探究规律题

——特级教师牛献礼《探究计算中的规律》赏析

杭州市安吉路实验学校 牛献礼

南京东方数学教育科学研究所 陈今晨 （已发表）

片断一：口算导引。

1/2+1/4 2/5+1/5 1/4+1/8 4/7+2/7 1、逐一出示，学生口算。

2、提问：你发现这些算式有什么特点了吗？ 生1：都是加法。

生2：两个分母之间有倍数关系，4是2的2倍，8是4的2倍。 生3：第一个分数是第二个分数的2倍。

小结：都是两个分数相加，前一个分数是后一个分数的2倍。 （板书：分数相加，前一个分数是后一个分数的2倍）

【赏析】教者极富教学思想，自觉开发课程资源，编创教材，引导学生在有关分数计算中积极探索规律。备课设计从分数口算题开始，明确地把经历猜想和验证的过程，运用转化和数形结合的思想方法，引导感悟和探究计算中的数学规律作为教学目标，表现了教者坚持课改理念高度的自觉性、课堂设计强烈的意识性和教材组合极大的灵活性。 片断二：猜测验证。 1、引导扩展算式。

师:符合这个特点的算式我们可以写得更长一些。 师生对话引出： （1）1/2+1/4+1/8

（2）1/3+1/6+1/12+1/24

（3）1/4+1/8+1/16+1/32

让学生计算上述算式（1）,然后汇报。1/2+1/4+1/8=7/8 2、组织探究发现。

师：这种方法是将异分母分数经过通分转化成同分母分数计算。（板书：转化）请大家再仔细观察这个算式和得数，你又有什么发现？

生1：和的分母是最后一个分数的分母，分子比分母小1。 生2：最后一个分数+得数=1

师：最后一个分数+得数=1。想一想：要求得数，有没有更简便的算法呢？ 生3：可以用1减去1/8来算。 3、借助图形理解。

师：到底可不可以这样算呢？我们可以借助于直观的图形来帮助我们理解。

动态出示上图，引导学生明白：换个角度想，可以把计算几个部分的和转化成求一个正方形减去空白部分所得的差。（板书：求和 求差） 板书：1/2+1/4+1/8=1－1/8=7/8 4、深入观察猜想。

师：我们可以大胆地猜想一下：计算这类前一个分数是后一个分数的2倍加法算式的和,有没有什么规律？

结合学生回答，投影呈现：“有人说：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和，只要用1减去最后一个分数就行了。”

你认为这种说说法对不对？你将用什么方法证明你的结论？ 生1：可以举例子，来算一算。 师：用什么方法算呢？

生1：用通分的方法算，再用猜想的方法算。

师：然后呢？

生1：再比较这两个得数是不是一样。如果一样，说明猜想是正确的；如果不一样，说明是错误的。

师：谁听懂他的意思了？

生2：他的意思是说，分别用通分的方法和猜想中的方法算出结果，比较两个结果是否相同。 师：生1介绍了一个好方法，生2听得很认真，也很会表达。好，我们就用“举例子”的方法来验证一下这个猜想是否正确。

学生独立思考，举例验证，全班交流。

建议学生用上述算式（2）、（3）为例或举其它例来验证,发现这一猜想错误。 显示：在数学上，我们要证明一个说法是不对的，只要举一个反例就可以了。

师：看来这个猜想并不具有普遍性，有些题目符合猜想，有些题目不符合猜想。要想找到普遍性的规律，还需要我们进一步观察和探究。

【赏析】对学生的诱导层次性很强——先是对已有几道算式特点的归纳概括；再有类推迁移扩展算式强化特点；接着强调通分体现转化思想，诱导对算式与得数间联系的发现；继之运用数形结合的手段动态地表征算式；验证中举出反例否定猜想。这些拾级而上的数学学习活动引领，都是围绕着创设猜想的氛围，为促成学生深入观察，大胆猜想，小心验证做足铺垫。 片段三：再猜测再验证。

