕𝑤𝜕𝑤1𝜕𝜏𝒙𝒛𝜕𝜏𝒚𝒛𝜕𝜎𝑧 =+𝑢+𝑣+𝑤=𝑓𝑧+(++)𝜕𝑡𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜌𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧{𝐷𝑡N—S方程
𝜌
𝜕𝑢𝑗𝐷𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑝𝜕𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗2𝜕
=𝜌+𝜌𝑢𝑗=𝜌𝑓𝑖−+[𝜇(+)]−(𝜇) 𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖3𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
𝐷𝑢𝜕𝑝𝜕𝜕𝑢𝜕𝜕𝑢𝜕𝑣𝜕𝜕𝑢𝜕𝑤2𝜕
(𝜇𝛁∙𝑽) 𝜌=𝜌𝑓𝑥−+2(𝜇)+)]−[𝜇(+)]+[𝜇(+
𝐷𝑡𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑧𝜕𝑥3𝜕𝑥 𝐷𝑣𝜕𝑝𝜕𝜕𝑢𝜕𝑣𝜕𝜕𝑣𝜕𝜕𝑣𝜕𝑤2𝜕
(𝜇𝛁∙𝑽) 𝜌=𝜌𝑓𝑦−+[𝜇(+)]+2(𝜇)+[𝜇(+)]−
𝐷𝑡𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑧𝜕𝑦3𝜕𝑦 𝜌𝐷𝑤=𝜌𝑓−𝜕𝑝+𝜕[𝜇(𝜕𝑢+𝜕𝑤)]+𝜕[𝜇(𝜕𝑣+𝜕𝑤)]+2𝜕(𝜇𝜕𝑤)−2𝜕(𝜇𝛁∙𝑽)
𝑧
{𝐷𝑡𝜕𝑧𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑧3𝜕𝑦对于通常情况即不考虑μ随温度的变化，上述方程可化为
𝐷𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑝𝜇𝜕2𝑢𝑗
𝜌=𝜌+𝜌𝑢𝑗=𝜌𝑓𝑖−+𝜇∆𝑢𝑖+ 𝐷𝑡𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖3𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝜌
𝐷𝑽𝜕𝑽𝜇=𝜌+𝜌𝑽(𝛁∙𝑽)=𝜌𝒇−𝛁𝑝+𝜇∆𝑽+ 𝛁(𝛁∙𝑽) 𝐷𝑡𝜕𝑡3能量方程 动能方程
𝜕𝜏𝒙𝒚𝜕𝜎𝑦𝜕𝜏𝒛𝒚𝐷𝑉21𝜕𝜎𝑥𝜕𝜏𝒚𝒙𝜕𝜏𝒛𝒙𝜕𝜏𝒙𝒛𝜕𝜏𝒚𝒛𝜕𝜎𝑧
()=𝑢𝑓𝑥+𝑣𝑓𝑦+𝑤𝑓𝑧+[𝑢(++)+𝑣(++)+𝑤(++)] 𝐷𝑡2𝜌𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝐷𝑢𝑖𝑢𝑖𝑢𝑖𝜕𝜋𝑗𝑖𝑢𝑖𝜕𝑚𝑗𝑖𝑢𝑖𝜕𝑝1𝜕(𝑚𝑗𝑖𝑢𝑖)1𝜕(𝑝𝑢𝑖)𝑝𝜕𝑢𝑖𝑚𝑗𝑖𝜕𝑢𝑖
=𝑢𝑖𝑓𝑥𝑖++=𝑢𝑖𝑓𝑥𝑖+−+− ()= 𝑢𝑖𝑓𝑥𝑖+
𝐷𝑡2𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗
上式最左侧为流体微团单位质量随时间变化率，最右侧第一项为单位时间内体力对单位质量流体所做的体力功，第二项为粘性力对运动单位质量的流体微团所输运的机械能，第三项为压力对单位质量流体做的功，第四项为体积膨胀与压力乘积的膨胀功，第五项为流体为抵抗变形的粘性力所做的变形功，为耗散项。 耗散率Φ与单位质量耗散率ε 𝜕𝑢𝑖𝜇𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗2𝜕𝑢𝑖2Φ𝜈𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗2𝜕𝑢𝑖2
