【2020年数学高考】2020届高三第三次模拟考试文科数学.doc

2020届高三第三次模拟考试

数学（文科）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合Mx|1x2，Nx|x2mx0，若M的值为（ ）

A．1 B．-1 C．1 D．2 2.命题p：x2，2x30的否定是（ ）

A．x2，2x30 B．x2，2x30 C．x02，2x30 D．x02，2x30

Nx|0x1，则maiaR的实部与虚部互为相反数，则a（ ） 12i51A．-5 B． C．-1 D．

333.设i为虚数单位，若复数z4.已知变量x，y之间的线性回归方程为y0.7x10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） ．．

x 6 6 8 10 3 12 2 y m A．变量x，y之间呈现负相关关系 B．可以预测，当x20时，y3.7 C．m4

D．由表格数据知，该回归直线必过点9,4

5.在等差数列an中，a3a512a7，则a1a9（ ） A．8 B．12 C．16 D．20

6.在同一直角坐标系中，函数fx2ax，gxlogax2（a0，且a1）的图象大致为（ ）

理综押题【绝密】

A． B． C． D． 7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）

A．336 B．510 C．1326 D．3603 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a（ ）

A．14 B． C．4 D．5 454x2m9.若函数fxlogm（m0且m1）在2,3上单调递增，则实数m的取值

x范围为（ ）

理综押题【绝密】

A．1,36 B．36, C．1,1636, D．1,16

xy22210.已知变量x，y满足x2y20，若方程xy6yk0有解，则实数k的最小

2xy40值为（ ） A．

45454532916 B． C． D． 535511.将函数fx3sin2xcos2x的图象向左平移tt0个单位后，得到函数gx的图象，若gxgA．

x，则实数t的最小值为（ ） 125757 B． C． D． 2424121212.已知关于x的不等式mx22xex1ex在,0上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）

A．1, B．0, C．11, D．, 23第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.已知向量a2,1，b1x,x，c3x,3x，满足a//b，则b，c夹角的余弦值为 ．

x2y23214. 双曲线C：221(a0,b0)的离心率为2，其渐近线与圆xay2相

ab4切，则该双曲线的方程为 ．

15.已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥ABCD的体积的最大值为

8，则该球O的表面积为 ． 3tanA2c，tanBb16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3，1则bc的最大值为 ．

理综押题【绝密】

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且2a2S2（Ⅰ）求数列an的通项公式；

1，a32. 211（Ⅱ）若bnlog2an3，数列的前n项和为Tn，求满足Tn的正整数n的最小

3bnbn1值.

18.新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为n300公斤；如果平均气温位于20,25摄氏度，需求量为n200公斤；如果平均气温位于15,20摄氏度，需求量为

n100公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为n50公斤.为了确定6月1日到30

日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表： 平均气温 天数 10,15 2 15,20 16 20,25 36 25,30 25 30,35 7 35,40 4 （Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；

（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.

19.如图，PAD是边长为3的等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面

ABCD.点E、F分别为CD、PD上的点，且

AG. GBPFCE1，点G为AB上的一点，且FDED2理综押题【绝密】

（Ⅰ）当

1

时，求证：PG//平面AEF； 2

（Ⅱ）当FGAC时，求三棱锥AEFG的体积.

x2y22220. 已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且椭圆C过点3,.过点2ab21,0做两条相互垂直的直线l1、l2分别与椭圆C交于P、Q、M、N四点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若MSSN，PTTQ，探究：直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

21.已知函数fxlnxxmmR. （Ⅰ）若函数fx有两个零点，求m的取值范围；

（Ⅱ）证明：当m3时，关于x的不等式fxx2e0在,1上恒成立.

x12请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线C1：xy1经过伸缩变换22x'2x后得到曲线C2.以坐标原点Oy'y为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2sin. （Ⅰ）求出曲线C2、C3的参数方程；

（Ⅱ）若P、Q分别是曲线C2、C3上的动点，求PQ的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲

理综押题【绝密】

已知函数fx2x25. （Ⅰ）解不等式：fxx1；

（Ⅱ）当m1时，函数gxfxxm的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围.

理综押题【绝密】

2020届高三第三次模拟考试 数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、12：BC 二、填空题

y21021 15. 16 16. 6 13.  14. x103三、解答题

17.（Ⅰ）由题意知，2a2S2设等比数列an的公比为q， 又∵a32，∴

111，∴2a2a1a2，得a2a1， 2222212，化简得q24q40，解得q2. qq2n3n3n2∴ana3q222.

n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bnlog2an3log223n23n1.

