不等式知识点

不等式知识点总结

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．

考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．

（4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）

（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

abcd(9)ab0,0cd（异向不等式相除）

(10)ab,ab011ab（倒数关系）

nnab0ab(nZ,且n1)（平方法则） （11）

（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

极值定理：若x,yRabab.2（当仅当

a=b时取等号）

,xyS,xyP,则：

○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；

○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

abc3abc3（当仅当(4)若a、b、cR,则a=b=c时取等号）

ba(5)若ab0,则2ab（当仅当

a=b时取等号）

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

4.几个著名不等式

2（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么

11ababab2a2b2.2（当仅当a=b

时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

ab2a2b2ab()22特别地，

（当a = bab2a2b2()ab2时，2）

a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

2幂平均不等式：

22a12a2...an1(a1a2...an)2n

22222(acbd)(ab)(cd). 注：例如：

111常用不等式的放缩法：①nn1n(n1)1n2111(n2)n(n1)n1n

②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则2222222（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)ana1a2a3当且仅当时取等号bbbbn123（2）柯西不等式：

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

x1x2f(x1)f(x2))或22x1x2f(x1)f(x2)).22

f(f(则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

○1

f(x)0定义域f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)

○2

f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○3

f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想；

○3应用化归思想等价转化

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

1124x(1x)22x(1x)(1x)()322327 ①

2x2(1x2)(1x2)123423yx(1x)y()y223279 ②

22类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③

22|x111||x|||(x与同号，故取等)2xxx