二次分式函数值域的求法

首先，我们先来了解什么是二次分式函数。

y = f(x) = (ax^2 + bx + c) / (dx^2 + ex + f)，其中a、b、c、d、e、f都是实数且d不等于0。

要求二次分式函数的值域，就是要确定函数f(x)的所有可能取值。 我们先来看一般情况下的二次分式函数。假设二次分式函数的分母dx^2 + ex + f有两个不同的实根x1和x2、那么，显然x可以取任意实数值，因为任何实数值代入到二次分式函数中都能找到对应的x，使得分母不为0。所以，可以确定二次分式函数的取值范围是整个实数集。

接下来，我们来看一些特殊情况下的二次分式函数。 情况一：分母为常数的情况

假设分母dx^2 + ex + f = C（C为常数）。那么这个二次分式函数的分母恒为C，不会出现分母为0的情况。所以此时的二次分式函数的值域也是整个实数集。

情况二：分母为一个一次函数的情况

假设分母dx^2 + ex + f只有一个实根x0。那么此时的二次分式函数y = f(x)就有一个由实根x0确定的竖直渐近线，即在x=x0这个点处，函数值可能无限大。在其他的实数点处，函数值可能有限。所以此时的值域是整个实数集。

情况三：分母为一个完全平方的情况

假设分母dx^2 + ex + f可以因式分解为(dx + g)^2（g为常数）。那么此时的二次分式函数y = f(x)可以写成分式 (ax^2 + bx + c) / (dx + g)^2、这样，分母为(dx + g)^2，表明了这个二次分式函数有一个由分母的因式(dx + g)确定的零点，即在x=-g这个点处，函数值可能无限大。其它实数点处函数值可能有限。所以此时的值域是整个实数集。

综上所述，无论是一般情况还是特殊情况，二次分式函数的值域都是整个实数集。

为了更好地理解二次分式函数值域的求法，我们可以通过绘制函数图象来进行观察。

例如，考虑函数f(x)=(2x^2+3x+1)/(x^2+2x+1)。我们可以将它化简为f(x)=(2x^2+3x+1)/(x+1)^2、然后，我们可以绘制图像来观察函数的值域。

首先，我们可以找到函数的定义域，即除数不等于0的情况。在这个例子中，分母为(x+1)^2，所以定义域是整个实数集。

然后，我们可以找出函数的零点。在这个例子中，分子2x^2+3x+1的零点是x=-1/2和x=-1、这两个零点也是分母(x+1)^2的零点，所以函数存在一个由(x+1)^2确定的零点x=-1、这个零点意味着函数值可能无限大。

接下来，我们可以选择一些实数点，例如x=0、x=1、x=-2等，来计算函数在这些点上的值。通过计算可以得到f(0)=1，f(1)=6，f(-2)=2/9等。

最后，我们将这些点连成曲线，就可以得到函数的图象。在这个例子中，函数的图象是一个开口向上的抛物线，并确定了一个由零点x=-1确定的竖直渐近线。

通过观察函数的图象，我们可以发现函数的值域是整个实数集。因为函数的图象接近竖直渐近线时，函数的值趋近于无限大。而函数的图象接近抛物线的两侧时，函数的值是有限的。

综上所述，通过观察二次分式函数的图象，我们可以对函数的值域进行估计。无论是一般情况还是特殊情况，二次分式函数的值域都是整个实数集。