(必考1道，9或12分)
类型一 与图形规律有关的探究问题
(2019.23，2016.23，2014.24，2013.24)
1
1.(2018江西样卷)已知抛物线Cn：yn＝－x2＋(n－1)x＋2n(其中n为正整数)与x轴交于An，Bn两点(点
2An在Bn的左边)，与y轴交于点Dn.
(1)填空：①当n＝1时，点A1的坐标为________，点B1的坐标为________； ②当n＝2时，点A2的坐标为________，点B2的坐标为________；
(2)猜想抛物线Cn是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，并说明理由； (3)①判断△A2D2B4的形状；
②猜想∠AnDnBn2的大小，并给予证明．
2.(2019南昌模拟)如图①，抛物线C：y＝x2经过变换可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得到抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3，请探究以下问题：
(1)填空：a1＝________，b1＝________； (2)求出C2与C3的解析式；
(3)按上述类似方法，可得到抛物线Cn：yn＝anx(x－bn)与正方形OBnAnDn(n≥1)． ①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y2018与y2019的函数值的大小关系，并说明理由．
第2题图
3.(2019江西黑白卷)如图，抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m与x轴交于A，B两点(点A在点B的左
侧)，与y轴交于点C.
(1)若抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m过点(1，0)，求抛物线y1的解析式； (2)当△AOC∽△COB时，求点C的坐标；
(3)当m＝－3时，过点(－2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P，抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线yn，抛物线yn与直线l交于点R，当四边形PARB的面积为70时，求n的值．
第3题图
4.(2019抚州模拟)如图，已知∠OBB1＝30°，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在射线BB1上，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，若OB＝1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过An－1、Bn、An三点的抛物线称为yn.
(1)写出A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标； (2)求出抛物线y1和y2的解析式；
(3)若把△A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2019A′2019，点A2019与A′2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A′2019的形状，并说明理由；
(4)若抛物线yn和yn＋1的对称轴分别交x轴于点Cn和Cn＋1，连接Bn－1Cn并延长交yn＋1的对称轴于点D，请判断△Bn－1Bn＋1D的形状(不需证明)，求出Bn＋1D的长，并说明理由．
第4题图
5.(2018章贡模拟)已知抛物线C1：y1＝a(x－1)2＋k1(a≠0)交x轴于点M(－2，0)和点A1(b1，0)，抛物线
11
C2：y2＝a(x－b1)2＋k2交x轴于点M(－2，0)和点A2(b2，0), 抛物线C3：y3＝a(x－b2)2＋k3交x轴于点M(－
221
2，0)和点A3(b3，0)，…，按此规律，抛物线Cn：yn＝a(x－bn－1)2＋kn交x轴于点M(－2，0)和点An(bn，0)(其
2中n为正整数)，我们把抛物线C1，C2，C3，…，Cn称为系数a的抛物线族．
(1)直接写出b1的值；
(2)线段An－1An的长为________； (3)探究如下问题：(用含a的代数式表示)
①抛物线C3的顶点坐标为(________，________)；
②依此类推第n条抛物线Cn的顶点坐标为(________，________)；
(4)抛物线C10的顶点为N，是否存在△MNA10是等腰直角三角形的情况？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
6.(2019江西样卷六)已知以直线x＝1为对称轴的抛物线y1与x轴交于点A1(d，0)和A2，顶点为B1，以直线x＝2为对称轴的抛物线y2与x轴交于点A2和A3，顶点为B2，…，以直线x＝n为对称轴的抛物线yn
与x轴交于点An和An＋1，顶点为Bn，我们把这样的抛物线y1，y2，…，yn对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数．
