一、选择题（共12个小题）
1．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|y=√𝒙−𝟑}，A∩B＝（ ） A．[1，+∞）
B．[1，3]
C．（3，5]
D．[3，5]
示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N＝6，则输出的i＝（ ）
2．若复数z满足（z﹣1）（i﹣1）＝i，则𝒛对应的点在第（ ）象限． A．一
1
B．二 C．三 D．四
3．已知𝒍𝒐𝒈𝟓𝒂=2，𝒃5=2，(2)𝒄=𝟓，则（ ）
555A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
𝒙+𝒚≥𝟐
y满足约束条件{𝒙−𝟐𝒚+𝟒≥𝟎， 4．已知变量x，若x2+y2+2x≥k恒成立，则实数k的最大值为（ ）
𝟐𝒙−𝒚−𝟒≤𝟎A．40
B．9
C．8
D． 27
A．6
7．{an}为等差数列，若n＝（ ） A．2019
B．7
𝑎2019𝑎2020
C．8 D．9
5．已知函数f（x）的定义域为D，满足：①对任意x∈D，都有f（x）+f（﹣x）＝0，②对任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有功函数”的是（ ） A．f（x）＝tanx
2−𝑥
C．𝒇(𝒙)=𝒍𝒏2+𝑥𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2
＜−𝟏，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，
＞𝟎，则称函数f（x）为“成功函数“，下列函数是“成
B．2020 C．4039 D．4040
B．f（x）＝x+sinx D．f（x）＝e﹣e
﹣x
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
x
6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x+1问题”．如图所
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C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
9．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点P（﹣3，﹣4），角β的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝﹣2，则tan∠QOP的值为（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13．（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，则a1+a2+…+a9＝ （用数字作答）． 𝒙，𝒙≤𝟏
fx）f（fx） 14．={已知函数（，则函数y＝（）﹣1的所有零点构成的集合为 ．
𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙−𝟏)，𝒙＞𝟏15．在△ABC中，D为AB边的中点，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别为边BC，AC上的动点，且EF＝1，则𝑫𝑬⋅𝑫𝑭最小值为 ．
16．已知点A（0，4），抛物线C：x2＝2py（0＜p＜4）的准线为1，点P在C上，作PH⊥l于H，
→
→
且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，则抛物线方程为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分．
A．﹣2 B．−
2 11C．−
11 2D．− 1217．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且𝒃𝒄𝒐𝒔𝑪+√𝟑𝒃𝒔𝒊𝒏𝑪−𝒂−𝒄=𝟎． （1）求B；
（2）若b＝2，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求△ABC的面积．
√3AE∥CF，CF⊥平面ABCD，18．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，𝑨𝑬=，
10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=√𝟐，𝑩𝑪=𝑪𝑪𝟏=𝟏，平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C，平面α∩平面ABB1A1＝l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（ ） A．√
33B．√
2
2
2
3C．√ 6
3D．√ 6
6311．点F2是双曲线𝑪：𝑥−𝑦=𝟏的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：tx﹣y+t﹣2＝0与
93直线l2：x+ty+2t﹣1＝0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（ ） A．8
B．𝟓√𝟑 C．9
D．𝟔√𝟑 𝑪𝑭=√𝟑．
（1）求证：平面BDE⊥平面BDF； （2）求二面角D﹣EF﹣B的大小．
12．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x∈（0，+∞），f（f（x）﹣ex+x）＝e．若不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，e﹣2]
B．（﹣∞，e﹣1] C．（﹣∞，2e﹣3] D．（﹣∞，2e﹣1]
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（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选
择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），
