一类半线性椭圆型方程正解的存在性

　LudongUniversityJournal(NaturalScienceEdition)

2008,24(4):309—312　

一类半线性椭圆型方程正解的存在性

吴淑君,王际科

1

2

(1.中国石油大学(华东)　数学与计算科学学院,山东东营257061;2.鲁东大学　学报编辑部,山东烟台2025)

摘要:在适当条件下,运用不动点定理结合上、下解的方法证明了一类半线性椭圆型方程全局正解的存在性,并在无穷远处趋于任意预先给定的正数.

关键词:半线性椭圆型方程;上、下解方法;Schuauder2Tychonoff不动点定理

中图分类号:O175125　　文献标志码:A　　文章编号:167328020(2008)0420309204

　　不动点定理是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分,它与近代数学的许多分支有

着紧密的联系,特别是在建立方程(包括各类线性或非线性的、确定性或非确定的微分方程、积分方程以及各类算子方程)解的唯一性问题中起着重要的作用[1].近年来,利用不动点定理解决方程问题已成为偏微分发展的新方向,并取得了很多成果[2—5].

　　对于如下的半线性椭圆型方程

α-βγN

(1)-Δu=p(x)u+q(x)u-h(x)u,x∈R,N≥3,

其中α∈[0,1),β>0,γ≥1,p(x),q(x),h(x)≥0均为θ2Holder¨连续函数,θ∈(0,1),p(x)+q(x)

>0,x∈R,其全局正解的存在性问题已被广泛地研究

2,θ

N

N

N

[6—7]

.方程的全局正解是指函数u(x)∈

(2)(3)(4)

Cloc(R)>0,并在R上逐点满足此方程,方程(1)的一般形式为

-Δu=f(x,u).

文[8]指出当p>0,k(x)∈Cloc(RN)时,存在一个集合I,对于任意的η∈I,方程

-Δu=k(x)u(x∈R,p为常数)

p

N

θ

有满足

|x|

limu(x)=η

→+∞

的正整体解存在.文[9]证明当p∈(0,1)或p<0时,方程(3)存在有界正解;文[10]证明了在适当的

N

条件下,对于足够大的正常数η,方程(2)存在满足式(4)的全局正解;文[11]在区域ΩΑR上解决了问题(1)、(4).当p≥1时,方程(3)称为超线性型;当p∈(0,1)时,称为下线性型;当p<0时,称为奇异型.方程(1)含有上述的三种类型,故解的存在性问题不能由上面的文献得出.本文研究了利用Schuauder2Tychonoff的不动点定理来解决方程(1)满足(4)的解的问题.　　引理1[12]　(i)00且均为常数,则有|am-bm|≤

b≥0且均为常数,则有|a

m

2|a-b|

a

1-m

-b

1-m

;(ii)m>1,a,

-b|≤2

mm

|a-b|(a

m-1

-b

m-1

).

　　引理2[13]　对于方程(2),设f(x,s)是定义在RN×(0,+∞)上的函数,关于变量s是局部θ2Holde¨r连续,且对于所有的x关于s是局部Lipschitz连续的.如果存在函数v,w∈C2(RN),使得对任x∈RN,成立

Δv(x)+f(x,v(x))≤0,Δw(x)+f(x,w(x))≥0,

v(x)≥w(x)>0,

　　收稿日期:2008209223;修回日期:2008210217　　作者简介:吴淑君(1981—),女,山东潍坊人。助教,硕士,研究方向为偏微分方程及其应用。Tel:0532280851663,E2mail:wushj1981@yahoo.com.cn。

(5)(6)

　310鲁东大学学报(自然科学版)

N

第24卷　

则方程(2)存在全局正解u(x),并满足w(x)≤u(x)≤v(x),x∈R.

　　称函数v(x)为方程(2)在RN上的一个上解,若v∈C2(RN)并且满足不等式(5);称w(x)为方程

(2)在R上的一个下解,若w∈C(R)并且满足不等式(6).

N

2

N

　　定理　设η>0是任一给定的正常数,方程(1)如果满足(H1)

q(x)η

-β-γ

α-γ

0≤h(x)≤p(x)η+3

3

,x∈R;(H2)

N

1

+∞

N-20

∫

t(p(t)+q(t))dt=A<+∞,其中p(t)=maxp(x),q(t)=

|x|=t

33

maxq(x),则方程(1)存在满足(4)的全局正解.

|x|=t

η,η-β,(1　　证明　定义集合Y={y(t)∈C[0,+∞):η≤y(t)≤η+CA},其中常数C=max{

+η+A)1α}.易见,集合Y是一个闭凸集.