(1)当0 1 ②若d＝0.4，“整对称轴”二次函数y1，y2，…，yn的图象的顶点B1，B2，…，Bn都在直线y＝x上， 5当n的值为多少时，△AnAn＋1Bn是直角三角形？ (2)当0 ②请通过画草图分析直线y＝与抛物线y1，y2，…，y2019的公共点个数． 2 第6题图 类型二 与图象变换有关的探究问题 (2019.23，2017.22，2011.24，2010.24) 1.(2019江西模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)，且顶点为B(0，1)． (1)求抛物线M的函数表达式； (2)设点F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1. ①抛物线M1的顶点B1的坐标为________； ②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围． 第1题图 2.(2019江西定心卷)已知抛物线C1：y＝ax2－2ax－3 (a≠0)． (1)当a＝1时， ①抛物线C1的顶点坐标为________； ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为__________； (2)无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF(点E在点F左侧)的长度都不变，求m的值和EF的长； (3)在(2)的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 第2题图 3.(2019江西样卷二)如图，已知二次函数L1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为点M、N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D 两点(点C在点D的左边)． (1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)的顶点坐标为________；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是________； (2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)； (3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点． ①求所有定点的坐标； ②若抛物线L1位置固定不变，通过平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2 应平移的距离是多少？ 4.(2017江西样卷二)已知抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表： x … －3 －2 －1 1 3 4 … y1 … －4 －1 0 －4 －16 －25 … (1)设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为________； (2)现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，试求抛物线C2的解析式； (3)现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B. ①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？ ②在最初的状态下，若向下平移m(m＞0)个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系． 5.(2019江西模拟)将抛物线y＝－(x＋1)2向右平移2个单位，再向上平移4个单位得抛物线m，抛物线m交x轴于A，B(点A在B的左侧)两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与抛物线m交于另一点D. (1)求抛物线m的解析式及点D的坐标，在如图所示的坐标系中画出抛物线m的示意图； (2)P是抛物线上一动点，点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； (3)M是抛物线上一动点，当M点在抛物线m的对称轴右侧时，过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N′.是否存在点M，使N′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 第5题图 6.(2019江西黑白卷)已知抛物线L1：y1＝ax2－2的顶点为P，交x轴于A、B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP＝ 5. 5 (1)求抛物线L1的函数解析式； (2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1∶4两个部分，求直线AC的解析式； (3)在(2)的情况下，将抛物线L1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线L2，点M为抛物线L2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？ 第6题图 类型三 二次函数性质的探究问题 (2015.23，2012.23) 1 1.(2019北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－(a≠0)与y轴交于点A，将点A向右平 a移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求点B的坐标(用含a的式子表示)； (2)求抛物线的对称轴； 11 (3)已知点P(，－)，Q(2，2)，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范 2a围． 