（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望； （ii）设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值．
19．已知椭圆Γ：
𝑥2𝑎2
+
𝑦2𝑏2
√
=𝟏(𝒂＞𝒃＞𝟎)的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别
2
221．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+1）（a∈R）． （1）讨论函数f（x）极值点的个数；
是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为4． （1）求椭圆Γ的方程．
（2）当a＝1时，不等式f（x）≥kx1n（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．
MD分别交x轴于E、（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、F，且满足AE2+BF2＝AB2，求证：AB＝2AD．
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
𝒙=𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{（α为参数），以原点O为极点，x
𝒚=√𝟑𝒔𝒊𝒏𝜶√
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为𝝆𝒔𝒊𝒏(𝜽+𝜋)=2，且在极坐标下点
42P(𝟏，2)．
20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为
[选修4--5：不等式选讲]
ξ P
4 0.4
5 a
6
23．已知实数x，y满足x+4y＝2．
b
（1）若|1+y|＜|x|﹣2，求x的取值范围；
其中0＜a＜1，0＜b＜1．
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𝜋
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求
1|𝑃𝐴|
+
1
|𝑃𝐵|
的值．
（2）若x＞0，y＞0，求+的最小值．
𝑥
𝑦
41
A．[1，+∞） B．[1，3] C．（3，5] D．[3，5]
【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可． 解：∵集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}， B＝{x|y=√𝒙−𝟑}＝{x|x≥3}， ∴A∩B＝[3，5]， 故选：D．
【点评】本题考查了集合的运算，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题． 2．若复数z满足（z﹣1）（i﹣1）＝i，则𝒛对应的点在第（ ）象限． A．一
B．二
C．三
D．四
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出𝒛的坐标得答案．
解：由（z﹣1）（i﹣1）＝i，得z﹣1=𝑖−1=(−1+𝑖)(−1−𝑖)=2−2𝒊， ∴z=
3131−𝒊，则𝒛=+𝒊． 222232
12
𝑖
𝑖(−1−𝑖)
1
1
∴𝒛对应的点的坐标为（，），在第一象限．
故选：A．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）
1．已知集合A＝{x|x﹣6x+5≤0}，B＝{x|y=√𝒙−𝟑}，A∩B＝（ ）
2
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知𝒍𝒐𝒈𝟓𝒂=2，𝒃5=2，(2)𝒄=𝟓，则（ ）
555A．a＜b＜c
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1
B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【分析】化对数式为指数式判断a＞1，求解b∈（0，1），化指数式为对数式判断c＜0，则答案可求．
解：由𝒍𝒐𝒈𝟓𝒂=，得a=𝟓5＞50＝1，
5由𝒃5=2，得b=()𝟓∈（0，1），
552
由()𝒄=𝟓，得c=𝒍𝒐𝒈2𝟓＜0， 551
故选：D．
2
2
2
∴c＜b＜a． 故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题．
𝒙+𝒚≥𝟐
y满足约束条件{𝒙−𝟐𝒚+𝟒≥𝟎， 4．已知变量x，若x2+y2+2x≥k恒成立，则实数k的最大值为（ ）
𝟐𝒙−𝒚−𝟒≤𝟎A．40
B．9
C．8
2
【点评】此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图．考查转化思想的应用．
5．已知函数f（x）的定义域为D，满足：①对任意x∈D，都有f（x）+f（﹣x）＝0，②对任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有功函数”的是（ ） A．f（x）＝tanx C．𝒇(𝒙)=𝒍𝒏
2−𝑥
2+𝑥𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2
＞𝟎，则称函数f（x）为“成功函数“，下列函数是“成
D． 2
2
7
B．f（x）＝x+sinx D．f（x）＝e﹣x﹣ex
【分析】已知x、y满足以下约束条件画出可行域，目标函数z＝x+y+2x是可行域中的点（x，y）到原点的距离的平方减1，求出最小值，然后求解z的最大值． 𝒙+𝒚≥𝟐
解：变量x，y满足约束条件{𝒙−𝟐𝒚+𝟒≥𝟎的可行域如图，
𝟐𝒙−𝒚−𝟒≤𝟎x2+y2+2x是点（x，y）到（﹣1，0）的距离的平方减1，
【分析】由①对任意x∈D，都有f（x）+f（﹣x）＝0，得f（﹣x）＝﹣f（x）即函数为奇函数；②对任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有然后结合选项进行判断即可．
