二次函数与面积与答案

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值

二）求三角形周长及面积的最值问题

1.（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； 2. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

及E点的坐标．

3.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），

连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，

求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 4.如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由。

y B A O x

5．如图10，已知抛物线yxbxc经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）设此抛物线与直线yx相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线

2xm0m51与抛物线交于点M，与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段

MN的长（用含m的代数式表示）．

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，

请求出m的值，若不存在，请说明理由．

y x=m 

y=x B

N O A M 图10 P x

二次函数与面积(一)

1已知抛物线yax22xc与它的对称轴相交于点A(1，4)，与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D）

，过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EFx轴于F，求当四边形OPEF的面积等于72时点P的坐

标

2.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(0，3)、C(1，0)．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90，得到矩形OABC．设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：

（1）设直线BB表示的函数解析式为ymxn，求m、n； （2）求抛物线表示的二次函数的解析式；

y （3）在抛物线上求出使S△PBCS矩形OABC的所有点P的坐标． A B N C B C M O A x

（第2题）

3．如图，对称轴为直线x7的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)． 24．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． y x7

B(0，4) 2

F

O A(6，0) x E

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

(注意：本题中的结果均保留根号) y B 1 x A -1 O 1 (第4题图)

5．如图，抛物线yxbxc经过直线yx3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴2

6. 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.

S△ACD5:4的点P的坐标． y

C O A x

B D 第5题图

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SCAB； (3)是否存在一点P，使S△PAB=

98S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

y C

B

D 1 x

O

1

A

第6题

的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC:

7如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

图1

8.如图1，在平面直角坐标系中，直线y12x1与抛物线y＝ax2

＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

图1

9.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．

（1）求点E的坐标；

（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E． ①求二次函数的解析式和它的对称轴；

10.如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y1xb交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．

图1

的面积；若改变，请说明理由．

11.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1 备用图

12.如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

由面积产生的函数关系问题

13.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运14 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；

（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

15. 如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

1解答：

解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，

将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入， 得

，解得

，

所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；

将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c， 得

，解得

，

所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；

（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，MN有最大值；

（3）∵MN取得最大值时，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4，

∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD． ∵BC=5

，∴BC•BD=30，∴BD=3

．

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，

∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0），

设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，

将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1． 解方程组

，得

，

，

∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．

点评：

本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次

函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．

2. 分析：

（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为

（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；

（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 解答：

解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=﹣1对称， ∵点A的坐标为（﹣3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）；

（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1， ∴

=﹣1，解得b=2．

将B（1，0）代入y=x2+2x+c， 得1+2+c=0，解得c=﹣3．

则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，

∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3． 设P点坐标为（x，x2+2x﹣3）， ∵S△POC=4S△BOC， ∴×3×|x|=4××3×1， ∴|x|=4，x=±4．

当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21； 当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5． 所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；

②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得

，解得

，

即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．

设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，QD有最大值．

点评：

此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线

段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．

二）求三角形周长及面积的最值问题

1. 分析： （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可； （3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．

解答：

解：（1）由题意可知：

解得：

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC ∵BC是定值，

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小， ∵点A、点B关于对称轴I对称，

∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）， ∴AC=3，BC=

；

故△PBC周长的最小值为3

+

．

（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）

∴直线AD的解析式为y=2x+6 ∵点E的横坐标为m，

∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3） ∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6） =﹣m2﹣4m﹣3 ∴S=S△DEF+S△AEF =EF•GH+EF•AG

=EF•AH

=（﹣m2﹣4m﹣3）×2 =﹣m2﹣4m﹣3； ②S=﹣m2﹣4m﹣3 =﹣（m+2）2+1；

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1 此时点E的坐标为（﹣2，2）．

点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是

表示出三角形的面积的基础．

2. 分析：

（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；

（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3）， ∴，

解得

，

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得

，

所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，

点评：

联立

，

本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次

函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距

消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣

时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，

此时x=，y=﹣

=﹣，

∴点E的坐标为（，﹣），

设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），

∴AF=

﹣1=，

∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°，

∴点F到AC的距离为×=， 又∵AC=

=3

，

∴△ACE的最大面积=×3×=

，此时E点坐标为（，﹣）．

离问题．

3.4.5无答案

二次函数与面积（一）答案

1．（2008江苏）解：（1）由题意，知点A(1，4)是抛物线的顶点，

21， ··········································································2a·········4a2c，a1，c3，抛物线的函数关系式为yx22x3． ·