2.(2019江西样卷一)已知抛物线y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1. (1)若该抛物线经过点P(1，4)，试求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)求此抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示)，并证明：不论m为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l上． (3)直线l截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3.已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)． (1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数图象的顶点坐标； (2)当c＝10时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式； (3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 4.(2017江西样卷一)已知抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0. (1)下列说法你认为正确的序号是________； ①抛物线L1和L2与y轴交于同一点F(0，5k)； ②抛物线L1和L2开口都向上； ③抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线； ④当k＜－1时，抛物线L1和L2都与x轴有两个交点． (2)抛物线L1和L2相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由； (3)在(2)中，若抛物线L1的顶点为M，抛物线L2的顶点为N，问是否存在实数k，使MN＝2EF？如存在，求出实数k的值；如不存在，请说明理由． 5.如图，已知抛物线l1的顶点是P(－2，4)，且经过点O(0，0)、A(t，0)，平行于y轴的直线m与x轴交于点B(b，0)，与抛物线l1交于点M. (1)求t的值及抛物线l1的解析式； (2)当BM＝4时，求b的值； (3)把抛物线l1绕点(0，1)旋转180°，得到抛物线l2. ①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围； ②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值． 第5题图 类型四 与新定义有关的探究问题 (2014.24) 1.我们定义：对于抛物线y，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y关于点M(0，m)的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． (1)求抛物线y＝x2－2关于原点O(0，0)的“衍生抛物线”的解析式； (2)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)． ①若抛物线y的“衍生抛物线”为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点(0，k＋12)的“衍生抛物线”为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的“衍生抛物线”为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的“衍生抛物线”为yn，其顶点为An…(n为正整数)．求AnAn ＋1 的长(用含n的式子表示)． 2.(2019南昌模拟)已知：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，称抛 物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1与抛物线C2：y＝(x－2)2＋2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D. (1)已知抛物线①y＝－x2－2x，②y＝(x－3)2＋3，③y＝(x－2)2＋2，④y＝x2－x＋错误!，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________(请在横线上填写抛物线的数字序号)； (2)如图①，当m＝1，n＝2时，证明：AC＝BD； (3)如图②，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC. ①求证：四边形ACBD是菱形； ②若已知抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，请求出m的值． 第2题图 参考答案 类型一 与图形规律有关的探究问题 1.解：(1)①(－2，0)，(2，0)； ②(－2，0)，(4，0)； (2)经过，定点为(－2，0)； 解法一： 1 ∵当x＝－2时，y＝－×(－2)2＋(n－1)×(－2)＋2n＝－2－2n＋2＋2n＝0，结果与n无关， 2∴必经过点(－2，0)； 解法二： 1 yn＝－x2＋nx－x＋2n 21 ＝－x2＋(x＋2)n－x， 2令x＋2＝0，即x＝－2. yn＝0与n无关． ∴必经过点(－2，0)； 解法三： 令yn＝0，即x2－2(n－1)x－4n＝0， (x＋2)(x－2n)＝0， 解得x1＝－2，x2＝2n， ∴定点为(－2，0)； (3)①△A2D2B4的形状为直角三角形； ②猜想∠AnDnBn2＝90°. 