正交矩阵的有关结果

正交矩阵的有关结果 一、定义：

设A 是n 阶矩阵，若T A A E =，则称矩阵A 为正交矩阵。 由定义容易验证：(1) 正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1； (2) 不同行(列)对应元素的乘积等于0。 二、性质：

1、若A 是正交矩阵，则||1A =或-1。

2、设A 是n 阶正交矩阵，证明：(1) 如果||1A =，则A 的每一元素等于它自己的代数余子式；(2) 如果||1A =-，则A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值。

证明：由定义知：1T A A -=，而*1||A A A -= ，所以*||T A A A =。

又*()T ij A A =，所以()||ij A A A =。 从上式得需要的结果。

3、设A 是n 阶实矩阵，证明：(1) 如果||1A =，且A 的每一元素等于它自己的代数余子式，则A 是正交矩阵；(2) 如果||1A =-，且A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则A 是正交矩阵。

证明：(1) 因为1**1()()||

T T T ij ij A A A A a A A -=====，所以A 是正交矩阵。 类似可以证明(2)。

4、设A 是n 阶实矩阵，3n ≥，且0A ≠。证明：(1) 如果A 的每一元素等于它自己的代数余子式，则A 是正交矩阵；(2) 如果A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则A 是正交矩阵。

证明：由A 的每一元素等于它自己的代数余子式，得：*T A A =。 两边取行列式得：*||||T A A =，所以1||||n A A -= (*)。 因为0A ≠，所以至少有一个元素不等于零。不妨设110a ≠，则

111111||n n A a A a A =++ 221110n a a =++>

而3n ≥，则从(*)式得||1A =。从性质3结果知A 是正交矩阵。 类

似可以证明(2)。

5、设A 是一个n 阶正交矩阵，证明：（1）如果A 有特征值，则A 的特征值只能

是1或1-；（2）如果1A =-，则1-是A 的一个特征值；（3）如果1A =，且n 是奇数，则1是A 的一个特征值。

证明：(1) 设λ是矩阵A 的一个特征值，α是对应的特征向量，则A αλα=。

从而2()T T T T A A A A ααααλαα== (*) 由于A 是正交矩阵，所以T A A E =。 从而由(*)式得：2T T ααλαα=。 因为0α≠，所以0T αα≠。

因此21λ=，即1λ=±。 (2) T E A A A A --=--()T E A A =--E A =--- 所以0E A --=，即1-是A 的一个特征值。 (3) ()T T E A A A A E A A -=-=--(1)n E A E A =--=-- 由此得0E A -=。

6、已知正交矩阵A 有二个不同特征值，证明A 的属于不同特征值的特征向量一

定正交。

证明：由性质5知：1λ=±。

因为正交矩阵A 有二个不同特征值，所以这二个不同的特征值分别为1和1-。

设这二个特征值对应的特征向量分别为12,αα，则1122,A A αααα==-。 由此得：1212(,)(,)A A αααα=-

1212()T T T A A A A αααα=-=- 1212(,)T αααα=-=-

从而12(,)0αα=，即12,αα正交。