中考数学材料阅读题专题练习

典型例题：

例1、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一．对于任意一个用nn10进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0~n1进行记数，特点是逢n进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：

例如：五进制数 七进制数

234525235469，记作(234)569， 136717237676，记作(136)776．

（1）请将以下两个数转化为十进制：(331)5 ，(46)7 ； （2）若一个正数可以用七进制表示为abc制表示．

例2、如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：

，也可以用五进制表示为cba，请求出这个数并用十进

751652-32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：

小明的方法是一个一个找出来的：

002-02，112-02，322-12，422-02，532-22，742-32，

832-12，952-42，1162-52，。。。。

小王认为小明的方法太麻烦，他想到: 设k是自然数，由于（k1)k22（k1k)(k1k)2k1。

所以，自然数中所有奇数都是智慧数。 问题：

(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______ (2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(

法证明4k（kk3且k为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办

3且k为正整数)都是智慧数。

(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知

识判断26是否是智慧数，并说明理由。

例3、如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，63，98，…，都是“妙数”．

（1） 若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为；

（2） 证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被

11整除；

（3） 在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一个新的

四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字．是否存在一个一位自然数n，使得自然

数(9An)各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

例4、连续整数之间有许多神奇的关系，

如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a＜b＜c） 若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”； 若a2+b2c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”。

（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”； （2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：

32+42+52

若有3个连续整数：=2；

25

102+112+122+132+142

若有5个连续整数：=2；

365212+222+232+242+252+262+272

若有7个连续整数：=2；

2030…

由此获得启发，若存在n（712×231=132×21， 14×451=1×41， 32×253=352×23， 34×473=374×43，45×594=495×，…… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：

①35× = ×53； ② ×682=286× ．

（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m，个位数字为n，且2≤m+n≤9．用含m，n的代数

式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积P，并求出P 能被110整除时mn的值．

例6、阅读材料：

材料一：对于任意的非零实数x 和正实数k ，如果满足kx为整数，则称k 是x 的一个“整商系数”。

3例如：x=2时，k=3x=2时，k=12，32=1，则3是2 的一个整商系数；

3122=8，则12 也是2 的一个整商系数； 3116()2=-1，则6 是的一个整商系数；

23x=1时，k=6，

2结论：一个非零实数x有无数个整商系数k ，其中最小的一个整商系数记为k(x)，例如:k(2)=

3 2材料二：对于一元二次方程ax2+bx+c0 (a≠0)中，两根x1,x2有如下的关系：

cbx1x2,?x1•x2

aa应用： ⑴ k(

53)= ；k()= ；

2221)＞k()，求a的取值范围。 aa1⑵若实数a(a＜0)满足k(

⑶若关于x的方程：x多少？

2+bx+40的两个根分别为x1,x2，且满足k(x1)+k(x2)=9，则b的值为

例7、小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

322(12)2．善于思考的小明进行了以下探索：

设ab222，则有ab2m2n2mn2． 2(mn2)2（其中a、b、m、n均为整数）

2 ∴am2n,b2mn．这样小明就找到了一种把类似ab 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

2的式子化为平方式的方法．

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab3(mn3)，用含m、n的式子分别表示a、b， 得：a= ，b= ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + （3）若a83(mn3)，且a、m、n均为正整数，求a的值？

22=（ + ）2；

练习：

1、能被3整除的整数具有一些特殊的性质：

（1）定义一种能够被3整除的三位数abc的“F”运算：把abc的每一个数位上的数字都立方，再相

加

F，

3得

3到

3一

F个新数．例如

abc213时，则：

21336(21336)243 (3363243)．数字111经过三次“F”运算得 ，经过

四次“F”运算得 ，经过五次“F”运算得 ，经过2016次“F”运算得 ．

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．

2、阅读下列材料，解决后面两个问题

我们可以将任意三位数表示为abc（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a0）.显然，abc100a10bc；我们把形如xyz和zyx的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。

（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和 （2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。

3、如果一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“循环

四位数”.如1212，5252，6767，…等都是“循环四位数”.如果将一个“循环四位数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原循环四位数的对应数”，如果原循环四位数的百位数字是0，则忽略交换位置后首位的“0”，即它的对应数就是首位“0”忽略后的三位数.如1212的对应数为2121，5252 的对应数为2525，1010的对应数为101.

（1）任意写一个“循环四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差是否都能被101整除？并说明理由；

（2）一个“循环四位数”的千位数字为x(1≤x≤9)，百位数字为y（0≤y≤9，且y＜x），若这个循环四位数与它的对应数的差能被404整除，求y与x应满足的数量关系.

4、若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．

（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；

39的

逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；

（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？

5、阅读下列材料解决问题：

材料：着名毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成，则称像这样的数为三角形数.

把数 1，3，6，10，15，21……换一种方式排列，即 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 ……

从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，……叫做三角形数“名副其实”．

（1）设第一个三角形数为a11，第二个三角形数为a23，第三个三角形数为a36，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）．

（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由． （3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由． 6、当一个多位数的位数为偶数时，在其中间位插入一个一位数k，（0k9，且k为整数）得到一

个新数，我们把这个新数称为原数的关联数，如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中4357297294351000，43567297296100043510000.请阅读以上材料，解决下列问题,

（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样条件的三位关联数.

（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数（0m9，且m为3的倍数），试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.

7、把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

3232221312321012021，

7072024942929792721301232021012021，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；

（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．