证明：当x＝0时，yn＝2n， ∴Dn(0，2n)． ∵Bn(2n，0)， ∴Bn2(2n2，0)． AnO21在△AnDnO中，tan∠AnDnO＝＝＝， DnO2nnODn2n1 在△ODnBn2中，tan∠OBn2Dn＝＝＝， OBn22n2n∴∠AnDnO＝∠OBn2Dn. ∵∠AnDnO＋∠DnAnBn2＝90°， ∠OBn2Dn＋∠ODnBn2＝90°， ∴∠AnDnO＋∠ODnBn2＝90°. ∴∠AnDnBn2＝90°. 2.解：(1)1，2； 【解法提示】当y1＝0时，a1x(x－b1)＝0， 解得x1＝0，x2＝b1， ∴A1(b1，0)． 由正方形OB1A1D1得， OA1＝B1D1＝b1， b1b1b1b1 ∴B1(，)，D1(，－)． 2222b1b1 ∵B1在抛物线C上，则＝()2， 22化简后为b1(b1－2)＝0， b1＝0(不符合题意，舍去)，b1＝2， ∴D1(1，－1)． 把D1(1，－1)代入y1＝a1x(x－b1)中得：－1＝－a1， ∴a1＝1. (2)当y2＝0时，a2x(x－b2)＝0， 解得x1＝0，x2＝b2， ∴A2(b2，0)． 由正方形OB2A2D2得， OA2＝B2D2＝b2， b2b2b2b2 ∴B2(，)，D2(，－)． 2222 b2b2b2 ∵B2在抛物线C1上，则＝()2－2×， 222化简后为b2(b2－6)＝0， b2＝0(不符合题意，舍去)，b2＝6， ∴D2(3，－3)． 把D2(3，－3)代入C2的解析式中，得 1 －3＝3a2(3－6)，∴a2＝， 3 11 ∴抛物线C2的解析式为y2＝x(x－6)＝x2－2x. 33当y3＝0时，a3x(x－b3)＝0， 解得x1＝0，x2＝b3， ∴A3(b3，0)． 由正方形OB3A3D3得， OA3＝B3D3＝b3， b3b3b3b3 ∴B3(，)，D3(，－)． 2222 b31b3b3 ∵B3在抛物线C2上，则＝()2－2×， 2322化简后为b3(b3－18)＝0， b3＝0(不符合题意，舍去)，b3＝18， ∴D3(9，－9)． 把D3(9，－9)代入C3的解析式中，得 1 －9＝9a3(9－18)，∴a3＝， 9 11 ∴抛物线C3的解析式为y3＝x(x－18)＝x2－2x； 99(3)①Cn的解析式为yn＝②由①可得， 抛物线C2018的解析式为y2018＝抛物线C2019的解析式为y2019＝∴两抛物线的交点为(0，0)． 如解图，由图象得，当x≠0时，y2018＞y2019. 1320171 x2－2x， 3 2 n－1x－2x(n≥1)； 1 x2－2x， 20183 第2题解图 3.解：(1)把(1，0)代入y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m中，得1－(2m＋4)＋m2＋4m＝0， 解得m＝1或－3， 当m＝1时，抛物线y1的解析式为y1＝x2－6x＋5； 当m＝－3时，抛物线y1的解析式为y1＝x2＋2x－3； ∴抛物线y1的解析式为y1＝x2－6x＋5或y1＝x2＋2x－3； (2)令y1＝0，有x2－(2m＋4)x＋m2＋4m＝0， 即(x－m)[x－(m＋4)]＝0. 解得x1＝m，x2＝m＋4， ∴点A的坐标为(m，0)，点B的坐标为(m＋4，0)． 令y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m中x＝0，则y1＝m2＋4m， ∴C(0，m2＋4m)． ∵△AOC∽△COB， ∴ OAOC＝. OCOB 当A、B在y轴左侧时，OA＝－m，OB＝－m－4，OC＝m2＋4m， －mm2＋4m∴2＝. m＋4m－m－4 ∴m2＋4m＝1，即点C的坐标为(0，1)； 当A、B在y轴异侧时，OA＝－m，OB＝m＋4，OC＝－m2－4m， －m－m2－4m∴＝. －m2－4mm＋4 ∴m2＋4m＝－1，即点C的坐标为(0，－1)； 当A、B在y轴右侧时，OA＝m，OB＝m＋4，OC＝m2＋4m， m2＋4mm∴2＝. m＋4mm＋4 ∴m2＋4m＝1，即点C的坐标为(0，1)． 综上所述，当△AOC∽△COB时，点C的坐标为(0, 1)或(0，－1)； (3)当m＝－3时，y1＝[x－(m＋2)]2－4＝(x＋1)2－4， 令y1＝0，得(x＋1)2－4＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 当x＝－2时，y1＝(－2＋1)2－4＝－3， ∴点P的坐标为(－2，－3)． ∵y1向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线yn， ∴yn＝[x＋1－(n－1)]2－4＝(x＋2－n)2－4， ∴当x＝－2时，yn＝(x＋2－n)2－4＝n2－4. ∴点R的坐标为(－2，n2－4)． 11 ∵S四边形PARB＝S△PAB＋S△RAB＝×3×4＋×4×(n2－4)＝70， 22解得n＝±6. ∵n为正整数，∴n＝6. 13 4.解：(1)A1(1，0)、A2(3，0)、A3(7，0)、B1(，)、B2(2，3)、B3(5，23)； 22(2)设抛物线y1的解析式为y1＝ax(x－1)， 13 把B1(，)代入y1，中，解得a＝－23， 22∴y1＝－23x2＋23x. 