几何图形中的函数问题模块 第五讲 动态几何中的函数问题

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全日制课程初三教案 模块 第五讲 几何图形中的函数问题模块 动态几何中的函数问题 教学内容 概要： 本讲主要涉及动态几何中的函数问题，主要在动点背景下考查如何列函数关系式，多数题目与三角形、四边形、圆等几何图形有关，综合性很强。 教学目标： 1、梳理相关基础知识点。 2、让学生熟悉该类问题中的常考题型，并掌握常用的解题思路与方法。 3、培养学生对函数动态几何问题的分析能力、对方程和函数的计算能力。 重难点： 1、分析问题的灵活性及全面性。 2、数形结合、分类讨论。 3、计算环节的准确性。 1

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第一部分 例题经典 例1：如图，已知△ABC中，C90，ACBC，AB6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BGAN，联结MG，设ANx，BMy.求y关于x的函数关系式及其定义域。 解：∵MN∥AO，∴CMBBN， BOABOA ∵C90，ACBC，AB6，∴BC32， ∵O是BC边上的中点，∴BOMB32， 2N GD ∵ANx，BMy， ∴y32226x6x ∴y0x6 46【点评】本题借助平行线找等量关系，难度一般，该方法在求函数关系式中是常用方法。 例2：已知：半圆O的半径OA4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交圆O于点C，射线PC交圆O于点D，联结OD． （1）若AC=CD，求弦CD的长． （2）若点C在AD上时，设PA=x，CDy，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. 解：（1）连接OC，若当ACCD时，有DOCPOC ∵BC垂直平分OP, ∴PCOC4， ∴∠P =∠POC=∠DOC ∴△DOC∽△DPO， ∴DODC DPDO设CDy，则16y4y ∴解得y252 即CD的长为252 1解：（2）作OECD，垂足为E， 可得CEDEy E

2C∵PP，PBCPEO90，∴△PBC∽△PEO

Bx42PBPCx8x1∴， ∴2 ∴y(424x4) yPEPO4x442PAOD【点评】本题在圆的背景下展开，第二问借助相似三角形的性质找等量关系，也是求函数关系式的常用方法。 2

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例3：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F 在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x, DF=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当AD=11时，求AG的长。 解：（1）∵AD//BC，∠B=90º，∴∠EAG=∠B=90º， ∴EG=AE2AG24x2. EAGDBFCFGEGABEG44x2∵, ∴FG=24x2． AE2ABAE∵∠DFG=∠EAG=90º，∠EGA=∠DGF，∴△DFG∽△EAG． ∴DFAEy2，∴， GFAG24x2x244x∴y关于x的函数解析式为y，定义域为0x4． x （2）∵△DFG∽△EAG，∴2GDFGGD24x2，∴GD=82x． ∴,2xEGAGx4x82x2当AD=11时，x11， x8x11,x2． 3经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG的长为1或8． 3 【点评】本题也是借助相似三角形的性质找等量关系，从而求得函数关系式，难度一般。 3

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例4：如图，ABC中，ABBC5，AC6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且APBQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，联接PQ，设POQ面积为y，APx． （1）用x的代数式表示PO； （2）求y与x的函数关系式，并写出定义域。 解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC，∴四边形APEC是平行四边形 D P O A Q PAPO5PO∴AC=PE=6，AP=EC=x , BEOE5x6PO6可得POx 5（2）∵ABBC5，∴∠BAC∠BCA 又∠APE =∠BCA，∠AOP=∠BCA， ∴∠APE=∠AOP，∴APAOx ∴当0xD B E C P O A 5时，OQ52x 2作BFAC，QHPE，垂足分别为点F、H， 则易得AFCF3，AB5，BF4， 由∠OHQ=∠AFB90，∠QOH=∠BAF 得△OHQ∽△AFB ∴B Q H F E C QHOQ， BFAB452xQH52x8x4 ∴，∴QH455524212xx 255242125xx(0x) 所以y与x的函数关系式是y2552y 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形等，综合性较强。在求函数关系的题型中，面积问题也是很常见的，本题直接根据三角形的面积公式来表示三角形的面积。 4

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例5：如图，在ABC中，ABAC10，cosB交AC边与点E，点F在线段EC上，且EF （1）当EFFG时，求ADE的面积； （2）设AEx，DBG的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值． 解：（1）作AHBC于H，在RtAHB中，cosB∵AB10，∴BH6，∴AH8 ∵ABAC，∴BC2BH12，∴3，点D在AB边上（点D与点A、B不重合），DE∥BC51AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFE联结BG． 4BH3 AB5SABC112848 22SAE∵DE//BC，∴ADE∽ABC，∴ADE

