整数【正数、0、负数】
1.一个物体也没有，用0表示。0和1、2、3……都是自然数。自然数是整数。 2.最小的一位数是1，最小的自然数是0。
3.零上4摄氏度记作+4℃；零下4摄氏度记作-4℃。“+4”读作正四。“-4”读作负四。+4也可以写成4。
4.像 +4、19、+8844这样的数都是正数。像-4、-11、-7、-155这样的数都是负数。
5.0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。 6.通常情况下，比海平面高用正数表示，比海平面低用负数表示。 7.通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示。
8.通常情况下，上车人数用正数表示，下车人数用负数表示。 9.通常情况下，收入用正数表示，支出用负数表示。 10.通常情况下，上升用正数表示，下降用负数表示。
小数【有限小数、无限小数】
1.分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
2.整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。 3.每个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。 4.小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 5.根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。
6.比较小数大小的一般方法：先比较整数部分的数，再依次比较小数部分十分位上的数，百分位上的数，千分位上的数，从左往右，如果哪个数位上的数大，这个小数就大。
7.把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，在万位或亿位右边点上小数点，再在数的后面添写“万”字或“亿”字。
8.求小数近似数的一般方法：1先要弄清保留几位小数；2根据需要确定看哪一位上的数；3用“四舍五入”的方法求得结果。 9.整数和小数的数位顺序表：（见课本73页）
分数【真分数、假分数】
1
1.把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，是这个分数的分数单位。
2.两个数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b=b/a（b≠0）
3.小数和分数的意义可以看出，小数实际上就是分母是10、100、1000…的分数。
4.分数可以分为真分数和假分数。
5.分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于1。
6.分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 7.分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
8.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
9.小数的性质和分数的基本性质一致的，应用分数的基本性质，可以通分和约分。
百分数【税率、利息、折扣、成数】
1.表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比，百分数通常用“%”表示。 2.分数与百分数比较：
分 数 百分数
不同点
可以表示具体数量，可以有单位名称 不可以表示具体数量，不可以有单位名称
相同点
表示两个数之间的关系
3.分数、小数、百分数的互化。
（1）把分数化成小数，用分数的分子除以分母。
（2）把小数化成分数，先改写成分母是10、100、1000……的分数，再约分。 （3）把小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，然后添上百分号。 （4）把百分数化成小数，先去掉百分号，然后把小数点向左移动两位。 （5）把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（6）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 4.熟记常用三数的互化。
5.（1）出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。 （2）合格率表示合格件数占总件数的百分之几。 （3）成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。
2
6.求一个数比另一个数多百分之几，就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。
7.（1）多的÷“1”=多百分之几 （2）少的÷“1”= 少百分之几 8.利息 = 本金 × 利率 × 时间
9.几折表示十分之几，表示百分之几十；几几折表示十分之几点几，表示百分之几十几。
10.原价×折扣=现价 现价÷原价=折扣 现价÷折扣=原价
11.几成表示十分之几表示百分之几十；几成几表示十分之几点几，表示百分之几十几。
因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】
1. 4 × 3 = 12，12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。 2. 一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。 3. 一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。 4. 5的倍数：个位上的数是5或0。
2的倍数：个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是双数。 3的倍数：各位上数的和一定是3的倍数。
5. 是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。
6. 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做素数（或质数）。 7. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。 8. 在1—20这些数中：（1既不是素数，也不是合数） 奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 偶数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素数：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8个，和为77。）
合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11个，和为132。） 9. 最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的素数是2，最小的合数是4。 10. 如果两个数是倍数关系，则大数是最小公倍数，小数是最大公因数。 11. 如果两个数只有公因数1，则最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 （二）数的运算
计算法则【整数、小数、分数】
1. 计算整数加、减法要把相同数位对齐，从低位算起。 2. 计算小数加、减法要把小数点对齐，从低位算起。
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3. 小数乘法：先按整数乘法算出积是多少，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。 4. 小数除法：
（1）商的小数点要和被除数的小数点对齐； （2）有余数时，要在后面添0，继续往下除；
（3）个位不够商1时，要在商的整数部分写0，点上小数点，再继续除。 （4）把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。
（5）当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用0补足。 5. 一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……
6. 一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……
7. 分数加、减法：（1）同分母分数相加减，把分子相加减，分母不变。（2）异分母分数相加减，要先通分化成同分母分数，然后再相加减。
8. 分数大小的比较：（1）同分母分数相比较，分子大的大，分子小的小。（2）异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 9. 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 10. 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
四则运算关系
加法 减法 乘法 除法
一个加数 = 和－另一个加数 被减数 = 差 + 减数 减数 = 被减数 － 差 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 被除数 = 商 × 除数 除数 = 被除数 ÷ 商
两个规律
1. 除法的商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 2.乘法的积不变规律：如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的积不变。