-

α

α-β

　　记f(x,u):=p(x)u+q(x)u,定义算子J:Y→C[0,+∞),

+∞

112-Nt

η+rf(r,y(r))dr+tsf(s,y(s))ds,t>0

0N-2tN-2

Jy(t)=

∫

+∞

∫

η+

1

N-20

∫rf(r,y(r))dr,t=0.

+∞

　　(i)首先证明JY　　Πy(t)∈Y,有η≤y(t)≤η+CA,根据J的定义,当t>0时,

Jy(t)=η+

1

N-2

∫rf(r,y(r))dr+N

t

1

-2

t0

t

2-N

t0

sf(s,y(s))ds∫

=

η+

1

N-2

+∞

∫rf(r,y(r))dr+N

t

1

-2

rf(r,y(r))dr-∫

=

1

N-2

ts

N-3

0

t

2-N

0

srf(r,y(r))drds∫∫

t

s

N-3

0

η+

1

N-2

+∞0

∫rf(r,y(r))dr-1

+∞

t

2-N

0

srf(r,y(r))drds≤

∫∫

α

η+

根据C的取法,C≥η,C

以对于R>0,η+Jy(t)≤

1

+∞

-β

1

α

N-20

∫

η+CA)t(p(t)(

1-αα

3

+q(t)η)dt.

α

3-β

-η-CA=C(Cη+CA).所-A)-η≥C(1+η)-η>0,即C>(

-β

N-20

∫

η+CA)t(p(t)(

3α

+q(t)η)dt≤η+C

3

1

∞

N-20

∫

t(p(t)+q(t))dt=η+CA.

33

易知,JY(t)≥η(0≤t≤R).对于任意的y(t)∈Y有η≤Jy(t)≤η+CA,所以Jy∈Y.

　　(ii)然后证明J在Y上连续.

　　设{ym(t)}是Y中的序列,按照Y中的拓扑收敛于函数y(t)∈Y,即对于任意的R>0,都有

max|ym(t)-y(t)|→0,m→+∞,

0≤t≤R

|Jym(t)-Jy(t)|=

1

+∞

N-2t

∫r[f(r,y

m

(r))-f(r,y(r))]dr+

1

N-2

t0

t

t

2-N

0

s[f(s,y∫

m

m

(s))-f(s,y(s))]ds≤

1

N-2

+∞0

+∞

∫r|

t

f(r,ym(r))-f(r,y(r))|dr+

1

N-2

t

2-N

s|f(s,y∫

(s))-f(s,y(s))|ds.

3α3-β33

由于r|f(r,ym(r))-f(r,y(r))|≤2r(p(t)(η+CA)+q(t)η)≤2rC(p(t)+q(t)),以及

∫

r(p(r)+q(t))dr=A(N-2)<+∞,根据控制收敛定理以及引理,ΠR>0,{Jym(t)}在[0,R]

33

上一致收敛于Jy(t).按照Y中的拓扑,{Jym(t)}收敛于Jy(t),因此J是连续的.　　(iii)最后证明集合JY是列紧的.　　Πy(t)∈Y,都满足η≤Jy(t)≤η+CA.

　第4期

(t)|=|t|Jy′

1-N

t0

吴淑君,等:一类半线性椭圆型方程正解的存在性　311

α

∫

s

N-1

tt

f(s,y(s))ds|≤|

t

0

∫

f(s,y(s))ds|≤

0

∫

η+CA)[p(t)(

3

+q(t)η

3-β

]dt≤

C

0

∫

33

[p(t)+q(t)]dt.

ΠR>0,JY在[0,R]上是一致有界且等度连续的,根据Arzela2Ascoli定理,JY在[0,R]上是列紧的.　　证明集合JY是Y上的列紧集,即要证明JY中的任意序列{Jwi(t)}都包含一个子序列,该子序列按

照规定的拓扑收敛于Y中的一个元素.