同理可得y2＝－3x2＋43x－33； (3)四边形A2018A2019B2019A′2019是菱形， 由折叠性质可知，△A2018B2019A′2019是等边三角形， ∵△A2018A2019B2019是等边三角形， ∴A′2019B2019＝B2019A2019＝A2018A2019＝A2018A′2019， ∴四边形A2018A2019B2019A′2019是菱形； (4)△Bn－1Bn＋1D是等边三角形． 由题意可得： Bn－1(3×2n3－1，2n － －3 3)、Bn＋1(3×2n1－1，2n － －1 3)， 过点Bn－1作Bn－1E⊥Bn＋1D交Bn＋1D于点E， ∵△Bn－1Bn＋1D是等边三角形 ∴Bn－1E＝3DE. ∴Bn－1E＝3×2n1－1－(3×2n3－1)＝9×2n3. ∴DE＝33×2n3. ∴Bn＋1D＝2DE＝33×2n2. 5.解：(1)4； 【解法提示】∵抛物线C1∶y1＝a(x－1)2＋k1(a≠0)，交x轴于点M(－2，0)和点A1(b1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)，∴b1＝4. (2)2； 【解法提示】同(1)可知，b2＝6，b3＝8，b4＝10，…，按此规律得bn＝2n＋2，∴An－1An＝bn－bn－1＝2n＋2－[2(n－1)＋2]＝2. (3)①3，－25a；②n，－(n＋2)2a； 1 【解法提示】①∵y3＝a(x－b2)2＋k3交x轴于点M(－2，0)和点A3(b3，0)，b2＝6，∴0＝a(－2－3)2＋ 2k3，∴k3＝－25a，∴抛物线C3的顶点坐标为(3，－25a)；②∵bn－1＝2n，∴第n条抛物线的对称轴为直线x＝n，∴0＝a(－2－n)2＋kn，∴kn＝－(n＋2)2a，∴第n条抛物线Cn的顶点坐标为[n，－(n＋2)2a]． (4)存在，理由如下： ∵抛物线C10∶y10＝a(x－10)2－144a，顶点坐标N为(10，－144a)，点A10的坐标为(22，0)， ∴|MA10|＝24. ∵△MNA10是等腰直角三角形， 1 ∴|－144a|＝×24. 21 解得a＝±. 12 1 ∴存在a＝±使△MNA10为等腰直角三角形． 126.解：(1)①2－2d，2d，2－2d； 1 ②∵顶点B1，B2，…，Bn都在直线y＝x上， 51 ∴当x＝n时，y＝n. 5 由①可知，当n为奇数时，AnAn＋1＝2－2d， － －－ － － 当n为偶数时，AnAn＋1＝2d. 111 ∴当d＝0.4时，只要满足n＝AnAn＋1＝(2－2d)＝0.6， 522111 或n＝AnAn＋1＝×2d＝0.4时，△AnAn＋1Bn是直角三角形． 522解得n＝3或n＝2. (2)①∵△A1A2B1是直角三角形，A1A2＝2－2d， ∴抛物线y1的顶点B1的坐标为(1，1－d)． 设二次函数y1的解析式为y1＝a1(x－1)2＋1－d， ∵抛物线y1过点A1(d，0)，将A1的坐标代入得a1＝∴二次函数y1的解析式为y1＝ 1 (x－1)2＋1－d. d－1 1， d－1 同理，∵△A2A3B2是直角三角形，A2A3＝2d， ∴抛物线y2的顶点B2的坐标为(2，d)． 设二次函数y2的解析式为y2＝a2(x－2)2＋d， 1 ∵抛物线y2过点A2(2－d，0)，将A2的坐标代入得a2＝－， d1 ∴二次函数y2的解析式为y2＝－(x－2)2＋d. d 1 猜想二次函数y2019的解析式为y2019＝(x－2019)2＋1－d. d－1②通过以上探究，画出草图，可知： 11 当0 当d＝时，直线y＝与y1，y2，…，y2019的公共点个数为2019个； 2211 当 1.解：(1)∵抛物线M的顶点为B(0，1)， ∴可设抛物线M的函数表达式为y＝ax2＋1. ∵抛物线M经过点A(－1，0)， ∴a×(－1)2＋1＝0，解得a＝－1. ∴抛物线M的函数表达式为y＝－x2＋1； (2)①(2t，－1)； ②由①可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t，－1)， ∴抛物线M1的函数表达式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)． 当抛物线M1经过点A(－1，0)时， (－1－2t)2－1＝0，解得t1＝－1，t2＝0. 当抛物线M1经过点B(0，1)时，(0－2t)2－1＝1， 2 解得t＝±. 2 如解图，结合函数图象分析，∵t＞0，当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0＜t≤ 2. 2 第1题解图 2.解：(1)①(1，－4)； 【解法提示】当a＝1时，抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－4)； ②y＝－x2＋2x＋3； (2) 将y＝ax2－2ax－3变形，得y＝ax(x－2)－3， ∴抛物线C1总经过定点(2，－3)． ∵y＝ax2－2ax－3与y轴交于点(0，－3)，且EF的长度不变， ∴当y＝－3时，EF的长为2， 即当m＝－3时，线段EF的长恒为2； (3)存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形． 理由如下： 易得抛物线C1：y＝ax2－2ax－3的顶点坐标为(1，－a－3) . 由(2)知EF＝2，点E、F均在直线y＝－3上， 根据翻折的性质可知P、Q两点关于EF对称，即P、Q在EF的两侧，故要使E，F，P，Q四点构成的四边形为正方形，需满足PQ＝2，即点P到直线y＝－3的距离为1， ∴|(－a－3)－(－3)|＝1， ∴|－a|＝1， 解得a＝1或a＝－1. 3.解：(1)(－1，－4m＋1)，－1＜x＜3； (2)四边形AMDN是矩形； (3)①y＝mx2＋2mx－3m＋1＝m(x＋3)(x－1)＋1， ∴当x＝－3或1时，y＝1. 