························（2）由（1）知，点C的坐标是(0，3)．设直线AC的函数关系式为ykxb，则b3，4kb，b3，k1，yx3． ·

······································由yx22x30，得x11，x23，点B的坐标是(3，0)． 设直线AB的函数关系式是ymxn，

则3mn0，n4．解得m2，n6．

m直线AB的函数关系式是y2x6． ······················································设P点坐标为(xP，yP)，则yPxP3．

2分） 3分） 4分） 5分）

（ （

（ （PE∥x轴，E点的纵坐标也是xP3．

设E点坐标为(xE，yE)，

点E在直线AB上，xP32xE6，x3xPE2． ·························· （6分） EFx轴，F点的坐标为3xP2，0， PEx33xPExP2，OF3xP2，EF(xP3)xP3，

S四边形OPEF12(PEOF)EF133xP3xP7222(xP3)2， ·············· （7分） 2x23xx1PP20，xP2，P2，当y0时，x3，

而321，3121，

P点坐标为12，72和(2，1)． ··························································· （9分） 2．（2008吉林）解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴B（－1，3）………………1分

根据题意，得B(3,1).

把B(1,3),B(3,1)代入ymxn中,mn3,3mn1. ………………2分

解得1m2, …………………………………………………… 3分 n52.m152,n2.

（2）由（1）得y12x52,N(0,52),M(5,0). ……………………4分 设二次函数解析式为yax2bxc,把C(1,0),M(5,0),N(0,52)代入得，

c5,2a1,ab50,解得2b2, ……………………………………52分

525a5b520.c2.∴二次函数解析式为y12x22x52. ………………………………6分 （3）S矩形OABC313,SPBC3.

又BC3,点P到BC的距离为2。则P点的纵坐标为3或—1。

当y3时,312x22x52,即x24x10. 解得x23.P1(23,3),P2(23,3). …………………………………………8分

当y1时,112x22x52,即x24x70. 解得x211.P3(211,1),P4(211,1). ………………………………10分

P点坐标(23,3),(23,3),(211,1),(211,1).

3．（2007河南）解：（1）由抛物线的对称轴是x7722，可设解析式为ya(x2)k．把A、B两点坐标代入上式，得

a(672)2k0, 解之，得a2,k25. a(072)2k4.36故抛物线解析式为y23(x72)2256，顶点为(7252,6). （2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

y27253(x2)26，

∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．

∵OA是OEAF的对角线， ∴S2SOAE212OAy6y4(72)225．

因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的

取值范围是1＜x＜6．

① 根据题意，当S = 24时，即4(x7)222524．

化简，得(x7)2124. 解之，得x13,x24. 故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形．

② 当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）．

而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使OEAF为正方形．

4、（2007云南）（12分）解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：

OB＝OA=2，∠BOD＝60°

在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30° ∴OD＝1，DB＝3 ∴点B的坐标是（1，3） ―――――2分

（2）设所求抛物线的解析式为yax2bxc，由已知可得：

c 0abc3

4a2bc0 解得：a33，b=233，c=0 ∴所求抛物线解析式为y33x2233x ――――――――4分 （备注：a、b的值各得1分） （3）存在 由y3x223x 配方后得：y33(x1)23333 ∴抛物线的对称轴为x1 ――――――――6分

（也可用顶点坐标公式求出）

∵点C在对称轴x1上，△BOC的周长＝OB+BC+CO； ∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小， ∵点O与点A关于直线x1对称，有CO=CA △BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。

设直线AB的解析式为ykxb，则有：kb32kb0



解得：k323，b 33323x――――――7分 ＝3193(x)2 228∴直线AB的解析式为y ∴当x931时，△PAB得面积有最大值，最大面积为。――――――11分

33当x1时，y33 ∴所求点C的坐标为（－1，33）―――――――8分

（4）设P(x，y)（－2x0，y0），则y33x2233x ① 过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE

⊥PQ轴于点E，则PQ=x，PG=y，由题意可得：

S△PAB＝S梯形AFEB－S△AFP－S△BEP ――――――9分

＝12(AFBE)FE12AFFP12PEBE =1112(y3y)(12)2(y)(x2)2(1x)(3y)

＝32y32x3 ② 将①代入②，化简得：S3△PAB＝-2x232x3 ――――――10分 28 此时y3123343(12)34 ∴点P的坐标为(1，324) ――――――12分 （解法不唯一，其它解法参照此标准给分）

5（2007青海）．解：（1）直线yx3与坐标轴的交点A(3，0)，B(0，3)．

1分

则93bc0，c3.