解：由①对任意x∈D，都有f（x）+f（﹣x）＝0，得f（﹣x）＝﹣f（x）即函数为奇函数；
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2
＞𝟎，即函数单调递增，
故最小值为点P到（﹣1，0）的距离的平方加1，z＝x2+y2+2x的最小值为：(72
72
−1−2𝟐7
)−𝟏=
2√2②对任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2
＞𝟎，即函数单调递增，
若x2+y2+2x≥k恒成立，即≥k．k的最大值为：．
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A：y＝tanx在定义域内不单调，不符合题意；
B：由f（x）＝x+sinx可得f（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣f（x）且由于f′（x）＝1+cosx≥0恒成立，即f（x）在R上单调递增，符合题意；
2−𝑥2+𝑥
C：结合复合函数单调性可知，y＝ln在（﹣2，2）内单调递减，不符合题意；
D：y＝e﹣x﹣ex在定义域R上单调递减，不符合题意． 故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于函数性质的综合应用．
6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x+1问题”．如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N＝6，则输出的i＝（ ）
A．6
B．7
C．8 D．9
【分析】根据该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：由题意，模拟程序的运行，可得 n＝6，i＝1
n不是奇数，n＝3，i＝2，不满足条件n＝1； n是奇数，n＝10，i＝3，不满足条件n＝1， 执行循环体，n不是奇数，n＝5，i＝4；
不满足条件n＝1，执行循环体，n是奇数，n＝16，i＝5；
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不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝8，i＝6； 不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝4，i＝7； 不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝2，i＝8； 不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝1，i＝9； 满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为9． 故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3
7．{an}为等差数列，若n＝（ ）
𝑎2019𝑎2020
＜−𝟏，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方
A．2019 【分析】若
𝑎2019𝑎2020
B．2020 C．4039 D．4040
差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求． 解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人， 故A不正确，
当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小， 故B不正确，
中位数和众数也不能确定， 故C不正确，
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，
＜−𝟏，a2020＞0．a2019+a2020＜0．且它的前n项和Sn有最小值，可得a2019＜0，再
利用求和公式即可判断出结论．
𝑎2019𝑎2020
解：若
＜−𝟏，且它的前n项和Sn有最小值，
∴a2019＜0，a2020＞0． ∴a2019+a2020＜0．
S4038＝2019（a1+a4038）＝2019（a2019+a2020）＜0．
4039(𝑎1+𝑎4039)S4039==4039a2020＞0． 2那么当Sn取得最小正值时，n＝4039．
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∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7． 故D正确． 故选：D．
【点评】本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．
9．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点P（﹣3，﹣4），角β的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝﹣2，则tan∠QOP的值为（ ）
10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=√𝟐，𝑩𝑪=𝑪𝑪𝟏=𝟏，平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C，平面α∩平面ABB1A1＝l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（ ） A．√
33B．√
2
3C．√
6
3D．√ 6
6【分析】由题意画出图形，得到平面α与平面ABB1A1的交线l，找出异面直线所成角，由已知结合余弦定理求解． 解：如图，
∵平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C， ∴平面α与平面A1DC1 重合，在平面ABB1A1中，
A．﹣2
B．−
2
1143C．−
