3.知识应用的实践性

1．(2011·湖南六校联考)已知在△ABC中，cosA＝的边．

(1)求tan2A的值；

π22(2)若sin(＋B)＝，c＝22，求△ABC的面积．

23[解析] (1)因为cosA＝所以sinA＝

6

，A∈(0，π)， 3

6，a，b，c分别是角A，B，C所对3

32，则tanA＝. 32

2tanA

所以tan2A＝＝22.

1－tan2A

π2222

(2)由sin(＋B)＝，得cosB＝，

2331

又B∈(0，π)，所以sinB＝.

3

则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝

6. 3

csinA

由正弦定理知a＝＝2，所以△ABC的面积为

sinC122S＝acsinB＝. 23

2．(2011·福建福州质检)已知向量m＝(1，cosA)，n＝(sinAcosB，sinB)，m·n＝sin2C，且A，B，C分别是△ABC的三边a，b，c所对的角．

(1)求角C的大小；

→→→(2)设sinA，sinC，sinB成等比数列，且CA·(AB－AC)＝8，求边c的值． [解析] (1)由题知，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA ＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC. 又m·n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，

∴sinC(2cosC－1)＝0，∵023

(2)∵sinA，sinC，sinB成等比数列， ∴sin2C＝sinA·sinB.

根据正弦定理得，c2＝ab.

→→→→→∵CA·(AB－AC)＝CA·CB＝8，∴bacosC＝8. ∴ab＝16，∴c2＝16，∴c＝4.

πxππx

－－2cos2. 3．(2011·合肥二模)设函数f(x)＝sin366(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．

[解析] (1)∵f(x)＝3π3π

sinx－cosx－1 2323

ππ＝3sin3x－3－1，

2πππππ15

∴T＝＝6，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋6k≤x≤＋6k，k∈Z，

π233222315

所以函数f(x)的最小正周期是6，单调递增区间为[－＋6k，＋6k]，k∈Z.

22(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，

∴当x＝[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时y＝f(x)的最大值， ππ2πππ3此时x－∈[，π]，sin(x－)∈[0，]，

3333321f(x)∈[－1，]，

2

1

即此时函数y＝g(x)的最大值为.

2

4．(2011·西安二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.

(1)求角A的大小；

π

－2x的图像． (2)记B＝x，作出函数y＝2sin2x＋cos3[解析] (1)由m∥n得，(2b－c)·cosA－acosC＝0， 由正弦定理得：2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0， ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，∴2sinBcosA－sinB＝0， 1π

∵A，B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，∴A＝.

23

π1313π

(2)y＝2sin2x＋cos(－2x)＝2sin2x＋cos2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝sin(2x－)322226＋1，

∵B＝x，∴由(1)知x∈(0，列表：

x y 2π)． 3

0 1 2π 121 π 32 7π 121 2π 31 2π函数y＝2sin2x＋cos(－2x)的图像如图所示．

3

ωxωxωxωxωxωx

5．(2011·南昌模拟)已知m＝(3cos，sin＋cos)，n＝(2sin，sin－cos)，

222222其中ω>0，其中ω>0，若函数f(x)＝m·n的周期为π.

(1)求ω的值；

ππ

(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．

122[解析] (1)由题意知，f(x)＝m·n＝23sinπ＝3sinωx－cosωx＝2sin(ωx－)．

62π

∵函数f(x)的周期T＝π，∴ω＝＝2.

Tπππ

(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x－)．∵x∈[－，]，

6122

πππππ

∴易知f(x)＝2sin(2x－)在区间[－，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，

612332π

∴当x＝时，f(x)取最大值2；

3π

当x＝－时，f(x)取最小值－3.

12

6．(2011·上海十三校联考)在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边的长，1

已知tanB＝3，cosC＝，b＝36.求边AB的长与△ABC的面积．

3

1

[解析] 在△ABC中，因为tanB＝3，cosC＝，

3则sinB＝322，sinC＝1－cos2C＝. 23

ωxωxωxωx

cos－cos2＋sin2 2222

cbc36

由正弦定理＝得＝，

sinCsinB22332解得c＝8.即AB＝8. 又A＋B＋C＝π，则

sinA＝sin(C＋B)＝sinCcosB＋cosCsinB， 22＋31

因为cosB＝，则sinA＝，

261

S△ABC＝bcsinA＝62＋83.

2综上，AB＝8，S△ABC＝62＋83.

7．(2011·太原二模)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<απ

(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；

4π

(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．

3

π

[解析] (1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，

4

∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)． π



223

－，－1∴t＝－

232时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－. 222

π11π

由于311π所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.

212π

(2)∵a与b的夹角为，

3

πa·b∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．

3|a|·|b|π∵0<α3

∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0. π

2α＋＋2sin2α＝0. ∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin3533

∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－. 225

π8．(2011·浙江宁波)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与y轴的交点

2为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

1

(2)若锐角θ满足cosθ＝，求f(4θ)的值．

3T

[解析] (1)由题意可得：A＝2，＝2π，

22π1即＝4π，∴ω＝， ω2

1f(x)＝2sin2x＋φ，f(0)＝2sinφ＝1， ππ由|φ|<，∴φ＝. 261π

x0＋＝2， f(x0)＝2sin62

1ππ2π

所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋(k∈Z)，

2623又∵x0是最小的正数，∴x0＝

2π

. 3

π

2θ＋＝3sin2θ＋cos2θ， (2)f(4θ)＝2sin6π122

0，()，cosθ＝，∴sinθ＝∵θ∈， 233

742∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，

99427467

∴f(4θ)＝3·－＝－.

9999