2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编：立体几何

安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编

立体几何

一、选择题

1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积

为（ ）

A．12 B．6 C．12 D．6

2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为7，则该几何体的侧视图可能是

4 4 正视图

23 23 3 2 3 A

B

2 C

D

俯视图

3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ）

A.

2 B.

2133 C. 1 D. 244、（淮南市2015届高三第一次模拟）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体

的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是

28A. 

3

749B. C.  39D.

28 9

5、（黄山市2015届高三上学期第一次质量检测）如图，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD－A1 B1Cl D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、 AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图是如右图所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（ ）

A．

1a 2B．

2a 3C．

4a 5D．a

6、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）设l，m是两条不同的直线，,是两个不同的平面，

则下列命题正确的是

A、若l⊥m，m＝αβ，则l⊥α； B、若l∥m，m＝αβ，则l∥α；

C｜若α∥β，l与α所成的角与m与β所成的角相等，则l∥m； D｜若l∥m，α∥β，l⊥α，则m⊥β 7、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A、44＋ B、40＋4

C、44＋4 D、44＋2

8、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）某几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为

（A）2 （B）14 （C）642 （D）462

9、（滁州市高级中谊会2015届高三上学期期末联考）一个几何体的三视图如图所示，则

该几何体的表面积为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

10、（合肥八中2015届高三第四次段考）已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.28 B.88 C.48 D.68

二、填空题

1、（（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是

2、（淮南市2015届高三第一次模拟）设异面直线a,b所成角为，点P为空间一点（P不在直线a,b上），有以下命题

①过点P存在唯一平面与异面直线a,b都平行

,则过点P且与a,b都垂直的直线有且仅有1条. 2③若,则过点P且与a,b都成直线有且仅有3条.

33④若过点P且与a,b都成直线有且仅有4条，则(,).

332⑤若过点P且与a,b都成直线有且仅有2条，则(,)学科网.

363②若其中正确命题的序号是_________（请填上所有正确命题的序号）

3、（宣城市2015届高三上学期期末考试）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为＿＿＿＿

4、（宣城市2015届高三上学期期末考试）关于几何体有以下命题： ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分

④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥。 其中正确的有＿＿＿＿＿＿（请把所有正确命题的题号都写上）。

5、（滁州市高级中谊会2015届高三上学期期末联考）在三棱柱C11C1中，C为正三角形，1底面C，是的中点，F是C1的中点．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

①F//平面CC11； ②平面CF平面11；

③平面CF截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11:1； ④若该三棱柱有内切球，则31；

⑤若1上有唯一点G，使得1GCG，则12．

6、（皖江名校2015届高三1月联考）某几何体的三视图如右图所示，其正视图是两个全等的直角三角形，侧视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为＿＿＿＿

三、解答题

1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）如图，直角梯形CD中，//DC，DDC，

是上一点，CD2C2，D1，沿C把C折起，使平面C平面CD，得出右侧的四棱锥CD． 证明：平面D平面CD；

求二面角D的大小．

2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）如图，平行四边形ABCD和矩形ADEF，平面ABCD平面ADEF，AD2AB,P为BC的中点，M在AF上且AM2MF，DP交AC与N点。 （1）求证：MN//平面BCEF；

（2）若四边形ABCD为矩形，且AFAB， 求DM与平面MAP所成角的正弦值。

3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC. (1)求证：平面MOE∥平面PAC；

(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；

(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．

4、（淮南市2015届高三第一次模拟）在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1B平面ABC，且ABACA1B2．

（Ⅰ）若P为棱B1C1的中点，求出二面角PABA1的

平面角的余弦值．

（Ⅱ）证明：平面ABC与平面ACC1A1一定不垂直

C1

B1

A1

A C

B

ABCD，底面ABCD是5、（黄山市2015届高三上学期第一次质量检测）四棱锥P－ABCD中，PD⊥面

菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60o，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点 （1）求证：QP⊥AC；

（2）当二面角Q－AC－P的大小为120o时，求QB的长；

6、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45º，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为，PC与的交点为Q。 （I）试确定Q的位置并证明；

（II）求四棱锥P－ABCD被平面所分成上下两部分的体积之比；

（III）若PA＝2，截面AEQD的面积为3，求平面与平面PCD所成的锐二面角的正切值。

7、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，

且PA4，底面ABCD为梯形，AB//CD，BAD90，且AB2CD2，ADN分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．