师：我们还是借助于直观的图形来帮助我们找找猜想错误的原因。 逐步出示上面两个例子的正方形图。

图一 图二

师：既然刚才的猜想不是规律，那么规律到底是什么呢？哪位同学能借助图形来说说自己的发现？

生1：（边指着图一边讲想法）我发现可以先把最右边空白部分1/24当成涂色部分，1/6 +1/12 +1/24 +1/24=1/3，这样涂色部分就是2个1/3，但是因为多加了一个1/24，所以需要再减去一个1/24。1/3+1/6+1/12+1/24=1/3+(1/3－1/24)=1/3×2－1/24=5/8

生2：（边指着图二边讲想法）我的想法跟生1差不多。可以先把最右边空白部分1/32当成涂色部分，1/8 +1/16 +1/32 +1/32=1/4，这样涂色部分就是2个1/4，但是因为多加了一个1/32，所以需要再减去一个1/32。1/4+1/8+1/16+1/32=1/4+(1/4－1/32)=1/4×2－1/32=15/32

师：大家明白他们的想法吗？有没有道理？我们在图形的帮助下不但找到了错误的原因，而且还发现了正确的算法。那么，受到刚才计算方法的启发，现在你能不能再次大胆猜想一下：计算“几个分数相加，前一个分数是后一个分数的两倍，求它们的和”，怎样算比较简便？

生3：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和， 只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。

投影显示：“有人说：如果前一个分数是后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。 ”

你认为这个人说得对不对？你有什么方法证明你的想法？

师：如果要证明一个说法是错误的，只需要举出一个“反例”就可以了，如果要证明一个说法是正确的，需要举出几个例子呢？ 生1：多举几个例子，越多越好。 师：但是例子是举不完的呀？

生2：我觉得可以举一些特殊的例子。

师：有道理，尽量多举一些例子，举一些典型型的例子，比如举一些开头的分数不是几分之一的分数。

学生举例验证，发现猜想二都是正确的。 （投影）显示“猜想一”和“猜想二” 师：比较这两个猜想，它们之间有联系吗？

结合学生回答，小结：猜想一仅仅是猜想二的一种特殊情况，猜想一并不具有普遍性，猜想二才具有普遍性。因此，猜想二才是规律。

【赏析】光有验证中的否定猜想还是不够的，还得有通过验证获得证实的情形，这样学生对猜想的正反面验证经历才能完整。教者点拨学生的思路先行探究猜想遭受否定的原因，修正自身的主观猜想，发现更为一般的规律表述，进入再验证过程。如此的循环往复，突出了猜想与验证之间认识发展的辩证过程，使得学生对探索规律经历的过程体验涵盖了更强的普适性。 片断四： 反思建构。 1、运用。

计算：1/4+1/8+1/16+1/32+„„+1/1024 学生口答，集体反馈。 2、反思：

师：在学习过程中善于反思和总结的人进步最快。通过这节课的学习同学们静静地想一想： （1）这节课我们得出了什么结论？ （2）我们是怎么得出这个结论的？

归纳：猜想——验证——再猜想——再验证，用到了“数形结合”和“转化”的方法（板书）。 （3）你还能提出新的猜想吗？

生1：这是几个分数相加，如果是整数呢？有没有这个规律？ 生2：如果是小数呢？

生3：如果是几个分数相减呢？有没有类似的规律？

生4：如果几个分数相加，前一个分数是后一个分数的3倍，是不是得用第一个分数乘3再减最后一个分数呢？ „„

师：同学们提出了许多很好的猜想，是否正确呢？还需要—— 生（齐）：仔细验证。

师：对。大科学家牛顿有句名言:“没有大胆的猜想，就没有伟大的发明和发现。”历史上，很多著名的数学结论都是从猜想开始的，都是经过了“大胆猜想,小心求证”的过程,我们可以用这节课中学到的思想方法去探究更多的数学规律。