Φ=𝑚𝑗𝑖=(+)−𝜇() ε==(+)−𝜈()
𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖3𝜕𝑥𝑖𝜌2𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖3𝜕𝑥𝑖内能方程
𝐷𝑒1𝜕𝑢𝑖1Φ𝑝𝜕𝑢𝑖
= 𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+𝜋𝑖𝑗= 𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+− 𝐷𝑡𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜌𝜌𝜕𝑥𝑖
等式中间第一项为热辐射、化学反应及燃烧等产生的外部加热，第二项为热传导项，第三项为粘性应力张量所
做的变形功。 熵式
𝑇焓式
𝐷ℎ𝐷𝑒𝐷11𝐷𝑝1Φ1𝐷𝑝
=+𝑝()+= 𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)++ 𝐷𝑡𝐷𝑡𝐷𝑡𝜌𝜌𝐷𝑡𝜌𝜌𝜌𝐷𝑡总能量方程
𝐷𝑢𝑖𝑢𝑖11𝜕(𝑚𝑗𝑖𝑢𝑖)1𝜕(𝑝𝑢𝑖)
− (𝑒+)=𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+𝑢𝑖𝑓𝑥𝑖+
𝐷𝑡2𝜌𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑥𝑗𝐷𝑢𝑖𝑢𝑖11𝜕(𝑚𝑗𝑖𝑢𝑖)1𝜕𝑝
()+ (ℎ+)=𝑞+𝛁∙𝑘𝛁𝑇+𝑢𝑖𝑓𝑥𝑖+
𝐷𝑡2𝜌𝜌𝜕𝑥𝑗𝜌𝜕𝑡𝐷𝑠𝐷𝑒𝐷1𝜕𝑢𝑖11𝐷𝜌𝐷1𝐷𝑠1Φ
=+𝑝() & =(𝜌𝛁∙𝑽)=−=𝜌() → 𝑇=𝑞+𝛁∙(𝑘𝛁𝑇)+ 𝐷𝑡𝐷𝑡𝐷𝑡𝜌𝜕𝑥𝑖𝜌𝜌𝐷𝑡𝐷𝑡𝜌𝐷𝑡𝜌𝜌
2
2
标量场与矢量场
标量场
直角坐标系、柱坐标系与球坐标系的梯度表示分别为
𝛁𝑝=矢量场
直角坐标系、柱坐标系与球坐标系的散度表示分别为 𝛁∙𝑽=
𝜕𝑉𝜕𝑉𝜕𝑉1𝜕1𝜕𝑉𝜃𝜕𝑉1𝜕21𝜕1𝜕𝑉𝜑𝑧
(𝑟𝑉)()()++ 𝛁∙𝑽=++ 𝛁∙𝑽=𝑟𝑉+𝑉sin𝜃++ 𝑟𝑟𝜃
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝑟𝜕𝑟𝑟𝜕𝜃𝜕𝑧𝑟2𝜕𝑟𝑟sin𝜃𝜕𝜃𝑟sin𝜃𝜕𝜑𝜕𝑝𝜕𝑝𝜕𝑝𝜕𝑝1𝜕𝑝𝜕𝑝𝜕𝑝1𝜕𝑝1𝜕𝑝
𝒊+𝒋+𝒌 𝛁𝑝=𝒆𝑟+𝒆𝜃+𝒆𝑧 𝛁𝑝=𝒆𝑟+𝒆𝜃+𝒆 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑟𝑟𝜕𝜃𝜕𝑧𝜕𝑟𝑟𝜕𝜃𝑟sin𝜃𝜕𝜑𝜑
直角坐标系、柱坐标系与球坐标系的旋度表示分别为 𝒊𝜕
𝛁×𝑽=|
𝜕𝑥𝑢
𝒋𝜕𝜕𝑦𝑣
𝒊𝒌
1𝜕𝜕
| 𝛁×𝑽=|
𝑟𝜕𝑟𝜕𝑧𝑉𝑤𝑟
𝒋
𝜕𝜕𝜃𝑟𝑉𝜃
𝒊𝒌
𝜕1𝜕
| 𝛁×𝑽=2|
𝑟sin𝜃𝜕𝑟𝜕𝑧𝑉𝑉𝑧𝑟
𝒋
𝜕𝜕𝜃𝑟𝑉𝜃
𝒌𝜕
| 𝜕𝜑(𝑟sin𝜃)𝑉𝜑
线、面、体积分转化
∮𝑨𝑑𝑠=∯(𝛁×𝑨)∙𝑑𝑺 ∯(𝛁×𝑨)∙𝑑𝑺=∰(𝛁∙𝑨)𝑑𝑣
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