∴

1111， bnbn1n1n2n1n211n111111. 2n22n22334n1n2∴Tnb1b2bn令Tnn11，解得n4， ，得

2n2331的正整数n的最小值是5. 3∴满足Tn18.（Ⅰ）当需求量n100时，荔枝为该商场带来的利润为4100400元； 当需求量n100，即n50时，荔枝为该商场带来的利润为4504500元. ∴这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为

2040088391元.

90（Ⅱ）当需求量n200时，荔枝为该商场带来的利润为4200800元； 当需求量n100时，荔枝为该商场带来的利润为410041000元； 当需求量n50时，荔枝为该商场带来的利润为4504150400元； ∴当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤，

理综押题【绝密】

90244. 90451

19.（Ⅰ）连接CG，当时，CE//AG，∴四边形AECG是平行四边形，∴AE//CG，

2

PFCE1∵，∴EF//PC，∵AEEFE，PCCGC， FDED2则所求概率P∴平面PCG//平面AEF，又PG平面PCG，∴PG//平面AEF. （Ⅱ）取AD的中点为O，连接PO，则POAD， ∵平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD. 过点F作FHAD于点H，连接GH，则FH∵

2332PO3. 323DHDF22，∴DHOD1， HOPF3∵POAD，FHAD，PO平面ABCD，∴FH平面ABCD， ∴FHAC，又FGAC，∴AC平面FGH，∴ACGH， 又ABCD为正方形，∴ACBD，∴GH//BD，∴AGAH2， ∴VAEFGVFAGE112333. 3213a22b21a222220. （Ⅰ）由题意知，abc，解得b2，

c2c22ax2y21. 故椭圆C的方程为42（Ⅱ）∵MSSN，PTTQ，∴S、T分别为MN、PQ的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线l1的方程为ykx1， 则直线l2的方程为y1x1，Px1,y1，Qx2,y2，Mx3,y3，Nx4,y4， kx2y2122222联立4，得(2k1)x4kx2k40，∴24k160， 2ykx12k2k4k22k24xx,∴x1x2，，∴中点的坐标为PQT2； 122222k12k12k12k1理综押题【绝密】

同理，MN中点S的坐标为3kk2k，∴， ,ST2222(k1)k2k23k∴直线ST的方程为y2k212(k21)即yk2k2x2，

2k13k22，∴直线过定点xST,0； 22(k1)33当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为y0，也过点2,0； 3综上所述，直线ST过定点2,0. 321.（Ⅰ）令fxlnxxm0，∴mlnxx； 令gxlnxx，∴g'x11x， 1xx令g'x0，解得0x1，令g'x0，解得x1，

则函数gx在0,1上单调递增，在1,上单调递减，∴gxmaxg11. 要使函数fx有两个零点，则函数gx的图象与ym有两个不同的交点， 则m1，即实数m的取值范围为,1.

（Ⅱ）∵fxx2e0，∴mx2elnxx.

xx设hxx2elnxx，x,1，∴h'xx1exx121， x设uxex111，∴u'xex20，则ux在,1上单调递增， xx2又u1e20，u1e10， 2∴x011,1，使得ux00，即ex0，∴lnx0x0.

x02当x,x0时，ux0，h'x0；当xx0,1时，ux0，h'x0；

12理综押题【绝密】

∴函数hx在,x0上单调递增，在x0,1上单调递减， ∴hxmaxhx0x02e0lnx0x0x02x12122x012x0. x0x0222x22设x12x，∴'x22， 2xxx当x11,1时，'x0恒成立，则x在,1上单调递增， 2212∴x13，即当x,1时，hx3，

∴当m3时，关于x的不等式fxx2e0在,1上恒成立.

x12x'2xx2y21，22.（Ⅰ）曲线C1：xy1经过伸缩变换，可得曲线C2的方程为 4y'y22∴其参数方程为x2cos（为参数）；

ysin2曲线C3的极坐标方程为2sin，即2sin， ∴曲线C3的直角坐标方程为xy2y，即x2y11，

222∴其参数方程为xcos（为参数）.

y1sin（Ⅱ）设P2cos,sin，则P到曲线C3的圆心0,1的距离

d4cossin1221163sin2sin53sin，

3322∵sin1,1，∴当sin431时，dmax.

33∴PQmaxdmaxr434331. 3323.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于

理综押题【绝密】

x11x1x1或或， 2x251x2x251x2x25x1解得x8或或x2，

综上所述，不等式fxx1的解集为,82,.

（Ⅱ）当m1时，则gx2x25x13x15， 此时gx的图象与x轴围成一个三角形，满足题意：

3xm7,x1当m1时，gx2x25xmxm3,1xm，

3xm3,xm则函数gx在,1上单调递减，在1,上单调递增. 要使函数gx的图象与x轴围成一个三角形，

3g1m40则，解得m4；

2gm2m30综上所述，实数m的取值范围为,4

321.