江苏省天一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学
（平行班）试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 命题“x=π”是“sinx=0”的（ ）条件．
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 A.
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
B.
2x的是（ ） 2. 下列双曲线中，渐近线方程为y=±
C.
D.
3. 以坐标原点为顶点，且（3，0）为焦点的抛物线方程是（ ）
A. B. C. D. 4. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. , B. ,
C. ,
5. 设椭圆
D. ,
（m＞n＞0）的右准线为x=8，椭圆的离心率为 ，则椭圆的方程
为（ ）
A.
B. C. D.
6. 下列命题：
； ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有
是 共线的充要条件； 、 ②
B、C，y，③对空间任意一点P与不共线的三点A、若 ，z R），则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
，-1，3）， ，3，λ），若 、 三向量共7. 已知 ，4，-2）， 、 面，则实数λ等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
为抛物线 的焦点， 为 上一点，8. 为坐标原点，若 则
的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 9. 设双曲线
（ ， ）的渐近线与抛物线 相切，则该双
曲线的离心率等于（） A. B. 2 C. D.
22
10. 设F1，F2是双曲线x-4y=4a（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足
， ，则a的值为（ ）
A. 2
B.
C. 1 D.
22
11. 直线l的方程为y=x+3，P为l上任意一点，过点P且以双曲线12x-4y=3的焦点为
焦点作椭圆，那么该椭圆的最短长轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D.
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1
12. 已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交
于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）
A.
B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若双曲线 的离心率是 ，则实数 ________.
B={x|4x2+12x-7≤0}，14. 已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，若“x A”是“x B”的必要条件，
则实数a的取值范围是______． 15. 已知椭圆
＞ ＞ 的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存
在点P，使得 ，则该离心率e的取值范围是______．
2
=216. 已知F是抛物线y=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •
（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
2
17. 已知命题p： x （-2，1），使等式x-x-m=0成立，命题q：
表示椭
圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围． （2）判断命题p为真命题是命题q为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）
2y=0，焦点坐标是F1（- ，0）、F2（ ，0）． 18. 已知双曲线C1的渐近线是 x±
（Ⅰ）求双曲线C1的方程；
（Ⅱ）若椭圆C2与双曲线C1有公共的焦点，且它们的离心率之和为
，点
P在椭
圆C2上，且|PF1|=4，求∠F1PF2的大小．
AC=4，AA1=3．D19. 三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，
是BC的中点．
（1）求直线A1D与B1C1所成角的余弦值；
（2）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．
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2
2
20. 已知抛物线C：y=2x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，
B作准线的垂线交准线与P，Q两点．R是PQ的中点． （1）证明：以PQ为直径的圆恒过定点F． （2）证明：AR∥FQ．
AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，21. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，
AD=CD= ，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1-AC-B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 ，求线段A1E的长．
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3
22. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b＞0）
2
的离心率是 ，抛物线E：x=2y的焦点F是C的一
个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求 的最
大值及取得最大值时点P的坐标．
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4
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由x=π，得sinx=0； 反之，由sinx=0，得x=kπ，k Z．
∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件． 故选：A．
由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=π，然后结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题． 2.【答案】A
A，【解析】解：曲线方程是： 确；
B，曲线方程是：-y2=1，其渐近线方程是-y2=0，整理得y=±x．错误；
其渐近线方程是 ，
=0，2x．整理得y=±正
C，曲线方程是：x2-=1，其渐近线方程是x2-=0，整理得y=± x．错误；
D，曲线方程是：-y=1，其渐近线方程是-y2=0，整理得y=±x．错误；
2
故选：A．
把曲线的方程化为标准方程，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程． 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程． 3.【答案】B
【解析】解：根据题意，要求抛物线的焦点为（3，0）； 则抛物线的开口向左，且 =3，即p=6；
2
故抛物线的标准方程为y=12x； 故选：B．
根据题意，由抛物线焦点的坐标分析可得抛物线的开口向左，且 =3，求出p的值，即可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线焦点坐标，属于基础题． 4.【答案】D
x
【解析】解：当x=0时，lge=0，所以A是真命题； x=0时，tanx=x，所以B是真命题；
因为sinx≤1，当x= 时，sinx=1，所以 ， ，sinx＜1，C是真命题；
x=0时，ex=x+1，所以 x R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题； 故选：D．
通过特殊值判断A、B的正误；正弦函数的最值判断C的正误，利用反例判断D是假命题．
本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
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5
5.【答案】B
【解析】解：∵椭圆
（m＞n＞0）的右准线为x=8，椭圆的离心率为 ，
可得
a=4，c=2，则b= =2 ． ，解得
所以椭圆方程：
．
故选：B．
确定椭圆的焦点在x轴，利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆方程．
本题主要考查椭圆的基本性质．椭圆方程的求法，圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握． 6.【答案】D
，而右边为0，故①不正确； 【解析】解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为
22
|2-2| || |2+2 • 与 ② ⇔| |+| |=| +| |⇔cosθ=-1，即 反向， 、 ∴ 是 共线的充分不必要条件，故②不正确；
可以用不共面的三个向量 、 、 ③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量 线性表示，所以P、A、B、C四点一定不共面，故③不正确；
故选：D．
①由向量的运算法则，可判断真假；
②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假； ③利用空间向量的基本定理知错；
考查向量的运算法则，空间向量的基本定理，命题真假的判断； 7.【答案】A
、 共面，则 =x +y 【解析】解：向量 、 ，其中x，y R；
则（1，3，λ）=（2x，-x，3x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），
∴ ，
解得x=1，y=1，λ=1． 故选：A．
、 共面得出 =x +y 由向量 、 ，列方程组可求得λ的值． 本题考查了空间向量的坐标表示与共面定理的应用问题，是基础题． 8.【答案】C
2
【解析】解：∵抛物线C的方程为y=4 x ∴2p=4 ，可得 = ，得焦点F（ ， ） 设P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|=m+ =4 ， 即m+ =4 ，解得m=3
2
3 =24 ∵点P在抛物线C上，得n=4 ×
∴n= = ∵|OF|=
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6
∴△POF的面积为S= |OF|×|n|= =2
故选：C．
根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（ ， ）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4 ，算出m=3 ，从而得到n= ，得到△POF的边OF上的高等于2 ，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．
2
本题给出抛物线C：y=4 x上与焦点F的距离为4 的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 9.【答案】C
【解析】【分析】
求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到． 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题． 【解答】
x， 解：双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±
2
代入抛物线方程y=x+1， 2
得x x+1=0，
由相切的条件可得，判别式 -4=0，
即有b=2a，则c= = = a， 则有e= = ．
故选C． 10.【答案】C
【解析】解：由题意可得∠F1PF2为直角，△PF1F2为直角三角形， 又双曲线的方程可化为
，
=4c2=20a故 ，
2
变形可得（PF1-PF2）+2PF1•PF2=20a，
2
由双曲线定义得（2× ）+4=20a，
2
即a=1，解得a=1， 故选：C．
2
由数量积的意义结合勾股定理可得（PF1-PF2）+2PF1•PF2=20a，代入已知可得关于a的方程，解之可得．
本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的定义和完全平方公式的变形，属中档题． 11.【答案】B
【解析】解：由题意可设椭圆方程为：
222
则c=1，∴a-b=c=1，
（a＞b＞0），
设P（m，m+3），由P在椭圆上，得
，
222222222