简便计算
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1. 运算定律： 运算定律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 减法运算规律 除法运算规律 （1）A÷0.1=A×10 （2）A×0.1=A÷10 （3）A÷0.2=A×5 （4）A×0.2=A÷5 （5）A÷0.5=A×2 （6）A×0.5=A÷2 3. 求近似数的方法。 ①四舍五入法。②进一法。③去尾法。 4. 积与因数、商与被除数的大小比较： 第2个因数>1,积>第1个因数； 第2个因数=1,积=第1个因数； 第2个因数<1,积<第1个因数。 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 （三）式与方程 用字母表示数
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用字母表示 a＋b=b＋a （a＋b）＋c=a＋(b＋c) a×b=b×a （a×b）×c=a×(b×c) （a＋b）×c=a×c＋b×c a－b－c=a－（b＋c） a÷b÷c=a÷（b×c） （7）A÷0.01=A×100； （8）A×0.01=A÷100 （9）A÷0.25=A×4 （10）A×0.25=A÷4 （11）A÷0.125=A×8 （12）A×0.125=A÷8 2. 乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；两个数相乘得“1”。） 除数>1，商<被除数； 除数=1，商=被除数； 除数<1，商>被除数； 数量关系 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 速度和×相遇时间=路程 路程÷相遇时间=速度和 路程÷速度和=相遇时间 1. 在一个含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“· ”，也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。 2. 2a与a2意义不同：2a表示两个a相加，a2表示两个a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。 3. 用字母表示数： ①用字母表示任意数：如X=4 a=6 ②用字母表示常见的数量关系：如s=vt ③用字母表示运算定律：如a＋b=b＋a ④用字母表示计算公式：S=ah 方程与等式 1. 含有未知数的等式叫做方程。 2. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3. 求方程的解的过程，叫做解方程。 4. 方程和等式的联系与区别： 联 系 区 别 等。 方 程 方程一定是等式，等式不一定是方程 含有未知数 等 式 不一定含有未知数 5.等式的基本性质（一）：等式两边加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相6.等式的基本性质（二）：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。 7.列方程解应用题的一般步骤： ①弄清题意，找出未知数并用X表示。 ②找出应用题中数量间的相等关系，并列出方程。 ③求出方程的解。 ④检验或验算，写出答案。 （四）正比例与反比例 比和比例 1.比和比例的联系与区别： 两个数相除又叫做两个数的比。 6
意义不同 比的意义 比 与 比 例 的 区 别 名称不同 比例的意义 比的名称 表示两个比相等的式子叫做比例。 两点读作比，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的的外项，中间的两项叫做比例的内项。 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 求比值。 化简比。 判断两个不能否组成比例。 不但可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。 分数 分子 分数线 分母 分数值 分数的基本性质 分数表示一个数。 除法 被除数 除号 除数 商 除法的商不变性质 除法表示一种运算。 比例的名称 比的性质 性质不同 比例的性质 应用比的意义 应用比的性质 应用不同 应用比例的意义 应用比例的性质 2.比同分数、除法的联系与区别： 比 前项 比号 联系 后项 比值 比的基本性质 区别 比表示两个数之间的关系。 3. 求比值与化简比的区别： 求比值 一 般 方 法 根据比值的意义，用前项除以后项。 结 果 是一个数。可以是整数、小数或分数。 是一个比。它的前项和后项都是整数，并且是互质数。 化简比 根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘或除以相同的数（零除外）。 7
4.化简比： ①整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 ②小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。 ③分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。 5.比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。 6.比例尺=图上距离︰实际距离 比例尺 = 图上距离 / 实际距离 正比例、反比例 1. 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。 2. 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。 3. 正比例与反比例的区别： 相 同 点 不 同 点 空间与图形
正 比 例 反 比 例 都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 商(比值)一定 积一定 xy=k（一定） y= k（一定） x（一）图形的认识、测量 量的计量 1. 长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。 2. 长度单位： 1千米=1000米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1米=10分米 1厘米=10毫米 1米=1000毫米 3. 面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。 4. 测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
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5. 测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。 6. 面积单位：（100） 1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米 1公顷=10000平方米 1平方分米=100平方厘米 7. 体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。 8. 体积单位：（1000） 1立方米=1000立方分米 1升=1000毫升 9. 常用的质量单位有：吨、千克、克。 10. 质量单位： 1吨=1000千克 12. 时间单位：（60） 1世纪=100年 1年=4个季度 1个月=3旬 小月=30天 闰年二月=29天 1小时=60分 成高级单位的名数应该除以进率。 14. 常用计量单位用字母表示： 千米：km 吨：t 米：m 千克：kg 分米：dm 克：g 厘米：cm 升：l 毫米：mm 毫升：ml 1年=12个月 1个季度=3个月 大月=31天 平年二月=28天 1天=24小时 1分=60秒 1千克=1000克 1立方分米=1000立方厘米 11. 常用的时间单位有： 世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。 13. 高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写平面图形【认识、周长、面积】 1. 用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
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2. 从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（°）。
3. 角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。 4. 相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。 5. 三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
6. 三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。 7. 三角形的内角和等于180度。
8. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
9. 在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
10. 四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。