【赏析】将经过验证而获得证实的规律性认识，让学生再通过一定的计算运用以求进一步确证，并体验掌握规律后的便利，同时也作为了引发学习反思和总结的中介。设计的三个提问，恰到好处地引导了学生的思维方向，成就了课堂认知明确而扼要的成果检阅，既发挥了学生课堂总结中的主体性，也提升了他们认知的概括性。引用世界著名大科学家牛顿的名言作结，能够激发学生对数学规律后续的进一步探究兴趣，预留了可持续发展的巨大空间。 【总评】

牛献礼同志作为全国著名特级教师，应邀在成都所做的这一节成功的公开课，展示了多方面的课堂精彩：

1、积极践行开发课程资源的自主精神。探索规律是数学课程标准新增的内容，培养学生探究发现的创新学习品格是素质教育中的课改最强音。教者选取这一要点，参照诸多版本教材，不拘一格地从远道借班观摩教学的实际出发，自我开发创编教学内容，使得切入容易，最终实现了课堂的务实求真，灵活执教，顺利软着陆，很好地达成了课堂目标。

2、数学课堂紧抓对学生思维的生动导引。从四道简单分数口算题，安排让学生扩展，经过计算、探究、发现，引导学生的大胆猜想，明白地表达交流对算式蕴含规律认识的“毛坯”，继之再经历“小心求证”验证过程的精雕细刻，既证伪，修正猜想；又证实，应用规律，引领学生在探究的途程中登堂入室，渐入佳境，成就思考的精致上品。其间学生思考的快乐、发现的乐趣、成功的体验全凭教者恰当的思维领导。

3、统筹兼顾数学课堂教学的多方面要求。从这一课的教学，我们可以窥测到教者教学中的教育思考，不但让学生获得对所授算式的规律认识，还着意养成学生思考探究的科学精神和科学态度，以及形成良好的学习习惯——“善于反思和总结的人进步最快”；提升学生的一般探究思路——“猜想——验证——再猜想——再验证”；不但着眼于学生当前的认知建构，还蓄意于学生的长远发展——“我们可以用这节课中学到的思想方法去探究更多的数学规律”。其间，转化的思想方法、数形结合的思想方法、修正猜想逼近客观、获得确证的思想方法等都使得本课教学定位丰满、饱满，全方位收益。

4、充分显露了教者高妙的教学素养和优势。教学用语，要言不烦，简朴明确；备课教案，转述环节，简洁扼要；教学手段运用板书、图示、投影，通俗从众；教学信息，少而精致，不满不溢，留有余地。当然，从练习效率角度着眼，反思建构阶段的运用环节仅安排了一道题似乎数量少了点，可以视课堂进程而定，预留三五道同类题渐次而出，让学生举一反三，强化运用规律的心理愉快体验，熟化运用规律的解题技能技巧。更有甚者，还可留置另一规律探索的算式题，让学生自我探索，猜想验证，重新自我走实探究规律的一般道路。 教者反思：

缘起：本节课是自己开发的一节“数学活动课”，缘起于与学生交流探讨“1/2 +1/4 +1/8 +1/16 +1/32 +1/64”这道数学题目的解法。在与学生交流互动的过程中受到启发：能否以此题为依托，充分展现知识的发生、发展过程，进而将其开发成一节数学课呢？于是，几经思考、几经打磨，就有了上面这节课的设计。

思考：学生学习数学，获得必需的数学知识和技能当然是重要的，但不应是惟一的目的。学习数学要学会用数学的视角看世界，用数学的方法去认识客观世界中各式各样的事物，学会通过数学思考去把握千变万化的现象。因此，教师应在比较宽的视野下看待小学数学教学，不仅考虑显性的知识，更要充分挖掘教学内容蕴涵的数学“大思想”，以及教学内容对于人的发展所具有的教育价值：应用价值，思维价值（数学思想方法、研究问题的方法等等），情感态度价值，并将其作为教学目标落实在课堂上。

基于上述想法，制定了本节课的教学目标如下：

1、以“前一个分数是后一个分数的2倍的分数加法算式求和”这一知识为载体，运用“转化”和“数形结合”的思想方法，使学生经历“猜想、验证、再猜想、再验证”的科学探究过程，体验数学规律形成的过程，感悟探究数学规律的一般方法。