11 2D．− 过A1作A1E∥AB1，则A1E∥DC1，即A1E为平面α与平面ABB1A1的交线l， 连接AD1，可得AD1∥BC1，又l∥AB1，则∠D1AB1 即为直线l与BC1所成角． 连接D1B1，由AB=√𝟐，𝑩𝑪=𝑪𝑪𝟏=𝟏，得𝑨𝑩𝟏=𝑩𝟏𝑫𝟏=√𝟑，𝑨𝑫𝟏=√𝟐，
√√√√
由余弦定理可得：cos∠D1AB1=(3)+(2)−(3)=6．
62×√3×√21
2【分析】由已知可得：tanα=．可得tan∠QOP＝tan（α﹣β）=1+𝑡𝑎𝑛𝛼⋅𝑡𝑎𝑛𝛽，代入即可得出． 解：由已知可得：tanα=
−44
=． −33𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
4
−(−2)𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
=−2． ∴tan∠QOP＝tan（α﹣β）=1+𝑡𝑎𝑛𝛼⋅𝑡𝑎𝑛𝛽=341+3×(−2)222
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
即直线l与BC1所成角的余弦值为故选：D．
√6． 6
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【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 11．点F2是双曲线𝑪：𝑥−𝑦=𝟏的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：tx﹣y+t﹣2＝0与
93直线l2：x+ty+2t﹣1＝0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（ ） A．8
B．𝟓√𝟑 C．9
D．𝟔√𝟑 2
2
故选：C．
【分析】由题意求出直线l1，l2的交点B为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆，由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a，
所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小．
解：由双曲线的方程可得a＝3，b=√𝟑，焦点F（﹣2√𝟑，0）， 可得|AF2|＝|AF1|+2a＝|AF1|+6， 所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，
当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，
𝑡2−1
𝒙=−2𝒕𝒙−𝒚+𝒕−𝟐=𝟎𝑡+1，消参数t可得x2+（y+2）2
联立直线l1，l2的方程{，可得{
𝒙+𝒕𝒚+𝟐𝒕−𝟏=𝟎2𝑡
𝒚+𝟐=2𝑡+1
【点评】本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题． 12．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x∈（0，+∞），f（f（x）﹣ex+x）＝e．若不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，e﹣2]
B．（﹣∞，e﹣1]
C．（﹣∞，2e﹣3] D．（﹣∞，2e﹣1]
【分析】先利用换元法求出f（x）的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．
解：设f（x）﹣ex+x＝t，则f（t）＝e，
∴f（x）＝ex﹣x+t，令x＝t得f（t）＝et﹣t+t＝e，解得t＝1， ∴f（x）＝ex﹣x+1，
＝1，
所以可得交点B的轨迹为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆，
f′（x）＝ex﹣1，
所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6≥|BF1|﹣1+6=√(−𝟐√𝟑)𝟐+𝟐𝟐+5＝9，
不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax，x∈（0，+∞）．即：a≤
当过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小． 所以|AB|+|AF2|的最小值为9，
𝑒𝑥
−2． 𝑥令g（x）=
𝑒𝑥
−2，x∈（0，+∞）． 𝑥第 9 页 共 18 页
𝑒𝑥(𝑥−1)
g′（x）=，可得x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值．
𝑥2可．
解：由y＝f（f（x））﹣1＝0得f（f（x））＝1， 设t＝f（x），则等价为f（t）＝1， 当x≤1时，由f（x）＝x＝1得x＝1，
当x＞1时，由f（x）＝log2（x﹣1）＝1得x＝3， 即t＝1或t＝3，
当x≤1时，由f（x）＝x＝1，得x＝1，由f（x）＝x+1＝3，得x＝2（舍），故此时x＝1， 当x＞1时，由f（x）＝log2（x﹣1）＝1得x＝3，由f（x）＝log2（x﹣1）＝3，得x＝9， 综上x＝1，或x＝3或x＝9，
所以函数y＝f[f（x）]﹣1的所有零点所构成的集合为：{1，3，9} 故答案为：{1，3，9}．
【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．
15．在△ABC中，D为AB边的中点，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别为边BC，AC上的动点，且EF＝1，则𝑫𝑬⋅𝑫𝑭最小值为
→
→
∵不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax对x∈（0，+∞）恒成立， ∴a≤e﹣2．
∴a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]． 故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13．（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，则a1+a2+…+a9＝ 511 （用数字作答）． 【分析】在所给的等式中，分别令x＝﹣1，x＝0，可得要求式子的值． 解：∵（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9， ∴令x＝﹣1，可得a0＝1．