故抛物线L1恒经过定点(－3，1)或(1，1)； y＝－m(x－3)2＋4m－1＝－m(x－5)(x－1)－1， ∴当x＝5或1时，y＝－1. 故抛物线L2恒经过定点(5，－1)或(1，－1)； ②∵抛物线L1经过定点(－3，1)或(1，1)与抛物线L2经过定点(5，－1)或(1，－1)， 设E为(－3，1)，F为(1，1)，G为(5，－1)，H为(1，－1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形，如解图，另设平移的距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得 42＝22＋(4－x)2， 解得x＝4±23， 故抛物线L2应平移的距离是4＋23或4－23. 第3题解图 4.解：(1)(－1，0)； 【解法提示】观察表格可知，抛物线上的点(－3，－4)与点(1，－4)关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴顶点P的坐标为(－1，0)． (2)设抛物线C1的解析式为y1＝a(x＋1)2，把(－2，－1)代入得到a＝－1， ∴抛物线C1的解析式为y1＝－(x＋1)2. 将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，根据对称性可知，抛物线C2的顶点为(－1，0)，a＝1， ∴抛物线C2的解析式为y2＝(x＋1)2； (3)①抛物线C2向下平移过程中，对称轴为直线x＝－1，当A、B之间的距离为6时，可知A(－4，0)，B(2，0)， ∴此时抛物线C2的解析式为y＝(x＋4)(x－2)． 即y＝(x＋1)2－9， ∴抛物线C2至少向下平移9个单位，才能使点A、B之间的距离不小于6个单位； 1②m＝n2. 4 【解法提示】抛物线C2向下平移m(m＞0)个单位后的解析式为y＝(x＋1)2－m， 令y＝0，解得x＝－1±m， ∴A(－1－m，0)，B(－1＋m，0)． ∴n＝AB＝2m. 1∴m＝n2. 4 5.解：(1)依题意得抛物线m的解析式为y＝－(x－1)2＋4， ∴C(0，3)，∴直线CD的解析式为y＝3. 由y＝－(x－1)2＋4与y＝3联立解得x＝0(舍去)或2， ∴D(2，3)． 抛物线y＝－(x－1)2＋4如解图①所示； 第5题解图① (2)由－(x－1)2＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)． ∵A，E两点都在x轴上，∴AE有两种可能： ①当AE为平行四边形一边时，AE∥PD，∴P1(0，3)； ②当AE为对角线时，根据平行四边形对角的顶点到另一条对角线距离相等，可知点P、点D到直线AE(即x轴)的距离相等， ∵D(2，3)，即点D到x轴的距离为3，∴点P的纵坐标为－3. ∴－3＝－(x－1)2＋4.解得x3＝7＋1，x4＝－7＋1， ∴点P的坐标为(7＋1，－3)或(－7＋1，－3)． 综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，3)，(7＋1，－3)，(－7＋1，－3)； (3)存在满足条件的点M. 理由如下：如解图②，设直线MN交x轴于F，假设点N′在x轴上， 第5题解图② 依题意得，点M在直线CD下方，设CN＝a， ∵M是抛物线上一动点， ∴点M的坐标为(a，－a2＋2a＋3)， MN＝3－(－a2＋2a＋3)＝a2－2a. 由折叠性质得△CMN≌△CMN′， ∴∠N＝∠CN′M＝90° , CN′＝CN＝a，MN′＝MN＝a2－2a， ∴∠CN′O＋∠FN′M＝90°. ∵∠OCN′＋∠CN′O＝90°， ∴∠FN′M＝∠OCN′. 又∵∠CON′＝∠N′FM＝90°， ∴△CON′∽△N′FM， ∴ N′CMN′ ＝， OCFN′ aa2－2a∴＝， 3FN′∴N′F＝3a－6， ∴ON′＝OF－N′F＝a－(3a－6)＝6－2a， 在Rt△CON′中，∵∠CON′＝90°， ∴CO2＋ON′2＝N′C2. ∴32＋(6－2a)2＝a2， 解得a＝3或5， ∴点M的坐标为(3，0)或(5，－12)． 6.解：(1)∵抛物线y1＝ax2－2的顶点为点P， ∴点P的坐标为(0，－2)． 又∵sin∠ABP＝5 ， 5 OP5 ∴BP＝＝2÷＝25. 5sin∠ABP在Rt△OBP中，由勾股定理可得 OB＝（25）2－4＝4. ∴A(－4，0)，B(4，0)． 1 将A(－4，0)代入y1＝ax2－2中，解得a＝， 81 ∴抛物线L1的解析式为y1＝x2－2； 8 1 (2)如解图，过点C作CE⊥x轴于点E，由题意得S△AOD＝S△ABC，AB＝2OA， 5 第6题解图 11 ∵S△AOD＝AO·OD，S△ABC＝AB·CE. 22111 即AO·OD＝×AB·CE. 252∴OD2＝. CE5 ∵CE⊥x轴，DO⊥x轴，∴△AOD∽△AEC， ∴ ODOA2＝＝. ECEA5 ∵OA＝4，∴AE＝10.∴OE＝6. 15 在y1＝x2－2中，令x＝6，得y＝. 825 ∴C(6，)． 2 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， －4k＋b＝0，5 将A(－4，0)，C(6，)代入得 526k＋b＝，21k＝4，解得 b＝1. 