2、在探索计算规律的过程中，培养学生主动探索与思考的习惯和大胆猜想、仔细验证、实事求是的科学态度。

由上述目标可见，本节课的重心不在于多练习几道题目，追求“计算规律”的熟练应用，而重在引导学生充分经历一次涤荡思维之旅。在这四十分钟时间里，让学生在与老师、与同伴充分互动交流的过程中，体验发现的乐趣、探索的艰辛、错误的困惑，体验“柳暗花明”时的喜悦和“恍然大悟”后的快乐。也期望在这节课中，学生收获的不只是教学的知识和结论，更重要的是让学生初步掌握数学探究的一般方法，体悟老师苦心传递的“数学观”。我想，这种数学思想方法的渗透和数学观念的传递可能会比知识和结论更有价值，更有利于促进学生的发展。

摘要：如果前一个数依次是后一个数的2倍，那么这列数的和就等于最前数的2倍减最后一个前。

关键词：数形结合，探究规律

教学目标

1、运用数形结合的思想方法，经历猜想与辩证的过程，引导学生探索规律、发现规律和运用规律。

2、在探索和运用规律的过程中培养学生积极探索、大胆猜想、仔细验证、灵活运用的能力。

教学过程 一、口算

1/2＋1/4 1/4＋1/8 1/8＋1/16 1/16＋1/32 1/3＋1/6 1/5+1/10

在口算的基础上，引导学生概括上面每个算式中两个分数的特点。说法可以多样，比如：

1． 分子是1，前一个分数是后一个分数的两倍。 2． 分子是1，分一个分数是前一个分数的一半。 3． 最后结果的分子是3，分母是后一个分数的分母。

意图：让学生从形式上感受以上分数加法的特点，并从不同角度去表述，既可以激发学生探索规律的兴趣，又为后面的教学奠定了基础。

二、探究

（一）计算求和，提供基础

1．1/2+1/4+1/8 2．1/2+1/4+1/8+1/16 （二）初步观察，引导发现。

在计算基础上引导学生：你发现了什么规律？（让学生充分地说） 学生通过同分的方法计算得到：1/2+1/4+1/8=7/8，1/2+1/4+1/8+1/16 =15/16。由此，学生很容易发现这样的“规律”：和的分母是最后一个分数的分母，分子比分母小1。

（三）深入观察，大胆猜想。

在此基础上，再引导学生画出如下的正方形，运用数形结合的方法进一步研究。

结合图1和图2，将“数”转化为“形”，学生很容易明白：求阴影部分的和就等于一个正方形减去空白部分所得的差。即：

1/2+1/4+1/8=1－1/8=7/8

1/2+1/4+1/8+1/16=1－1/16=15/16 结合图形问学生：你发现了什么规律？

引导学生提出猜想一：分子是1，前一个分数是后一个分数的两倍，求这样一组分数的和，只要用1减去最后一个分数。

接着，针对以上猜想进行举例验证。教师可以先放手让学生自己去举例，估计学生会举出这样的例子：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32。若如此，学生分别利用猜想一盒通分计算验证可知，猜想一正确。

教师补充下面两个例子，让学生猜想并验证：1/4+1/8+1/16+1/32，1/3+1/6+1/12+1/24。通过验证，发现猜想一是错误的。

由验证可知，猜想一并不具有普遍性：有些题目符合猜想，有些题目又不符合猜想。那是否还存在什么规律呢？引导学生进一步观察和探究。

（四）数形结合，再次猜想。

引导学生画出教师所举两例的正方形图，如图3、图4。

结合图1～图4，灵活转换观察角度，得到新的思路。 例如，由图3可知1/8+1/16+1/32=1/4－1/32。所以，1/4+1/8+1/16+1/32=1/4＋（1/4－1/32）=1/4×2－1/32=15/32。

同理，由图4可知1/3+1/6+1/12+1/24=1/3＋（1/3－1/24）=1/3×2－1/24=5/8。

引导学生提出猜想二：如果前一个分数依次是最后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用地一个分数的2倍减去最后一个分数。