3分

b2，20．解：(1)设抛物线的解析式为：y1a(x1)4 ···········································1分 2解得c3.

此抛物线的解析式yx22x3．

（2）抛物线的顶点D(1，4)，与x轴的另一个交点C(1，0)．

设P(a，a22a3)，

则24a22a31:2445:4． 化简得a22a35． 当a22a35， 得a4或a2．

P(4，5)或P(2，5)

当a22a30时，

即a22a20，此方程无解．

综上所述，满足条件的点的坐标为(4，5)或(2，5)．

注：以上各题用不同于本参的解法做正确的相应给分． 6、（湖南益阳）解答题：本题满分14分．

4分

5分 6分

7分

9分

10分 11分

把A（3,0）代入解析式求得a1

所以y221(x1)4x2x3 ··············································3分

设直线AB的解析式为：y2kxb

由y21x2x3求得B点的坐标为(0,3) ···································4分 把A(3,0)，B(0,3)代入y2kxb中 解得：k1,b3

所以y2x3 ··········································································6分 (2)因为C点坐标为(１,4)

所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以CD＝4-2＝2 ··········································································8分

S1CAB2323(平方单位) ·

··················································· 10分 (3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

则hy221y2(x2x3)(x3)x3x ······················ 12分 由S9△PAB=8S△CAB 得：

123(x23x)983 化简得：4x212x90

解得，x32

将x

32

代入yx212x3中， 解得P点坐标为(32,1) ······························································ 14分

7.思路点拨

1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是 △A′B′O面积的3倍．

2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．

3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答

（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)， 代入B′(0, 2)，得a＝1．

所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2． （2）S△A′B′O＝1．

如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3． 如图2，作PD⊥OB，垂足为D． 设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．

S1111梯形PB'OD2DO(B'OPD)2x(2x2x2)2x32x22x．

S1113PDB2DBPD2(2x)(x2x2)2x32x22．

所以S四边形PB'A'DS梯形PB'ODSPDBx22x+2． 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．

所以点P的坐标为(1，2)．

图2 图3 图4

（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．

考点伸展

第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．

S1PB'O2B'Ox1P22xx． SPBO112BOy2P22(xx2)x2x2． 所以S四边形PB'A'DSPB'OSPBOx22x+2．

甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：

作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．

而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P． 2.

思路点拨

1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．

2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．

3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．

满分解答

（1）设直线y12x1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．

25BM＝4－m．

在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE5．所以sinAEO5． 因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sinACP255． 将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得4a2b30,16a4b33.

解得a12，b12． （2）由P(m,12m212m3)，C(m,12m1)，

得PC(1m1)(1m21m3)12m2222m4．

所以PDPCsinACP255PC255(12m2m4)55(m1)2955． 所以PD的最大值为955． （3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m52； 当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m329．

图2

考点伸展

第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．

而DNPDcosPDNPDcosACP52555(1212mm4)5(m2)(m4)，

①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，15(m2)(m4)9510(4m)．解得m2．

②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，110325(m2)(m4)9(4m)．解得m9．

3.思路点拨

1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．

2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．

满分解答

（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．

（2）①因为抛物线y＝－x2

＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以93bc4,1bc0.

解得b6,c5.所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线x＝3．

②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．

SCEMS梯形OFMCSMEFSCOE

12(4t)3122t1t21424． （ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，S1ABM2(4t)24t．解方程t242(4t)，得t85．此时点M的坐标为（3，85）．

（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，SABM12(t4)2t4．解方程t242(t4)，得t8．此时点M的坐标为（3，8）．

图2 图3

4.思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由y12xb可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此

时S＝S1△ODE＝

2OEOC122b1b． ②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入y12xb可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入y12xb可知，点E的坐标为(3,b32)，AE＝b32，

BE＝52b．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD

＝3123(b3151252)2(2b)(52b)21(2b2)b2b．

(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重

叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得m．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．

图2 图3 图4

5.思路点拨

1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点． 2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．