1 ∴直线AC的解析式为y＝x＋1； 4 1 (3)将抛物线L1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线L2的解析式为y2＝－x2－2，当△BDM为直角三角 8形时，分两种情况讨论： (ⅰ)当BD为直角边时， 1 ∵直线AC的解析为y＝x＋1， 4∴D(0，1)． ∵B(4，0)， 1 易得直线BD的解析式为y＝－x＋1， 4①当∠MDB＝90°时，即DM⊥DB， 设直线DM的解析式为y＝4x＋m，代入D(0，1)得y＝4x＋1， y＝4x＋1，联立得 12 y＝－x－2，28 解得x1＝－16＋258，x2＝－16－258； ②当∠DBM＝90°时，即BD⊥BM， y＝4x－16， 设直线BM的解析式为y＝4x＋n，代入B(4，0)得y＝4x－16，联立 12 y＝－x－2，28解得x3＝－16＋423，x4＝－16－423. (ⅱ)当BD为斜边时，Rt△BDM不存在； 综上所述，当点M的横坐标为－16＋258或－16－258或－16＋423或－16－423时，△BDM为直角三角形． 类型三 二次函数性质的探究问题 1 1.解：(1)当x＝0时，y＝－. a1 ∴A(0，－)． a ∵点A向右平移2个单位长度得到点B， 1 ∴B(2，－)； a 1 (2)∵点B(2，－)在抛物线上， a11∴－＝a·22＋b·2－. aa∴b＝－2a. －2ab ∴对称轴为直线x＝－＝－＝1； 2a2a(3)由(2)知b＝－2a. 11 ∴y＝ax2＋bx－＝ax2－2ax－. aa 1131 当a＞0时，在y＝ax2－2ax－中，当x＝时，y＝－a－. a24a311 ∵－a－＜－， 4aa 11 ∴点P(，－)在抛物线的上方． 2a1 当x＝2时，y＝－. a1 ∵－＜2， a ∴点Q(2，2)在抛物线的上方． ∴抛物线与线段PQ没有公共点，故此情况舍去． 当a＜0时， 311∵－a－＞－， 4aa 11 ∴点P(，－)在抛物线的下方． 2a 11 ∴当－≤2，即a≤－时，Q(2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ恰好有一个公共点．综上所 a21 述，a的取值范围是a≤－. 2 2.解：(1)将x＝1，y＝4代入y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1，得m2＋2m－3＝0. 解得m＝1或m＝－3. 39 当m＝1时，y＝x2＋3x，其顶点坐标为(－，－)； 2457 当m＝－3时，y＝x2－5x＋8，其顶点坐标为(，)； 24(2)方法1： 设顶点坐标为(x，y)， 2m＋11 则x＝－＝－m－， 22 4（m2－1）－（2m＋1）2－4m－55 y＝＝＝－m－， 44415 ∴顶点坐标为(－m－，－m－)． 24方法2： ∵y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1 2m＋122m＋12 ＝x2＋(2m＋1)x＋()＋m2－1－() 222m＋124m＋5 ＝(x＋)－， 24 15 ∴顶点坐标为(－m－，－m－)． 24 33 证明：∵y－x＝－，∴不论m为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l：y＝x－上． 44(3)是． 3111 将y＝x－代入y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1得x2＋2mx＋m2－＝0⇒(x＋m)2＝⇒x＝－m±. 44421511 ∴l与抛物线的交点坐标分别为A(－m－，－m－)，B(－m＋，－m－)． 2424∴AB＝＝2 . 3.解：(1)当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 故二次函数的顶点坐标为(－1，－4)； (2)当c＝10时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋10， 由题意得，x2＋bx＋10＝1有两个相等的实数根， ∴b2－4ac＝b2－36＝0， 解得b1＝6，b2＝－6， ∴二次函数的解析式为y＝x2＋6x＋10或y＝x2－6x＋10； (3)当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2＋bx＋b2， b 图象开口向上，对称轴为直线x＝－， 2 b ①当对称轴在取值范围的左边，即－＜b，b＞0时， 2 在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而增大， ∴当x＝b时，y＝b2＋b·b＋b2＝3b2为最小值， ∴3b2＝21，解得b1＝－7(舍去)，b2＝7； b ②当对称轴在取值范围之间，即b≤－≤b＋3时，解得－2≤b≤0， 2b3 ∴x＝－时有最小值，为y＝b2， 24 3 ∴b2＝21，解得b1＝－27(舍去)，b2＝27(舍去)； 4 b ③当对称轴在取值范围的右边，即－＞b＋3时，解得b＜－2， 2在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而减小， 故当x＝b＋3时，y＝(b＋3)2＋b(b＋3)＋b2＝3b2＋9b＋9为最小值， ∴3b2＋9b＋9＝21.解得b1＝1(舍去)，b2＝－4； ∴当b＝7时，二次函数解析式为y＝x2＋7x＋7； 当b＝－4时，二次函数解析式为y＝x2－4x＋16. 综上所述，此时二次函数的解析式为y＝x2＋7x＋7或y＝x2－4x＋16. 4.解：(1)①③④； (2)由(1)可知：点F(0，5k)是抛物线L1和L2与y轴的一个交点，两条抛物线相交的另一点E与点F的纵坐标相等． 当k＝1时，抛物线L1和L2重合， 当k≠1时，k的值变化时，线段EF的长度不会变化， b 理由如下：∵抛物线L1的对称轴和L2的对称轴均为直线x＝－＝－3， 2a又F(0，5k)，∴点F关于直线x＝－3对称的点E的坐标为E(－6，5k)， ∴线段EF＝0－(－6)＝6； (3)存在实数k，使MN＝2EF， ∵y1＝x2＋6x＋5k＝(x＋3)2－9＋5k， y2＝kx2＋6kx＋5k＝k(x＋3)2－4k， ∴抛物线L1顶点M(－3，－9＋5k)， 抛物线L2顶点N(－3，－4k)， 由题意得NM＝|－4k－(5k－9)|＝2×6， 71 解得k1＝，k2＝－. 