那么，这个猜想对不对呢？举例验证，如： 1．1/2+1/4+1/8+1/16+1/32。

方法一：运用猜想。1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=1/2×2－1/32=31/32。 方法二：通分计算。1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=31/32。 方法三：数形结合。1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=1－1/32=31/32。 2．1/5+1/10+1/20。方法同第1题。 通过学生举例验证，发现猜想二是正确的。

引导学生通过比较发现：猜想一仅仅是猜想二的一种特殊情况，猜想一并不具有普遍性，猜想二才具有普遍性。因此，猜想二才是规律。

意图：让学生在计算中发现这类计算结果有规律，并让学生先从表面形式上去观察，从而提出猜想，进行验证。在验证过程中产生新的问题，再次

运用数形结合的方法，转换观察视角，深入思考，大胆提出新的猜想，进而发现更具有一般性、普遍性的规律。这样，学生在猜想—验证—再猜想—再验证的过程中体验数学规律形成的过程，初步掌握探究数学规律的一般方法。

三、运用

（一）推广性运用。

1．1/4+1/8+1/16+1/32+„+1/1024 2．64+32+16+8+4+2+1

3．8000+4000+2000+1000+500+250 4．4+8+16+32+64+128+256 （二）综合性运用

意图：让学生从分数推广到整数，引导学生灵活运用发现的规律，过宽思路，俄培养学生举一反三的能力。

(三)拓展性运用。

1．计算下面各题，你能用“数形结合”的方法发现其中的规律吗？ （1）1/2－1/4 （2）1/2－1/4－1/8 （3）1/2－1/4－1/8－1/16 （4）1/2－1/4－1/8－1/16－1/32

2．下面一组算式也存在着规律，你能用“数形结合”的方法发现其中的规律吗?试一试！

（1）1/3+1/9 （2）1/3+1/9+1/27 （3）1/3+1/9+1/27+1/81

利用数形结合的方法（图略），可以发现剩下的总比取出的多1份。比如，第(1)题的和是4/9，剩下的是5/9。

3．你还能编出一些类试的算式，并且运用“数形结合”的方法发现其

中的规律吗？

意图：运用数形结合的方法，引导学生从加法拓展到减法，由“2倍”拓展到“3倍”，培养学生思维的深刻性。另外，最后让学生自己独立编写一些有规律的算式，既能有效地激发学生探究规律的兴趣，又能培养学生独立探索、发现规律的能力，同时也是其感受到数学规律的有效、有趣。

四、小结（略）

4月25日

星期日推掉了同学的满月酒，去荔湾区听了牛献礼老师一节课，真的觉得大师的确是大师，不仅表现在他的教学设计上，还表现在他对数学教学的思考，他上的这节课并不是书本上的内容，而是他自己根据六年级的教学而设计的一节课——“探究计算中的规律”。

牛老师课前和学生的几句闲聊：“放松点就好”“说错了是不是很正常？”“如果学生总是不犯错误，老师还教什么？”不仅仅是拉近了师生关系，更是为学生大胆表达自己的想法扫除了障碍，鼓励学生积极发言。而且能让学生悟到：犯错是学生的权力，只有不断地试误，才能获得举一反三、自我反思、自我完善的能力。