3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．

满分解答

(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，

ADACcosA33955．

(2) ①如图2，当F在AC上时，0x95．在Rt△AEF中，EFAEtanA43x．所以y1AEEF2x223． 如图3，当F在BC上时，9≤x5．在Rt△BEF中，EFBEtanB3(5x)．所以y12AEEF38x2158x．②当0x925时，y3x2的最大值为25；

当93215755≤x5时，y8x8x38(x52)27532的最大值为32． 因此，当x52时，y的最大值为7532．

图2 图3 图4

(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．

先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此

S11422AEF2AEAFsinA2x(6x)55x(x6)．解方程5x(x6)，3得x3126．

因为x3126在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

6.思路点拨

1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相

等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．

2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．

3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．

4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．

满分解答

（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．

（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．

在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以

APAMMPABAFBF，即tAMMP1068．因此AM34345t,PM5t．于是PNOM105t,ONPM5t． 设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么S1OQPN1(1t)(103t)3t2472251010t5，定

义域为0≤t≤10．

因为抛物线开口向下，对称轴为直线t476，所以当t476时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(

9415，5310)． （4）当t53或t29513时, OP与PQ相等．

图3 图4

考点伸展

附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．

附加题也可以这样解：

①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、

OQ的长列方程组5mt,51t,解得8mt3．

②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD

中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组5m37.5t,2951t,解得8mt13．

③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组5m10t10,8m1t,解得

t53，但这时点P不在BC上．

13. （1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．

（2）①如图1，当0＜t≤611时，EF2t．所以S4t2．

②如图2，当

611＜t≤65时，EFEH2t，AE2t，NE334AE4(2t)． 于是NHEHNE2t34(2t)1134t2，

2S12NHQH12NH43NH23NH22△NHQ3114t32． 所以S4t21134t32222524t21132t2． ③如图3，当65＜t≤2时，EF4，AEt2，AFt2．

所以SS32△AFMS△AEN8AF38AE23t．

图2 图3 图4

（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为

110275，此时t14625．

图5 图6 图7 第（2）题中t的临界时刻是这样求的：

如图8，当H落在AC上时，AE2t，EHEF2t，由2t62t34，得t11．

如图9，当G落在AC上时，AF2t，GFEF2t，由

2t2t34，得t65．

图8 图9

14. （1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为y43x．

（2）①当M在OC上，Q在AB上时，0＜t≤52．

在Rt△OPM中，OP＝t，tanOMP43，所以PM43t． 在Rt△AQE中，AQ＝2t，cosQAE365，所以AE5t．

于是PE865tt815t．因此S12PEPM21615t23t．

②当M在OC上，Q在BC上时，52＜t≤3．

因为BQ2t5，所以PF11t(2t5)163t．

因此S12PFPM2t2323t． ③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和t2t115，解得t163． 因此当M、Q都在BC上，相遇前，3＜t≤163，PM＝4，MQ16t2t163t．所以S12MQPM6t32．

图2 图3 图4

（3）①当0＜t≤52时，S216216015t23t15(t20)23．

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，

所以当t52时，S最大，最大值为856． ②当52＜t≤3时，S2t23281283t2(t3)29．

因为抛物线开口向下，所以当t83时，S最大，最大值为12． ③当3＜t≤163时，S12MQPM6t32． 因为S随t的增大而减小，所以当t3时，S最大，最大值为14．

综上所述，当t83时，S最大，最大值为12．

图2 图3 图4

（3）①当0＜t≤5时，S215t2163t216015(t20)223．

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，

所以当t52时，S最大，最大值为856． ②当52＜t≤3时，S2t23281283t2(t3)29．

因为抛物线开口向下，所以当t83时，S最大，最大值为12． ③当3＜t≤163时，S12MQPM6t32． 因为S随t的增大而减小，所以当t3时，S最大，最大值为14．

综上所述，当t83时，S最大，最大值为12．

15 （1）在Rt△ABC中，tanBACBCAB23363， 所以∠BAC＝30°．

如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，

在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=23，所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1． 图2

（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，S23t43． 解3(3t)3，得t＝2（如图10）；解3(t3)3，得t＝4（如图11）．

②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，S3t243t33． ③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，S43t203． ④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，S3(t6)2．

图3 图4 图5

图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t． （3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO． 在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．

△AEH的形状保持不变，AH＝3AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．

图6 图7 图8

①当AO＝AH时，解3(3t)3，得t33（如图7）； 解3(t3)3，得t33（如图8）．

②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）． ③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝3AH＝3AE．

图9 图10 图11