再令x＝0，可得 1+a1+a2+…+a9＝29，∴a1+a2+…+a9＝511， 故答案为：511．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
𝒙，𝒙≤𝟏14．已知函数f（x）={，则函数y＝f（f（x））﹣1的所有零点构成的集合为
𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙−𝟏)，𝒙＞𝟏{1，3，9} ．
154
．
→
→
→
→
【分析】建立平面直角坐标系，设E（x，0），求出𝑫𝑬⋅𝑫𝑭的坐标，则𝑫𝑬⋅𝑫𝑭可表示为x的函数，利用函数的性质得出最小值．
【解答】解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（0，4），B（3，0），C（0，0），D（，2）．设E（x，0），则F（0，√𝟏−𝒙𝟐）.0
32
【分析】函数y＝f[f（x）]﹣1的零点，即求方程f[f（x）]﹣1＝0的解，利用换元法进行求解即
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≤x≤1．
∴𝑫𝑬=（x−，﹣2），𝑫𝑭=（−，√𝟏−𝒙𝟐−2）．
22∴𝑫𝑬⋅𝑫𝑭=
→
→→
从而求得抛物线的方程．
3
→
3
解：设抛物线的焦点为F（𝟎，2），|AF|＝4−2，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，
𝑝𝑝
25393
x+4﹣2√𝟏−𝒙𝟐=−2x﹣2√𝟏−𝒙𝟐． −44232𝑥253=−+令f（x）=． −x﹣2√𝟏−𝒙𝟐，则f′（x）2√
421−𝑥2
令f′（x）＝0得x=．
3
35
3
5当0≤x＜时，f′（x）＜0，当＜x＜1时，f′（x）＞0．
5∴当x=时，f（x）取得最小值f（）=
5
154353
15． 4∵|PH|＝|PA|，∴|PA|＝|PF|，
不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则Q为AF的中点，|AQ|＝|FQ|=|AF|=
1𝑝(𝟒−)， 22√
∵∠APH＝120°，∴∠APQ＝120°﹣90°＝30°，∴|PQ|=√𝟑|𝑨𝑸|=3(𝟒−𝑝)，|OQ|＝
221
2故答案为：．
|FQ|+|OF|=(𝟒−)+=2+4，
222√
∴点P的坐标为(3(𝟒−𝑝)，𝟐+𝑝)，
1𝑝𝑝𝑝
224【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题． 16．已知点A（0，4），抛物线C：x2＝2py（0＜p＜4）的准线为1，点P在C上，作PH⊥l于H，
16
且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，则抛物线方程为 𝒙=𝒚 ．
5𝟐
√8
∵点P在抛物线C上，∴[3(𝟒−𝑝)]𝟐=𝟐𝒑×(𝟐+𝑝)，化简得5p2+112p﹣192＝0，解之得𝒑=
5224或−𝟐𝟒（舍负），
∴抛物线方程为𝒙𝟐=𝒚．
5故答案为：𝒙𝟐=
16
𝒚． 516
𝑝𝑝
|PH|＝|PF|＝|PA|，【分析】设抛物线的焦点为F（𝟎，2），则|AF|＝4−2，由抛物线的定义可知，
不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则Q为AF的中点，结合∠APH＝120°，可以用p表示出点P的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于p的方程，解之可得p的值，
【点评】本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
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三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分．
故𝑩=3．
（2）由sinA，sinB，sinC成等差数列，且b＝2，
𝜋
17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且𝒃𝒄𝒐𝒔𝑪+√𝟑𝒃𝒔𝒊𝒏𝑪−𝒂−𝒄=𝟎．
所以2sinB＝sinA+sinC，可得a+c＝2b＝4，
（1）求B；
又a2+c2﹣2accosB＝b2，
（2）若b＝2，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求△ABC的面积．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sinC＞0，可得𝒔𝒊𝒏(𝑩−
𝜋1𝜋𝜋5𝜋
)=，又根据范围𝑩−∈(−，)，可求B的值． 62666则(𝒂+𝒄)𝟐−𝟐𝒂𝒄−𝟐𝒂𝒄𝒄𝒐𝒔3=𝟒，可得：16﹣3ac＝4， 所以ac＝4，
√
则𝑺=1𝒂𝒄𝒔𝒊𝒏𝑩=1×𝟒×3=√𝟑．
222𝜋
（2）由等差数列的性质，正弦定理可得a+c＝2b＝4，又根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，
解：（1）由𝒃𝒄𝒐𝒔𝑪+√𝟑𝒃𝒔𝒊𝒏𝑪−𝒂−𝒄=𝟎， 则𝒔𝒊𝒏𝑩𝒄𝒐𝒔𝑪+√𝟑𝒔𝒊𝒏𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝒔𝒊𝒏𝑨+𝒔𝒊𝒏𝑪， 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒄𝒐𝒔𝑪+√𝟑𝒔𝒊𝒏𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝒔𝒊𝒏(𝑩+𝑪)+𝒔𝒊𝒏𝑪， √𝟑𝒔𝒊𝒏𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝒔𝒊𝒏𝑪𝒄𝒐𝒔𝑩+𝒔𝒊𝒏𝑪， 而sinC＞0，
√𝟑𝒔𝒊𝒏𝑩−𝒄𝒐𝒔𝑩=𝟏，
所以𝟐𝒔𝒊𝒏(𝑩−6)=𝟏，可得𝒔𝒊𝒏(𝑩−)=， 而B∈（0，π），
𝜋𝜋5𝜋
∈(−，6)， 66𝜋
𝜋𝜋
𝜋
