20180206一元一次方程培优

一元一次方程

一、知识要点：

⑴只含有 ，并且 的次数是 的方程叫做一元一次方程。 ⑵能使方程 相等的未知数的值叫做方程的解。

⑶解一元一次方程的思路：解一元一次方程的整个过程就是由原方程向最简方程ax=b(a≠0)的转化过程。整个过程可以图示如下：

变形 变形 变形 求解 原方程 ax=b(a≠0) x=⑷解一元一次方程的步骤： 变形名称 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 变形根据 变形方法 在方程两边都乘以所有分母的最小公倍数 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以反过来从外向里去。 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边。 把系数相加，方程化为最简形式ax=b(a≠0) 方程两边都除以未知数的系数a，得方程的解x=b ab a注意：解方程时，必须根据方程特点，灵活地选择方程变形的步骤。

二、例题分析：

例1、解方程2x+5=4x-1 例2、解方程9x-(x-4)=5x-6(1-3x)

例3、解方程-

x1x22x3x 362

例4、解下列方程

⑴40%x+60%(20-x)=20×50% (2)

;.

32x[(-1)-2]-x=2 234..

2x⑶1x2x32x32x1 ⑷4x1.50.01x0.02

2362.50.03

例5、⑴若关于x的方程x-(x+a)(-3x-2a)=2(x+4a)的根为1，求25a2-5a-1的值。

⑵若（a-3）2+|a+3b|=0,代数式2bak2的值比12b-a+k多1，求k的值。

专题一、一元一次方程概念的理解: 1.若方程3xk2x1与

6kx2k的解互为相反数，则k= 。 2.若k为整数，则使得方程k1999x20012000x的解也是整数的k值有（ A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二、一元一次方程的解法

（一）利用一元一次方程的巧解：

••例： （1）0.2表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2化成分数吗？

（2）0.23••••表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23化成分数吗？

;.

） ..

（二）方程的解的分类讨论： 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论。 （1）当a0时，方程有唯一解x（2）当a0,b0时，方程无解； （3）当a0,b0时，方程有无数个解。

例：已知关于x的方程a2x13x2无解，试求a的值。

练习：

1.如果a，b为定值，关于x的方程求a，b的值。

2. 解方程

3.对于任何a值，关于x，y的方程axa1ya1有一个与a无关的解，这个解是（ ） A.x2,y1 B.x2,y1 C.x2,y1 D.x2,y1 4.问：当a、b满足什么条件时，方程2x5a1bx；(1)有唯一解；（2）有无数解； （3）无解。

b； a2kxaxbk，无论k为何值，它的根总是1，236x11xab abab;.

..

5.（1）a为何值时，方程无解？

xx1ax12有无数多个解？（2）a为何值时，该方程3266.若关于x的方程x3x1kx1无解，则k= 。 专题四、绝对值方程：

例4:解方程：（1）x35 （2）x30 （3）2x35

例5：解方程：

（1）x2x15 （2）x2x13 （3）x2x12

练习：（1）2x313x （2）2x313x

若关于x的方程2x3m0无解，3x4n0只有一个解，4x5k0有两个解，则m、n、k的大小关系是（ ）

A.m＞n＞k B.n＞k＞m C.k＞m＞n D.m＞k＞n

专题三、 一元一次方程的应用 1.行程问题

基本量及关系：路程=速度×时间 速度

;.

路程路程 时间= 时间速度..

[典型问题]

1.相遇问题追及问题中的相等关系： 各段路程之和=总路程

顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V静＋风（水）速 逆速=V静－风（水）速 2.销售问题

基本量：成本（进价）、售价（实售价）、 利润（亏损额）、利润率（亏损率） 基本关系：

利润=售价－进价、利润=进价×利润率 相等关系：利润相等 3.工程问题

基本量及关系：

工作总量=工作效率×工作时间

相等关系：各部分工作量之和=工作总量 4.配套问题

相等关系：配套数量的比的等式 （一）工程问题

例.一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时后，关掉甲管，乙管单独注水，还需几个小时能注满水池？

（二）行程问题

例.家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： （1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； （2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； （3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米； （4）下山用1个小时；

根据上面信息，他作出如下计划： （1）在山顶游览1个小时；

（2）中午12：00回到家吃中餐．

若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？

;.

..

（三）经济问题

例.中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下: 一.以个人每月工资收入额减去3500元余额作其每月应纳税所得额； 二.个人所得税纳税税率下表所示 级数 1 2 3 4 5 6 7 全月应纳税所得额 不超过1,500元的部分 超过1,500元至4,500元的部分 超过4,500元至9,000元的部分 超过9,000元至35,000元的部分 超过35,000元至55,000元的部分 超过55,000元至80,000元的部分 超过80,000元的部分 税率(%) 3 10 20 25 30 35 45 （1）若甲乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲乙二人每月应缴纳的个人所得税； （2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月工资收入应为多少？

例.某主题公园的门票价格规定如下表： 购票人数 每人门票价 1----50人 5元 51-----100人 4.5元 100人以上 4元 某中学七年级甲、乙两个班共103人去游玩（其中甲班人数多于乙班人数）去游该主题公园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元。 （1）如果两个班联合起来，作为一个团队购票，可省去多少钱? （2）两班各有多少人？

例.农夫锄草问题（俄国,公元十五世纪）

一个农场有两块草地,大块是小块的两倍,上半天农夫们在大块地上锄草,午后分成两组一半人继续留在大块地上,到下工时恰好锄完.另一半人到小块地上去锄,到晚上还剩一小块,这一小块次日由一个农夫去锄,恰好用一天工夫,问这个农场有几个农夫?

;.

..

练习：

1.某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套安装，问应该怎样安排生产才能使螺母与螺栓正好配套？

2.用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成。硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）

A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面。

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法。 （1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

3.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离火车站10km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟，这时惟一可利用的交通工具是另一辆汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h，试设计一个方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

;.

..

4.某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？

（注：投资收益率=×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获

得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

5.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有多少盏灯？

6.10个人围成一圈做游戏,游戏规则是：每个人心里都想好一个数,并把自己想的数如实告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是多少？

;.