SABCAC∵EF1AE42S4AE， EFFC，∴， ∴ADE， ∴SADE 4AC6343（2）设AH交DE、GF于点M、N 46AEAMDE ∵AEx,AMx,DEx 55ACAHBC11∵MNAMx，∴NH8x ∴SDBGS梯形DBCES平行四边形DGFES梯形GBCF 45∵DE//BC，∴ ∴ y3261616461yxx ∴ x128xxxx128x25525255550x8

（3）作FPBC于P，GQBC于Q 在RtFPC中，FC10353x,cosCcosABC∴PC6x 44522639∴BQ12x6x6x ∴BG20 在DBG中，DB10x,DG98xx 62011x①若DBDG,则10xx，解得x8 44225609x 解得x10舍去，x2 ②若DBBG,则10x8x6

8120 ∴AD8或AD560 81 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、锐角的三角比等，综合性很强。本题第（2）问与例4都是求三角形面积的函数关系式，不同的是本题的方法为整体减局部。 5

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例6：已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，联结MF交线段AD于点P，联结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y， （1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当△NPF的面积为32时，求x的值； （3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由。 N K A P D M (1)∵四边形BEFG、四边形DMNK、正四边形ABCD都是正方形 O ∴∠E=∠EFG=90 ，AE//MC，MC//NK ∴AE//NK ∴∠KNA=∠EAF ∴△KNA∽△EAF ∴B E G F C NKKAyy6 即 EAEFx6x ∴yx6 (0x6) （2）由（1）可知：NKAE ∴ANAF ∵四边形DMNK是正方形 ∴AP∥NM ∴FPAF∴FPPM 1PMAN ∴SMNPSNPF32∴S正方形DMNK2SMNP ∴y8 ∴x2 （3）联结PG，延长FG交AD于H点，则GHAD。 yyy,AHx,PHx；HG6；PGAPGFx 222yy222222 ①当两圆外切时，在RtGHP中，PHHGPG即(x)6(x) 22 易知：AP 解得：x333（负值舍去） 222 ②当两圆内切时，在RtGHP中，PHHGPG 即(yyx)262(x)2，方程无解 22 综上，当x333时，这两个圆相切 【点评】本题在正方形的背景下考查了函数关系式的求法及圆与圆的位置问题，综合性很强。本题中求函数关系式难度不大，其在后2问尤其是第（3）问的应用中难度较大。 6

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第二部分 课堂练习 1、如图，在直角三角形ABC中，直角边AC3cm，BC4cm．设P，Q分别为AB,BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每2秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动.设P，Q移动的时间t秒．写出△PBQ的面积Scm与时间ts之间的函数表达式，并写出t的取值范围。 解：A P AC3，BC4，∴AB=5 PMBP 自点P向BC引垂线，垂足为M，则PM∥AC，． ACAB 当P，Q运动t秒后，APBQ1tt，BP5t． B Q C PM S△PBQBPAC(5t)3153t． AB55M 11153t3515BQPMt(t)2． （0t≤4） 2251028 2、已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB3，AD2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x． （1）当APAD时，求线段PC的长； （2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； A D A D P B C B （备用图） C 解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． ∵ABBC，CEAD，PD⊥CD，AD // BC， ∴∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，CEAB3． ∵AD // BC，∴AABC180．即得A90 ． 又∵ADCDCEDEC，ADCADPPDC， ∴ADPDCE． ADAP又由ADEC90，得 △APD∽△DCE． ∴． CEDE于是，由APAD2，得 DECE3． 在Rt△APD和Rt△DCE中，得 PD22，CD32． 于是，在Rt△PDC中，得 PCPD2CD2121827． 7

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（2）在Rt△APD中，由 AD2，APx，得PDx24． ADPD332∵△APD∽△DCE， ∴．∴CDPDx4． CECD221133在Rt△PCD中，SPCDPDCD(x24)2x23． 22243∴所求函数解析式为yx23． 函数的定义域为 0 < x ≤ 3． 4 3、如图，已知线段AB=10，点C在线段AB上，⊙A、⊙B的半径分别为AC、BC，D是⊙B上一点，AD交⊙A于E，EC的延长线交⊙B于F。 （1）求证：BF//AD； （2）若BD⊥AD，AC=x，DF=y，求y与x的函数关系式，写出定义域。 证明：（1）∵E、C在⊙A上，F、C在⊙B上，∴AE=AC，BC=BF ∴∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC ∵∠ACE=∠BCF ∴∠AEC=∠BFC ∴BF//AD （2）∵BD⊥AD ，BF//AD ∴∠ADB=∠DBF=90° ∵AB=10，AC=x ∴BC=10-x ∴BD= BF = BC=10-x ∵DF=y ∴DFBCBF ∴y22(10x)2,y 2222(10x)(0＜x＜10) DEACBF 8