612三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
√3AE∥CF，CF⊥平面ABCD，18．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，𝑨𝑬=，
3𝑪𝑭=√𝟑．
（1）求证：平面BDE⊥平面BDF； （2）求二面角D﹣EF﹣B的大小．
又𝑩−
所以𝑩−6=6，
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【分析】（1）证明BD⊥CF，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACFE，得到OF⊥BD，推出AE⊥平面ABCD，证明AE⊥AO且FC⊥CO，OF⊥OE，证明OF⊥平面BDE，然后证明平面BDE⊥平面BDF．
（2）以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O做垂直于平面ABCD的为z轴建立空间直角坐标系．
求出平面DEF的一个法向量，平面BEF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角D﹣EF﹣B的大小．
【解答】（1）证明：因为AE∥CF，所以A、C、F、E四点共面． 又CF⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CF， 由菱形ABCD，所以，BD⊥AC，令BD∩AC＝O， 且CF∩AC＝C，所以，BD⊥平面ACFE， 而OF⊂平面ACFE，所以，OF⊥BD，
因为AE∥CF且CF⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，
√3
（2）由菱形ABCD，所以BD⊥AC，以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．
2𝜋
0，0），所以A（1，，𝑩(𝟎，√𝟑，𝟎)，𝑫(𝟎，−√𝟑，𝟎)，𝑭(−𝟏，𝟎，√𝟑)，𝑬(𝟏，𝟎，3则∠𝑩𝑨𝑫=
√33)，
→→→√
所以𝑬𝑭=(−𝟐，𝟎，23)，𝑫𝑭=(−𝟏，√𝟑，√𝟑)，𝑩𝑭=(−𝟏，−√𝟑，√𝟑)，
3→→→√
令平面DEF的一个法向量为𝒏=(𝟏，𝒚𝟏，𝒛𝟏)，且𝑬𝑭=(−𝟐，𝟎，23)，𝑫𝑭=(−𝟏，√𝟑，√𝟑)，3→√→
由𝒏⋅𝑬𝑭=𝟎，−𝟐+23𝒛𝟏=𝟎，所以𝒛𝟏=√𝟑，
3则AE⊥AO且FC⊥CO𝑨𝑬=
√33，由菱形ABCD且∠BAD＝120，所以AO＝OC＝1， 𝑪𝑭=√𝟑，
→→√√→
由𝒏⋅𝑫𝑭=𝟎，−𝟏+√𝟑𝒚𝟏+√𝟑𝒛𝟏=𝟎，所以𝒚𝟏=−23，即𝒏=(𝟏，−23，√𝟑)，
33𝜋𝜋
故𝒕𝒂𝒏∠𝑬𝑶𝑨=，𝒕𝒂𝒏∠𝑭𝑶𝑪=√𝟑，则∠𝑬𝑶𝑨=6，∠𝑭𝑶𝑪=3，
3→→→√
令平面BEF的一个法向量为：且𝑬𝑭=(−𝟐，𝟎，23)，𝒎=(𝟏，𝒚𝟐，𝒛𝟐)，𝑩𝑭=(−𝟏，−√𝟑，3√𝟑)，
所以∠𝑬𝑶𝑭=2，即OF⊥OE，
又OE∩BD＝O，所以OF⊥平面BDE，OF⊂平面BDF，平面BDE⊥平面BDF．
→→√√→
由𝒏⋅𝑩𝑭=𝟎，−𝟏−√𝟑𝒚𝟐+√𝟑𝒛𝟐=𝟎，所以𝒚𝟐=23，即𝒎=(𝟏，23，√𝟑)，
𝜋
→√→
由𝒎⋅𝑬𝑭=𝟎，−𝟐+23𝒛𝟐=𝟎，所以𝒛𝟐=√𝟑，
3331−4+3𝑛⋅𝑚12
=−所以𝒄𝒐𝒔𝜽=−𝒄𝒐𝒔＜𝒏，𝒎＞=−→→=−3，则𝜽=𝝅， 4231+3+3|𝑛|⋅|𝑚|
→
→
→→
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即二面角D﹣EF﹣B的大小为𝝅．
3
2
由kMC=
𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡MCyy，故的方程为﹣（x﹣x0）， 0=𝑥0−2√2𝑥0−2√22√2𝑦0+𝑡𝑥0𝑦0(2√2−𝑥0)2√2𝑦0+𝑡𝑥0
x0），即E（，， +0=𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题．
𝑥2
𝑦2𝑏2
√2，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别2
直线MC交x轴于E，可令y＝0，则x=
由kMD=
19．已知椭圆Γ：
𝑎2
+=𝟏(𝒂＞𝒃＞𝟎)的离心率为
𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡MDyy，故的方程为﹣（x﹣x0）， 0=𝑥0+2√2𝑥0+2√2−2√2𝑦0+𝑡𝑥0𝑦0(2√2+𝑥0)−2√2𝑦0+𝑡𝑥0
x，即F（，+0=
𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡
是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为4． （1）求椭圆Γ的方程．
MD分别交x轴于E、（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、F，且满足AE2+BF2＝AB2，求证：AB＝2AD．
直线MD交x轴于F，可令y＝0，则x=−0），
因为AE2+BF2＝AB2，所以（
16𝑦02+2𝑡2𝑥02
(𝑦0+𝑡)232𝑦0𝑦0+𝑡
2√2𝑦0+𝑡𝑥0−2√2𝑦0+𝑡𝑥0+2√𝟐）2+（−2√𝟐）2＝（4√𝟐）2，
𝑦0+𝑡𝑦0+𝑡
可得
+
=16，
即8y02+t2x02+16y02+16y0t＝8（y0+t）2，
即tx0+16y0＝8t，而
2
2
2
2
𝑥028
+
𝑦024
22=1，所以x0＝8﹣2y0，
【分析】（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得所求椭圆方程；
（2）设C（2√𝟐，﹣t），D（﹣2√𝟐，﹣t），t＞0，可令M（x0，y0），运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证．
可得t2（8﹣2y02）+16y02＝8t2，
可得（16﹣2t2）y02＝0，而M为椭圆上一点， 所以16﹣2t2＝0，解得t＝2√𝟐， 所以
𝐴𝐵𝐴𝐷
=2，即AB＝2AD．
√
解：（1）由题意可得e=𝑐=2，又c2＝a2﹣b2，可得b＝c，
