物理解题中的数学应用

物理解题中的数学应用

作者：谌勇

来源：《考试周刊》2013年第93期

摘 要： 数学作为工具学科是研究物理学的重要工具，始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用。物理解题中常用的数学方法有方程（组）法、比例法、数列法、函数法、几何（图形辅助）法、图像法、微元法等。 关键词： 中学物理教学 物理解题 数学方法

数学作为工具学科是猎取科学知识的重要武器，也是研究物理学的重要工具。因为用数学表达概念和定律，可以达到明晰、简练、严密的效果。借助数学还能导致物理学新规律的发现和新理论的建立。这在物理学的发展史中有很多事例可以证明。中学物理教学提出“运用数学解决物理问题的能力”的问题，应有两个涵义：（1）有用数学方法或数学语言表达物理的概念和规律，即从物理现象中和物理过程的分析中，经过概括和分析，把物理问题转化为数学问题，从而有确定其定义或建立公式的能力；（2）有综合运用数学知识和技巧，正确地解决物理问题的能力。

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程。

物理解题运用的数学方法通常包括方程（组）法、比例法、数列法、函数法、几何（图形辅助）法、图像法、微元法等。 1.方程法

物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的。 列方程组解题的步骤：

（1）弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型。

（2）按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架。 （3）据具体题目的要求和各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体。

（4）对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验。

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2.比例法

比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化。应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立。

例题：如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是（ ）

A.N变大，T变小 B.N变小，T变大 C.N变小，T先变小后变大 D.N不变，T变小 答案：D 3.数列法

凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”。该类问题求解的基本思路为：

逐个分析开始的几个物理过程，利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式（是解题的关键），最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题。 无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用。

例题：用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为m、长为L的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k倍（k>1）。 （1）若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力。

（2）若第一次敲击使钉进入木板深度为L，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，L1必须满足的条件。 答案：（1） （2）， L>（1-）L 4.图像法

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例题：如图所示，两光滑斜面的总长度相等，高度h也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则有（ ） A.两球同时落地 B.b球先落地

C.两球落地时速率相等 D.a球先落地 答案：B，C。

提示：此题根据机械能守恒定律，判断选项C是正确的比较容易，但其他三项用公式计算方法来求解是比较复杂的。以下用图像法讨论。

如图所示，因为a、b两球运动的路程相同，所以两条运动折线与横坐标所围的面积相等.末速度的大小相同，为，两条折线的顶点一样高。加速度开始b比a大，在转折点时b比a大，最后两个小球的速度大小要相等，所以，b球的折线始终在a球折线的上面，要使两个折线所围的面积相等，必须t

驾驭数学工具能力的锻炼要经过一个从简到繁、由浅入深的过程，不可能一蹴而就。但是，对于需要反复练习的种种习题，千万不能误解为“题海”战术。