2，M、

（Ⅰ）求证:CN//平面PAD； （Ⅱ）求PQ的长度；

（Ⅲ）求平面MCN与平面ABCD所成二面角的大小．

8、（宣城市2015届高三上学期期末考试）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2。

（1）求证：A1C∥平面AB1D； （2）求点A1到平面AB1D的距离。

9、（滁州市高级中谊会2015届高三上学期期末联考）如图，在四棱台CD11C1D1中，

DD1底面CD，四边形CD为正方形，DD1D2，111，C1//平面DD11．

证明：为的中点；

求二面角C1D的余弦值．

10、（合肥八中2015届高三第四次段考）如图1,在直角梯形

1AP2,D是AP的中点,E,F,G分别是2PC,PD,CB的中点,将PCD沿CD折起,使得PD平面ABCD,如图2. (Ⅰ)求三棱锥DPAB的体积; (Ⅱ)求证:AP//平面EFG; (Ⅲ)求二面角GEFD的大小. ABCP中,AP//CP,APAB,ABBC

11、（皖江名校2015届高三1月联考）一个几何体如图所示，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60º，FC⊥平面ABCD，B＝CD＝CF＝1。 （I）求证：AC⊥平面BCF；

（II）求二面角F－BD－C的余弦值。

参

一、选择题

1、C 2、C 3、B 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、B 10、A

二、填空题 1、

7 2、②③ 3、8 4、③ 5、①②④⑤ 66、2 【解析】由三视图可知，该几何体是由两个相同的三棱锥组合而成的，三棱锥的底面是边长为

222的正三角形，高为3，一个三棱锥的底面积为2323，所以所求体积为1V2332.

3

三、解答题 1、

2、

3、(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以OE∥PA.

因为PA平面PAC，OE⊄平面PAC， 所以OE∥平面PAC. 因为OM∥AC，

又AC平面PAC，OM⊄平面PAC，

所以OM∥平面PAC.

因为OE平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC. …………………………4分 (2)因为点C在以AB为直径的⊙O上， 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以PA⊥BC.

因为AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC.

因为BC平面PBC，所以学科网平面PAC⊥平面PBC. …………………………9分 (3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz. 因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2， 所以CB＝2cos30°＝3，AC＝1. 延长MO交CB于点D. 因为OM∥AC，

1313

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.

2222

33所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M(，，0)．

22

→→

所以CP＝(1,0,2)，CB＝(0，3，0)． 设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．

→m·CP＝0，(x,y,z)(1,0,2)0x2z0因为 即

→(x,y,z)(0,3,0)03y0m·CB＝0.

令z＝1，则x＝－2，y＝0.

所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，3，1)．

所以cos〈m，n〉＝m·n11

|m|·|n|＝－5.所以cosθ＝5. …………………………12分

4、

(Ⅰ) 解：以A为原点建立空间直角坐标系（如图），

A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),A1(0,2,2)B1(0,4,2),C1(2,2,2),P(1,3,2)…… 2分

设平面PABA1的法向量为n1x,y,z，

C1

A1 P z

则n1AP0, 即nx3y2z01AB02y0

令

z1 故

x n12，0，1 ……4分 C A 平面ABA1的法向量n2=（1,0, 0），且二面角平面yB 锐角………………..5分 则cosnn21,n2n1n21n25255

故二面角PABA251的平面角的余弦值是5． …………7分 （Ⅱ）证明：假设平面ABC与平面AA1CC1垂直………………………………8分

因为ABAC，平面ABC与平面ACA1C1交线为AC

所以A B 平面ACA1C1，ABAA1……………………………………10分 又A1B平面ABC，A1BAB 故矛盾，从而假设错误，原命题正确

即平面ABC与平面ACA1C1一定不垂直………………………..............12分 5、

角为

6

、

7、综合法：（Ⅰ）证明：取AP的中点E，连接DE，EN，

因为E、N分别是AP、BP的中点，

11AB，又因为CD//AB,CDAB． 22所以EN//CD,ENCD， 即四边形CDEN为平行四边形．

所以CN//DE，CN不在平面PAD内，

所以CN//平面PAD． …………4分 （Ⅱ）解：取EP的中点，即为所求点Q，

连接MQ，NQ．

因为MQ//ED，故MQ//CN，所以四点C,N,Q,M共面．

平面MCN与AP交点Q即为AP的四等分点，又因为AP4，所以PQ1．……8分 （Ⅲ）解：连接ME，易证平面EMN//底面ABCD．

平面QMN与平面EMN所成二面角即为平面MCN与底面ABCD所成二面角．

因为PA平面ABCD，故PA平面EMN，过E作EFMN，垂足为F，连结QF， 则QFMN，所以QFE为平面QMN与平面EMN所成二面角的平面角．

所以EN//AB,EN在直角三角形MEN中，则ME263，EN1，MN，从而EF， 223

． 3所以平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为． ………12分

3向量法：如图，以A为坐标原点， AD、AB、AP方向分别为x轴、y轴和z轴的正方向建立空

所以tanQFE3，故QFE间直角坐标系．则A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,1,0)P(0,0,4)，M(2,0,2)，2N(0,1,2)．