　　根据上面的论证,{Jwi(t)}在[0,1]上是列紧的,从而存在子序列,记为{Jw1i},一致收敛于函数y1

11

∈{Jwi(t)}所以存在子序列{Jw2i}在[0,2]上一致收敛于函数y2∈{Jwi(t)}　　利用同样的方法,可以找到满足下列性质的序列:{yk}:yk(t)=y1(t),Πt∈[0,1];yk(t)=

y2(t),Πt∈[0,2];…;yk(t)=yk-1(t),Πt∈[0,k-1].

　　在任意有界区域[0,R]上,根据Cauchy收敛准则,序列{yk(t)}是一致收敛的,即存在函数y(t)∈

C[0,+∞),使得limyk(t)=y(t)在[0,R]上一致成立,并且y(t)=yk(t)(t∈[0,k]).由于η≤

k→+∞

yk(t)≤η+CA,所以η≤y(t)≤η+CA,y(t)∈Y.

　　采用Cantor对角线法,选取{Jwi(t)}的子序列{Jwii(t)},下面证明这个子序列在Y中收敛.按照Y中的拓扑,只要在任意有界区域[0,k0](k0∈N)上证明收敛性成立即可.　　Πε>0,取N=k0,当i>k>N时,Πt∈[0,k0],

|Jwi(t)-y(t)|≤|Jwi(t)-Jwi0(t)|+|Jwi0(t)-y(t)|.

k00

　　当i>N时,{Jwii(t)}是{Jwki(t)}的子序列,而{Jwi(t)}在[0,k0]是一致收敛的序列,从而Πt∈

i

i

k

k

[0,k0]<[0,k],|Jwi(t)-Jwi0(t)|<ε/2.{Jwi0(t)}在[0,k0]上一致收敛于函数yk0(t),而y(t)=yk0(t),Πt∈[0,k0].当i>N时,Πt∈[0,k0]<[0,k],|Jwi0(t)-y(t)|<ε/2.联合上面的两个不

k

ikk

等式可以得到,当i>N时,Πt∈[0,k0],|Jwii(t)-y(t)|<ε.

　　以上证明了Schauder2Tuchnoff不动点定理的条件全部满足,所以J存在不动点y(t)∈Y,即Jy(t)

=y(t).

　　下面证明limy(t)=η.当t>0时,η≤y(t)=η+

t→+∞

1

N-2

+∞t

∫rf(r,y(r))dr

+

1

N-2

t

t

2-N

0

sf(s,

∫

y(s))ds=η+

1

+∞

N-20

∫rf(r,y(r))dr-t

s

2-N

0

t

2-N

t0

srf(r,y(r))drds,∫∫

0

t0

N-3

s

t→+∞

limt

∫∫

s

0

N-3

rf(r,y(r))drds=lim

t0

srf(r,y(r))drds

∫∫

0

N-3

s

t→+∞

t

∞

0

N-2

=

t

t→+∞

N-3

lim

rf(r,y(r))dr

∫

N-3

(N-2)t

=

1

N-2

rf(r,y(r))dr.∫

所以t→limy(t)=η.

+∞

y(|x|),x≠0,

　　定义函数u(x)=

+q(x)u

-β

η+

1

N-2

+∞0

∫rf(r,y(r))dr,x

=0,

容易验证函数u(x)为方程-Δu=p(x)u

α

满足条件的全局正解,也是方程的上解.根据引理2即可得到结论.

参考文献:

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[2]　刘玉仁,许兴业.一类半线性椭圆型方程的整体解[J].广州师范学院学报,1995,(2):28—37.

　312鲁东大学学报(自然科学版)第24卷　

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211—214.

ExistenceofPositiveSolutionstoaKindofSemilinearEllipticEquations

WU　Shu2jun,WANG　Ji2ke

1

2

(1.SchoolofMathematicsandComputationalScience,ChinaUniversityofPetroleum,Dongying257061,China;

2.EditorialDepartment,LudongUniversity,Yantai2025,China)

Abstract:Somesuitableconditionsaregiven,foranypositiveconstantgiveninadvance,bytheaidoffix2pointtheoremandsuper2subsolutionmethod,guaranteeingtheexistenceofanentirepositivesolutionasemilinearellipticequationthattendstothegivenconstantatinfinity.

Keywords:semilinearellipticequation;super2subsolutionmethod;Schuauder2Tychonofffixed2pointtheorem

(责任编辑　司丽琴)