11. 圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
12. 有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
13. 围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 14. 物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 15. 平面图形的面积计算公式推导： 【1】平行四边形面积公式的推导过程？
①把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
②长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。
③因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。 【2】三角形面积公式的推导过程？
①用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
②平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
③因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。即：S=ah÷2。
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【3】梯形面积公式的推导过程？ ①用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 ②平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。 ③因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。 【4】画图说明圆面积公式的推导过程 ①把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。 ②长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 ③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr×r=πr2。即：S=πr2。 16. 平面图形的周长和面积计算公式： 长方形周长 =（长+宽）× 2 长方形面积 = 长 × 宽 正方形周长 = 边长 × 4 正方形面积 = 边长 × 边长 平行四边形面积 = 底 × 高 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 17. 常用数据： 常用π值 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.70 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 12π=37.68 15π=47.1 16π=50.24 18π=56.52 20π=62.8 25π= 78.5 32π=100.48 2.25π=7.065 6.25π=19.625 常用平方数 12= 1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 C = πd C = 2πr r= d÷2 r=C ÷2π d=2r d=c ÷π S = πr2 S =π（）2 S=π（）2 立体图形【认识、表面积、体积】 1. 长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。
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2. 圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。
3. 圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
4. 表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。 5. 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。 6. 圆柱和圆锥三种关系： ①等底等高：体积1︰3 ②等底等体积：高1︰3 ③等高等体积：底面积1︰3 7. 等底等高的圆柱和圆锥：
①圆锥体积是圆柱的1/3， ②圆柱体积是圆锥的3倍， ③圆锥体积比圆柱少2/3， ④圆柱体积比圆锥多2倍。
8. 等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。 9. 立体图形公式推导：
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程） ①圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
②长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。 ③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。 ④圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。 正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？
①把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。 ②长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
③因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。即：V=Sh。 【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？ ①找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
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②将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。 ③通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。 10. 立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式： 名称 长方体棱长总和 长方体表面积 长方体体积 正方体棱长总和 正方体表面积 正方体体积 圆柱体侧面积 圆柱体表面积 圆柱体体积 圆锥体体积 （二）图形与变换 1.变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。 2.不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。 3.对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。 （三）图形与位置 1.当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。 2.当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。 统计与可能性
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计算公式 长方体棱长总和 = （长+宽+高）× 4 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 长方体体积=长×宽×高 正方体棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 正方体体积=棱长×棱长×棱长 圆柱体侧面积=底面周长×高 圆柱体表面积=侧面积+底面积×2 圆柱体体积=底面积×高 1圆锥体体积=Sh 3（一）统 计 1.我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。 2.常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。 3.条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。 4.折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 5.扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。 6.中位数、众数、平均数 名称 中位数 众数 平均数 （二）可能性 1. 事件状态 一定会发生 一定不会发生 可能发生 生活情景 太阳从东方升起 鸭子会讲话 今天会下雨 数学情景 从5个红球中摸出一个红球 从5个红球中摸出一个白球 从5个红球，1个白球中摸出一个白球 意义 一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。 一组数中出现次数最多的数。 反映一组数的总体水平的数据。 计算方法 中间的一个数或中间两个数的和÷2 出现次数最多的数 平均数=总数÷份数 2.在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。
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