𝑎2【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得
而S≤
1
2c×b＝4，所以b＝c＝2，解得a2＝8，b2＝4， ×2𝑥28
𝑦24
所以椭圆的方程为
+
=1；
了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期
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（2）证明：设C（2√𝟐，﹣t），D（﹣2√𝟐，﹣t），t＞0，可令M（x0，y0），
付款的期数ξ的分布列为 ξ P
4 0.4
5 a
6 b
则P＝3×0.4×（a2+2ab+b2）＝0.4×（a+b）2＝0.4×0.62＝0.432．
方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432．
（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．
其中0＜a＜1，0＜b＜1．
P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，
（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；
P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），
（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；
取最大值的条件为a＝b＝0.3
（ii）设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值．
所以分布列为：
【分析】（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P．由题可知：a+b＝0.6，然后求解即可．
方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可．
（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
（ⅱ）由题可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，得到𝒙𝒏+𝟏=−𝒙𝒏+𝟎.𝟑，判断数列{xn﹣0.2}是等比数列，
2然后分类求解n的最小值．
解：（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P． 由题可知：a+b＝0.6，
P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2， 所以𝑷(𝑿=𝟓𝟓𝟎𝟎)=𝟐𝒂𝒃≤𝟐×(
𝑎+𝑏𝟐0.36
)==𝟎.𝟏𝟖， 22X P
4000 0.16
4500 0.24
5000 0.33
5500 0.18
6000 0.09
∴E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900． （ⅱ）解：由题可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，所以𝒙𝒏+𝟏=−𝒙𝒏+𝟎.𝟑，
1
212121
化简得𝒙𝒏+𝟏−𝟎.𝟐=−(𝒙𝒏−𝟎.𝟐)，即{xn﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为−，
1
212所以𝒙𝒏−𝟎.𝟐=(𝟎.𝟒−𝟎.𝟐)×(−)𝒏−𝟏，化简得𝒙𝒏=𝟎.𝟐[𝟏+(−)𝒏−𝟏] 由题可知：
（1）由题可知：𝒂=𝒙𝒏=𝟎.𝟐[𝟏+(−)𝒏−𝟏]＜𝟎.𝟔⇒(−)𝒏−𝟏＜𝟐，显然对所有n∈一、选择题
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1212*
都成立；
1
1
1
当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0 即函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在 （lna，+∞）上单调递增， 此时只有一个极值点．
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上无极值点；
（2）𝒃=𝟐𝒙𝒏+𝟏=𝟎.𝟒[𝟏+(−)𝒏]＜𝟎.𝟔⇒(−)𝒏＜，也是对所有n∈N*都成立；
222111
（3）𝒂=𝒙𝒏=𝟎.𝟐[𝟏+(−)𝒏−𝟏]＜𝟎.𝟐𝟓⇒(−)𝒏−𝟏＜
224当n为偶数时，上述不等式恒成立；
当a＞0时，函数f（x）在R上只有一个极值点．
当n为奇数时，()𝒏−𝟏＜，解得n＞5即n≥5
（2）当a＝1时，由题即ex﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立 令h（x）＝ex﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0， 则𝒉′(𝒙)=𝒆𝒙−𝟏−𝒌[𝒍𝒏(𝒙+𝟏)+𝑥+1](𝒙≥𝟎)，
𝑥
1
214综上所述，n的最小值为5．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题． 21．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+1）（a∈R）． （1）讨论函数f（x）极值点的个数；
（2）当a＝1时，不等式f（x）≥kx1n（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围． 【分析】（1）求出导函数f'（x）＝ex﹣a，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．
（2）当a＝1时，由题即ex﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，令h（x）＝ex﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0，通过函数的导数，结合（ⅰ）当1﹣2k≥0时，（ⅱ）当1﹣2k