（Ⅰ）证明：易知AB是平面PAD的法向量，又因为CNAB(2,0,2)(0,2,0)0， 所以CNAB，又因为CN不在平面PAD内，所以CN//平面PAD． ………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CN//平面PAD，又CN在平面CNQM内，

平面CNQM与平面PAD的交线是MQ，所以CN//MQ． 设Q(0,0,t)，MQCN，得(2,0,t2)(2,0,2)， 2解得t3，所以PQ1． ……8分

（Ⅲ）解：设平面MCN的法向量n(x,y,z)．

2MNnxy02由 取n(2,1,1) …………10分 MCn2xy2z02又知平面ABCD的法向量为m(0,0,1) 所以cosm,nmnmn11(2)212121 2即平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为8、

． ……12分 3

9、解析：（Ⅰ）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面， ∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴四边形AEC1D1为平行四边形， ∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，C1(0，1，2)， DE→＝(2，1，0)，DC→＝(0，1，2)， AE→＝(0，1，0)，AC→＝(－2，1，2)，

11设平面DEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1，得m＝(1，－2，1)．

b＝0

设平面AEC1的法向量为n＝(a，b，c)，则 ，

－2a＋b＋2c＝0

2x＋y＝0y＋2z＝0

，

z D1 C1 B 1 A1 令a＝1，得n＝(1，0，1). 23

cos＝＝ 6·23故二面角A－C1E－D的余弦值为3

．（12分） 3

A x D E B y C 1114SABDPD222. ……4分 3323 (Ⅱ)证明:方法一) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

11∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD,同理GO//CD, EF// GO

22四边形EFOG是平行四边形, EO平面EFOG. ……6分 又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……7分 EO平面EFOG,PA平面EFOG, ……8分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……9分

1方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD,

21同理GE//PB

21 又CD//AB,EF//ABEGEFE,PBABB,平面EFG//平面PAB, ……7

2分

又PA平面PAB,PA//平面EFG. ……9分

10、解: (Ⅰ)VDPABVPDAB方法三) 如图以D为原点,以DA,DC,DP 为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz.

则有关点及向量的坐标为:

P0,0,2,C0,2,0,G1,2,0,E0,1,1,F0,0,1,A2,00.

AP2,0,2,EF0,1,0,EG1,1,1……6分 设平面EFG的法向量为nx,y,z

xznEF0y0. 取n1,0,1.……7分

xyz0y0nEG0∵nAP1200120,nAP,……8分 又AP平面EFG. AP//平面EFG. ……9分 (Ⅲ) 由已知底面ABCD是正方形

ADDC,又∵PD面ABCD ADPD

又PDCDDAD平面PCD, 向量DA是平面PCD的一个法向量, DA=2,0,0…11分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为n1,0,1

cosDA,nDAnDAn2222.…… 2结合图知二面角GEFD的平面角为450.……12分

11、(Ⅰ)【证明】因为四边形ABCD是等腰梯形，

AB∥CD，DAB60，所以ADCBDC120.

又CBCD，所以CDB30，

所以ADB90，即ADBD，于是ACBC.………4分 而FC平面ABCD，所以FCBC. 又FCBCC，FC,BC平面BCF，

所以AC平面BCF. ………6分

(Ⅱ) 【解】由(Ⅰ)可知ACCB，则CABD3，建立如图 所示的空间直角坐标系，则F(0,01),B(0,1,0),D(31,,0)，且22

向量n(0,0,1)为平面BDC的一个法向量. ………8分

33mBD0xy0设向量m(x,y,z)为平面BDF的法向量，则,即2，取 2mFB0yz0y1,则x3,z1,则m(3,1,1)为平面BDF的一个法向量. ………10分

cosm,nmnmn15，而二面角FBDC的平面角为锐角，则二面角 55FBDC的余弦值为

5. ………12分 5