牛老师在上课就开始出示四个口算题：2/5+1/5，1/2+1/4，1/4+1/8 ，4/7+2/7，学生口算完之后让学生观察算式的两个加数有什么关系。 （前一个是后一个的两倍），接着让学生1/2、1/3、1/4开头，列出三个连加的算式。接着学生计算1/2+1/4+1/8 学生很快算出得数7/8 。让学生思考1/8和7/8有什么关系。就此分析计算的时候有什么简便方法。然后再借助正方形图来理解这样用减法计算的原理：一个正方形先被平均分为两份，其中的二分之一再被平均分为两份，再把四分之一平均分为两份，这样学生就明白：用1减去余下的1/8就是其余三部分之和了。至此，让学生猜想，这样的算式的简便运算的规律。于是引出了这样的初步猜想：几个分数相加，如果前一个分数是后一分数的2倍，求他们的和，只要用1减去最后一个分数就可以了。然后问学生“这的说法对不对？你用什么方法证明你的结论呢？“反应快的学生很快就发现的反例：1/3+1/6=1/2 而1-1/3=2/3 所以这个结论是错误的。再让学生计算1/3+1/6+1/12+1/24学生得出结果15/24 ，接着再次利用正方形代表“1”动画显示正方形的1/3，再依次得到1/6 1/12 1/24 ，让学生结合图形来解释为什么不能用1减去1/24来计算上面式子的求和。继续让学生思考：既然1-1/24是错的，那么怎么计算才是正确的呢？在教师的启发和图形的帮助下，很快有学生得出：用1/3的两倍减去1/24再让学生演算 1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 学生计算得出31/64 ，这次有学生用通分。让学生结合图形来解释为什么不能用1-1/64来计算这5个分数的和。 “既然1-1/64不行，那么怎样算才行？”于是学生提出用1/4的两倍减去1/64 通过验证发现是可以的。于是把前面的猜想修改为：几个分数相加，如果前一个分数是后一分数的2倍，求他们的和，只要用第一个分数的两倍减去最后一个分数就可以了。 问学生“这的说法对不对？你用什么方法证明你的结论呢？”

在学生举例后，强调举例是个好方法，但是不能完全证明猜想是对的，因为

只要有一个反例就能证明是错的。“那举例举不完怎么办？”（可以举一些有代表性的例子）“举例的时候要符合什么条件？”（前一个数是后一个的两倍）“这两个猜想有没有联系？”（猜想1是猜想2的特例）“当我们举例太少时，容易导致片面”“谁会计算这个题：1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+„+1/1024”于是一些学生通分再计算，也学生都利用今天的猜想计算。让学生养成验证猜想的好习惯。

这节课牛老师主要是从猜想1——验证——猜想2——验证的验证过程去得出结论，而且充分利用的数形结合的方法来理解。在整节课中牛老师多次向学生提出：“你还能提出新的猜想吗？”启发学生思考，在这节课的最后还留了一些问题让学生进行思考：这个结论我们研究的时候是适用于分数，那么小数和整数行不行呢？这节课里都是后一个分数是前一个分数的1/2 那么其他关系行不行呢？能不能适用于百分数和负数呢？能不能由加法推及到减法和乘除呢？让有能力的学生继续去探究和思考。

接下来牛老师的讲座，主题是《关注学生，促进发张》，这个讲座中，牛老师举了很多例子来说明他的观点，例如“寻找学生的真正起点” 他用《三角形内角和》来谈了这个问题，首先进行学情分析，就是大部分学生已知此结论，无探究兴趣。即便学生很聪明，“他很配合你”他们硬着头皮去探究，那也只是应付，没有真正的思考。无论是测量还是折、拼，如果只有一两个学生表演，也是无效课堂。无论测量还是折、拼，误差都是客观存在的。既然有误差，你怎么证明三个内角和等于180°？怎样让学生信服？

他是这样处理这节课的：合理猜想：三种三角形，哪种三角形的内角和最大？配合动画演示：由一个锐角变化成一个锐角三角形。由一个直角变化成一个直角三角形。由一个钝角变化成一个钝角三角形。这相当于挖个坑，让学生跳，肯定有学生不假思索地说钝角三角形的三个内角和最大。当然也有反应快的学生冷静回答：一样大。于是为了说服那些持有不同看法的同学，就有了探究兴趣。“你是不是故意凑成180°？” “我相信有故意凑成180°的同学”于是鼓励了一些量出179°的，182°的学生。牛老师这样设计说明了他对教材的深入理解，以及对学生充分分析。

在教学中，有很多的不足，从牛老师当中的话我也思考了我自己，对问题不深入理解，对教材研究的不透彻，对学生的理解不够多，经常总是按照自己的设想，往往对学生的估计不足，导致有很多败笔，在以后尽量能够多从学生的实际出发，了解他们的想法，用孩子的眼睛望出去，关注学生与别人想的不一样的地方。