田林县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设P是椭圆
A．22
+
=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（ ）
B．21
C．20
D．13
）=（ ）
2． 设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（A．
B．
C．0
D．﹣
3． 已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）
A．C．
B．D．
4． 设集合AxR|2x2，Bx|x10，则A【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.
(ðRB)（ ）
A.x|1x2 B.x|2x1 C. x|2x1 D. x|2x2 5． 如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（ ） A．命题p一定是假命题 C．命题q一定是真命题 是（ ）
B．命题q一定是假命题
D．命题q是真命题或假命题
6． 已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件
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A．n≤8？ B．n≤9？ C．n≤10？ D．n≤11？
7． 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[﹣∞，3] D．[﹣∞，3）
8． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
9． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．1616321632 B．16 C．8 D．8 3333第 2 页，共 17 页
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【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 11．如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．直线在平面外是指（ ） A．直线与平面没有公共点 B．直线与平面相交 C．直线与平面平行
D．直线与平面最多只有一个公共点
二、填空题
13．设f（x）是（x2+围是 ．
）展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[
6
，
]上恒成立，则实数m的取值范
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14．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．
15．设A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，A∩B=B，则a的取值范围是 ． 16．幂函数f(x)（m3m3)x2m22m1在区间0,上是增函数，则m ．
17．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题： ①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；
②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．
18．给出下列四个命题：
①函数f（x）=1﹣2sin2的最小正周期为2π； ②“x2﹣4x﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题“p∧（￢q）”是假命题； ④函数f（x）=x3﹣3x2+1在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
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20．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 87 90 86 91 80 74 90 95 （Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
21．如图所示，两个全等的矩形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且
AMFN，求证：MN//平面BCE．
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22．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．
23．（本题满分15分）
11d（d为常数， nN*），则称xn为调和数列，已知数列an为调和数xn1xn11111列，且a11，15.
a1a2a3a4a5若数列xn满足：
（1）求数列an的通项an；
2n（2）数列{}的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn2015？若存在，求出n的取值集合；若不存
an在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
24．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，
220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．
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（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
1111]
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田林县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵P是椭圆
+
=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22． 故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．
2． 【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx， 当0≤x＜π时，f（x）=1， ∴f（（
）=f（）+cos
）=f（+cos
=f（
）+cos）+cos
=f（+cos
）+cos+cos
+cos=0+cos
=f（﹣cos
）+cos+cos
+cos=﹣．
=f
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
3． 【答案】 B
=
，
，
【解析】解：∵函数的周期为T=∴ω=
又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴
=
，其中k∈Z
取k=1，得φ=
因此，f（x）的表达式为故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
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4． 【答案】B
【解析】易知Bx|x10x|x1，所以A(ðRB)x|2x1，故选B.
5． 【答案】D
【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题， 又∵命题“非p”也是假命题， ∴命题p为真命题． 故命题q为可真可假． 故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．
6． 【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2 n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4 n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9， 故选B．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}， 若A⊆B，则a＞3， 故选：B．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题． 8． 【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数， ∴所求概率为故选B．
．
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9． 【答案】B
【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意
当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴
⇒0＜a≤
综上所述0≤a≤ 故选B
【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为V11322244428，故选D． 23311．【答案】B
【解析】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0
满足条件s＜15，s=5，n=4 满足条件s＜15，s=9，n=3 满足条件s＜15，s=12，n=2 满足条件s＜15，s=14，n=1 满足条件s＜15，s=15，n=0 故选：B．
不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交， ∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点． 故选D．
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二、填空题
13．【答案】 [5，+∞） ．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
，
=x3．
，
]上恒成立，求得x2在区间[
，
]
32
【分析】由题意可得 f（x）=x，再由条件可得m≥x 在区间[
上的最大值，可得m的范围． 【解答】解：由题意可得 f（x）=由f（x）≤mx在区间[
2
由于x在区间[
x6
，]上恒成立，可得m≥x2 在区间[
]上恒成立，
，]上的最大值为 5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）． 题，属于中档题．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问14．【答案】 14 ．
【解析】解：有框图知S=a⊗b=
∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14 故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
15．【答案】 a≤0或a≥3 ．
【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B， ∴B⊆A，
则有a+1≤1或a≥3， 解得：a≤0或a≥3， 故答案为：a≤0或a≥3．
16．【答案】
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【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
17．【答案】 ①③ ．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确； 对③，给出对应法则y=tan③正确． 故选：①③
函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
18．【答案】 ①③④ ．
【解析】解：①∵
的充分不必要条件，故②错误； ③易知命题p为真，因为确；
④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④． 故答案为①③④．
＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立
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三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+， ∴f（1）=1， ∴切点为（1，1） ∵f′（x）=﹣1﹣∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1）， 即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=
， =
，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
2
则g（x）=ax﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a＜．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一： 依题意有
，
答案一：∵答案二：∵
∴从稳定性角度选甲合适．
乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；
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乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率
．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
21．【答案】证明见解析． 【解析】
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考点：直线与平面平行的判定与证明． 22．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： x f′（x） ﹣ f（x） ↘ 故函数f（x）在无极大值．…（4分） （Ⅱ）
，
0 + 极小值 ↗ 单调递减，在
单调递增，…（3分）f（x）有极小值
，
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0 当a=0时，方程的解为
，满足题意；…（5分）
，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分） 当a＜0，△=0时，
，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1， 只需h（1）=2a+1＞0，得综上，
．…（8分）
．…（7分）
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（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）由
，故由（Ⅱ）可知，
，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分） 取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0， 从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0， 即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分） 解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分） （Ⅱ）
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得设
，则m∈（1，+∞），
，
．…（5分）
，…（6分）
的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
问题转化为直线y=a与函数
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分） 故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
23．【答案】（1）an．…（8分）
1，（2）详见解析. n第 16 页，共 17 页
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当
n8时S872922112015，…………13分
*∴存在正整数n，使得Sn2015的取值集合为n|n8,nN，…………15分
24．【答案】（１）x0.0075；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】
试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1
试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201， ∴x0.0075．
考点：频率分布直方图；中位数；众数．
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