令𝒈(𝒙)=𝒉′(𝒙)=𝒆𝒙−𝟏−𝒌[𝒍𝒏(𝒙+𝟏)+𝑥+1](𝒙≥𝟎)，
，𝒙
则𝒈(𝒙)=𝒆−𝒌[𝑥+1+
𝑥
11
(𝑥+1)
2](𝒙
≥𝟎)且g'（0）＝1﹣2k，
（ⅰ）当1﹣2k≥0时，即𝒌≤时，
1
1(𝑥+1)
1
1
1(𝑥+1)
12由于x≥0，ex≥1，而𝒌[𝑥+1+2]≤2[𝑥+1+
2]
≤𝟏，
所以g'（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0， 即h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，
＜0时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解k的取值范围． 解：（1）f'（x）＝e﹣a，
①当a≤0时，f'（x）＝ex﹣a＞0，所以f（x）在R上单调递增，无极值． ②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝lna，
x
即ex﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，故𝒌≤符合题意．
1212（ⅱ）当1﹣2k＜0时，即𝒌＞时g'（0）＜0，
𝒙
由于𝒈′(𝒙)=𝒆−𝒌[𝑥+1+
11
(𝑥+1)
2]在[0，+∞）上单调递增，
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𝒍𝒏𝟐𝒌
−𝒌[𝑙𝑛2𝑘+1+令x＝ln（2k）＞0因为𝒈′(𝒍𝒏𝟐𝒌)=𝒆
11(𝑙𝑛2𝑘+1)
2]＞𝟐𝒌−𝟐𝒌=𝟎，
曲线C1的直角坐标方程：
√
由𝝆𝒔𝒊𝒏(𝜽+𝜋)=2，
𝑥24
+
𝑦23
=𝟏．
故在（0，ln2k）上存在唯一的零点x0，使g'（x0）＝0，
因此，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）＜g（0）＝0，
42得
即h'（x）＜0，h（x）在（0，x0）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0，与题不符．
√2√2√2， 𝝆𝒔𝒊𝒏𝜽+𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽=
222
所以曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣1＝0．
综上所述，k的取值范围是(−∞，]．
2【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
𝒙=𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{（α为参数），以原点O为极点，x
𝒚=√𝟑𝒔𝒊𝒏𝜶√
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为𝝆𝒔𝒊𝒏(𝜽+𝜋)=2，且在极坐标下点1
（ 2）点P的极坐标为(𝟏，2)，故其直角坐标为（0，1），
𝒙=−
√2𝜋
由C2：x+y﹣1＝0，则其参数方程为{
2𝒕
2𝒚=𝟏+
将C2的参数方程代入曲线C1的方程得 𝟕𝒕𝟐+𝟖√𝟐𝒕−𝟏𝟔=𝟎①
𝑥24
√2， 𝒕
+
𝑦23
=𝟏，
42由于△＞0恒成立，不妨令方程①有两个不等实根t1、t2， 由于𝒕𝟏𝒕𝟐=−
16
＜𝟎， 716
， 71|𝑃𝐴|
P(𝟏，2)．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求
1|𝑃𝐴|
𝜋
所以t1、t2异号，且|𝑷𝑨|⋅|𝑷𝑩|=
的值．
+
1
|𝑃𝐵|
则|𝑷𝑨|+|𝑷𝑩|=|𝒕𝟏|+|𝒕𝟐|=|𝒕𝟏−𝒕𝟐|=√(𝒕𝟏+𝒕𝟐)𝟐−𝟒𝒕𝟏𝒕𝟐=√(−8√2)𝟐+64=24，
7771|𝑃𝐵|
+
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 𝒙=𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶
解：（1）C1的参数方程：{（α为参数）
𝒚=√𝟑𝒔𝒊𝒏𝜶𝟐𝟐
得(2)+(√)=𝟏，
=
|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵||𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|
=
247167=．
2
3
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
𝑥
𝑦3 第 17 页 共 18 页
[选修4--5：不等式选讲]
23．已知实数x，y满足x+4y＝2． （1）若|1+y|＜|x|﹣2，求x的取值范围； （2）若x＞0，y＞0，求+的最小值．
𝑥
𝑦
1𝑥3𝑥
，代入|1+y|＜|x|﹣2，可得|−|＜|𝒙|−𝟐，即|6﹣x|−24244
1
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
【分析】（1）由x+4y＝2，得𝒚=
＜4|x|﹣8，然后对x分类求解，取并集得答案； （2）由x＞0，y＞0，且x+4y＝2，得+
𝑥4
1𝑦
=
142𝑥
(+)(𝒙+𝟒𝒚)，展开后利用基本不等式求最
𝑦
1
值．
1𝑥
− 24解：（1）由x+4y＝2，得𝒚=
32𝑥4由|1+y|＜|x|﹣2⇒|−|＜|𝒙|−𝟐，即|6﹣x|＜4|x|﹣8，
1414，∴𝒙＜−； 331414
，∴＜𝒙≤𝟔； 55
当x＜0，则6﹣x＜﹣4x﹣8⇒𝒙＜−
当0≤x≤6时，则6﹣x＜4x﹣8⇒𝒙＞23当x＞6时，则x﹣6＜4x﹣8⇒𝒙＞，∴x＞6．
1414或x＞}； 35故x的取值范围为{x|x＜−
（2）∵x＞0，y＞0，且x+4y＝2 ∴+
𝑥4
1𝑦
=
142𝑥
(+)(𝒙+𝟒𝒚)=
𝑦𝑥
112
(𝟒+𝟒+
4
16𝑦𝑥1
+)≥
𝑦
𝑥12
(𝟒+𝟒+𝟐√𝟏𝟔)=𝟖．
当且仅当
16𝑦𝑥
=，即x＝1，𝒚=时，+的最小值为8．
𝑦
𝑥
𝑦
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1
4
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