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第三部分 课后作业 A卷 1、在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一 点，DF//AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y． 如图，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式， 并写出函数定义域。 2、在平行四边形ABCD中，AB4，BC3，BAD120，点E为射线BC上的一动点（不与点B、C重合），过点E作EFAB，FE分别交线段AB、射线DC于点F、G．如图，当点E在线段BC上时， （1）求证：BEF∽CEG； （2）如设BEx，DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。 9

A D C D A O F B E F B E G C

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3、已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点， （1）如图，如果点E是射线AM上的一个动点(不与点A重合)，联结CE交AB于点P．若AE为x，AP为y， 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由。 M E B P A C B卷 1、如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作 AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF，交边AB于点G．设DE = x，BF = y．求y关于x的函数解析式， 并写出函数的定义域。 A D E G F C B 10

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2、如图，⊙O的半径OA1，点M是线段OA延长线上的任意一点，⊙M与⊙O内切于点B，过点A作CDOA交⊙M于C、D，联结CM、OC，OC交⊙O于E． （1）若设OMx,SOMCy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，当x4时，试判断⊙N与直线CM的位置关系。 C E B O A M D 3、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD1ABa，BC=3，四边形BEFG是矩形，点E、2F分别在腰BC、AD上，点G在AB上．设FG = x，FE=y． （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）矩形BEFG的面积能否等于梯形ABCD面积的 1？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 3D C 11

F E A G

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A卷答案 1、解：联结OC，∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，∴OD=AD． ∵DF//AB，∴CF=EF，∴DF=11AE=(AOOE)． 22∵点C是以AB为直径的半圆的中点，∴CO⊥AB． ∵EF=x，AO=CO=4,∴CE=2x,OE=CE2OC24x2162x24. ∴y1(42x24)2x24. 定义域为x2． 22、（1）证明：平行四边形ABCD，AB∥DC BEF∽CEG （2）解：在RtBEF中，B60，EFBEsinB 在RtCEG中，CGCEcos603x 23x 2 y1133x32113EFDGx(4)xx，定义域为0x3 222288AEAP BCBP3、证明：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC ∴ ∵BC=6，AC=8， ∴AB=10 ∵AE=x，AP=y ∴xy 610y ∴y10x6xx0 （2）假设在射线AM上存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似 ∵AM∥BC ∴∠B=∠BAE ∵∠ACB=90° ∠AEP≠90° ∴△ABC∽△EAP ∴ABAE BCAP ∴3210x,x20（舍去） 解得：x110x366x32时，△ABC∽△EAP 312

∴当AE的长为

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B卷答案 1、在矩形ABCD中，BADDABC90，AD = BC = 3．即得∠D =∠ABF． ∵AF⊥AE，∴EAFBAD90． 又∵EAFBAFBAE，BADDAEBAE，∴∠DAE =∠BAF． ADDE于是，由∠D =∠ABF，∠DAE =∠BAF，得△DAE∽△BAF．∴． ABBF4由DE = x，BF = y，得3x，即得yx． 34y ∴y关于x的函数解析式是y4x，定义域是0x4． 32、解：（1）在RtMAC中，MAC90,MAx1,MCx1 ∴ AC ∴ yMC2MA2(x1)2(x1)22x 11MOACx2xxx 定义域是：x＞1 22 （2）过点N作NQCM，垂足为Q． ∴ NQM90MAC,MM ∴ NQM∽CAM ∴ NQNM CACM ∵x4 ∴ NMx22,CA2x4,CMx15 NQ28 ∴ NQ ＞1 455 ∴ ⊙N与直线CM相离 ∴ 3、解：（1）过点D作DH⊥AB于H. ∵在矩形BEFG中，FG⊥AB，∴FG∥DH. ∴所以BGABAG2a所求的函数关系式为yAGxaxAGFG，得AG. 即， AHDH2aa33ax. 3ax2a(0x3). 31a11（2）能。若S矩形BEFGS梯形ABCD，则x(x2a)(a2a)3 33323322,x232. ∵a0，∴2x12x90 解得，x132232. ∵0x3，∴x32132． 所以，矩形BEFG的面积能等于梯形ABCD面积的，且x的值为332 13