33 5.解：(1)∵抛物线l1的顶点是P(－2，4)， ∴对称轴为直线x＝－2. ∴A(－4，0)． ∴t＝－4. 设抛物线l1的解析式为y＝a(x＋2)2＋4， ∵抛物线过点O， ∴4a＋4＝0. 解得a＝－1. ∴抛物线l1的解析式为y＝－(x＋2)2＋4； (2)由题知点M在抛物线l1上， 点B在x轴上，且BM＝4， ①当点M在x轴下方时，M(b，－4)， ∴－4＝－(b＋2)2＋4， 解得b＝－2±22， ②当点M在x轴上方时，M(b，4)， ∴4＝－(b＋2)2＋4， 解得b＝－2， 综上所述，当BM＝4时，b＝－2或－2＋22或－2－22； (3)①－2 第5题解图 由图象知，－2＜x＜2. ②∵点P关于(0，1)的对称点为P′(2，－2)， ∴抛物线l2的解析式为y＝(x－2)2－2. 设点M(b，－(b＋2)2＋4)， ∴N(b，(b－2)2－2)． ∴MN＝n＝(b－2)2－2－[－(b＋2)2＋4]＝2b2＋2. ∴当b＝0时，MN的最小值为2. 类型四 与新定义有关的探究问题 1.解：(1)∵抛物线y＝x2－2的顶点为(0，－2)， ∴抛物线的顶点坐标(0，－2)关于原点(0，0)的对称点为(0，2)． ∴衍生抛物线的顶点坐标为(0，2)． ∵衍生抛物线开口大小不变，方向改变，故二次项系数与原二次项系数互为相反数， ∴衍生抛物线的解析式为：y′＝－x2＋2. (2)①抛物线y＝ax2＋2ax－b＝a(x＋1)2－a－b. ∴此抛物线的顶点坐标为(－1，－a－b)． ∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2＝b(x－1)2＋a2－b， ∴此抛物线的顶点坐标为(1，a2－b)． ∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点， 2b＋2b＋a＝－a－b ∴. a＋2a－b＝a2－b 解得a＝0(舍去)或a＝3，b＝－3. ∴抛物线y的顶点坐标为(－1，0)，抛物线y的衍生抛物线y′的顶点坐标为(1，12)． ∵衍生中心为两顶点连线的中点， ∴衍生中心的坐标为(0，6)； ②抛物线y＝ax2＋2ax－b的顶点坐标为(－1，－a－b)， ∵点(－1，－a－b)关于点(0，k＋n2)的对称点为(1，a＋b＋2k＋2n2)． ∴抛物线yn的顶点坐标An为(1，a＋b＋2k＋2n2)． 同理：An＋1(1，a＋b＋2k＋2(n＋1)2)． ∴AnAn＋1＝a＋b＋2k＋2(n＋1)2－(a＋b＋2k＋2n2)＝4n＋2. 2.解：(1)①与③，①与④ 【解法提示】①y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋12，②y＝(x－3)2＋3＝(x－3)2＋(3)2，111 ③y＝(x－2)2＋(2)2，④y＝x2－x＋＝(x－)2＋()2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物 222线； (2)证明：当m＝1，n＝2时，抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1，抛物线C2：y＝(x－2)2＋4， ∴A(－1，1)，B(2，4)． ∵AC∥BD∥y轴， ∴点C的横坐标为－1，点D的横坐标为2. 当x＝－1时，y＝(x－2)2＋4＝13，则C(－1，13)； 当x＝2时，y＝－(x＋1)2＋1＝－8，则D(2，－8)， ∴AC＝13－1＝12，BD＝4－(－8)＝12. ∴AC＝BD； (3)①抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，则A(－m，m2)； 抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则B(n，n2)； 当x＝－m时，y＝(x－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则C(－m，m2＋2mn＋2n2)； 当x＝n时，y＝－(x＋m)2＋m2＝－2mn－n2，则D(n，－2mn－n2)； ∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2. ∴AC＝BD； ∴四边形ACBD为平行四边形． ∵∠BEO＝∠BDC， 而∠EHF＝∠DHG， ∴∠EFH＝∠DGH＝90°. ∴AB⊥CD. ∴四边形ACBD是菱形； ②∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，则B(2，4)， ∴n＝2. ∴AC＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8. 而A(－m，m2)， ∴C(－m，m2＋4m＋8)． ∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4. ∵四边形ACBD是菱形， ∴BC＝BD. ∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2. 即(m＋2)4＝15(m＋2)2， ∵m＞0， ∴(m＋2)2＝15. ∴m＋2＝15. ∴m＝15－2. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容