∴（a-1）m+a（m+6m+9）=a（a-1）=（a）-a，
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7
222222
即（2a-1）m+6am+10a-（a）=0．
22224
由△=（6a）-（8a-4）（10a-a）≥0，
44264
得36a-80a++40a+8a-4a≥0，
2442
∴-48a+40+8a≥0，a-6a+5≥0，
22
即（a-5）（a-1）≥0，
22
解得a≤1或a≥5， 222
∵c=1，a＞c， 22
∴a≥5，长轴最短，即a=5， 该椭圆的最短长轴长为：2 ． 故选：B．
设出椭圆方程，P的坐标，结合P在椭圆上，可得关于P的横坐标的方程，由判别式大于等于0求得a的范围，进一步求出a的最小值，推出结果．
本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题． 12.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．
|AF1|=m，设|F1F2|=2c，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，
，再由椭圆的定义可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程． 【解答】 解：如图，
设|F1F2|=2c，|AF1|=m，
若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|=|AF1|=m， ，
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a， 即有 ，即 ， 则 ， 在直角三角形AF1F2中， |F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
即 ， ∴ ，
则 ，
∴ ． 故选D． 13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．利用双曲线的离心率，列出方程求解m
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8
即可． 【解答】
2
解：双曲线x-=1（m＞0）的离心率为 ，
可得：
，
解得m=2． 故答案为：2．
14.【答案】[ ，+∞）
2
【解析】解：B={x|4x+12x-7≤0}={x|（2x+7）（2x-1）≤0}={x|- ≤x≤ }，
A={x|2-a≤x≤2+a}，
∵“x A”是“x B”的必要条件， ∴B⊆A，
，解得 ， 即
∴实数a的取值范围是[ ，+∞）． 故答案为：[ ，+∞）．
求解一元二次不等式化简B，再把“x A”是“x B”的必要条件转化为两集合端点值间的关系列式求解．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查数学转化思想方法，是基础题． 15.【答案】[ -1，1）
【解析】解：依题意，得 +1=
= =e+1，
∴PF2= ，又a-c≤PF2≤a+c，
∴a-c≤ ≤a+c，不等号两端同除以a得， 1-e≤ ≤1+e，
∴ ，解得e≥ -1， 又0＜e＜1， ∴ -1≤e＜1．
故答案为：[ -1，1）
由 =e结合椭圆离心率的定义可得 +1=
= =e+1，可求得PF2= ，而
a-c≤PF2≤a+c，从而可求得离心率e的取值范围．
本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得PF2= ，利用a-c≤PF2≤a+c解决问题是关键，也是难点，属于中档题．
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9
16.【答案】3
【解析】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y2=x，可得y2-ty-m=0，根据韦达定理有y1•y2=-m， • =2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2-2=0， ∵
∵点A，B位于x轴的两侧， ∴y1•y2=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0， 又F（ ，0），
2×y1=y1+ ≥3 ∴S△ABO+S△AFO= ×（y1-y2）+ ×
当且仅当 y1= ，即y1= 时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，
故答案为：3．
先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦
• =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 达定理及
求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高． 3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．
17.【答案】解：（1）由题意，方程x2-x-m=0在（-2，1）上有解，即m的取值范围就
2
是函数y=x-x在（-2，1）上的值域，
2
函数y=x-x的对称轴方程为x= ，则当x= 时，有最小值为 ，当x=-2时，有最大值为
6．
可得{m| ≤m＜6}； （2）∵命题q： ＞ ∴ ＞
故有{m| ≤m＜6}⫌{m|2＜m＜3或3＜m＜4}．
∴p是q的必要不充分条件．
22
【解析】（1）把： x （-2，1），使等式x-x-m=0成立转化为方程x-x-m=0在（-2，1）
2
上有解，即m的取值范围就是函数y=x-x在（-2，1）上的值域，再求二次函数的值域得答案； （2）由
表示椭圆求得m的范围，利用集合间的关系结合充分必要条件的
表示椭圆为真命题，
2＜m＜3或3＜m＜4． ，解得
判定得答案．
本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查函数值域的求法及椭圆的标准方程，是基础题．
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10
18.【答案】解：（I）根据题意，设双曲线C1： ，
则 ， ，
双曲线C1方程是
．
（II）∵双曲线C1的离心率是 ，∴椭圆C2离心率是 ，
在椭圆C2中， ，∴a=3， ， ∵|PF1|=4，由椭圆定义，|PF2|=2，在△F1PF2中， 根据余弦定理， ∠ ∴∠F1PF2=120°．
【解析】（I）设双曲线C1：方程．
（II）由已知得椭圆C2离心率是 ， ，a=3， ，由此利用余弦定理能
，
，由已知
，由此能求出双曲线C1
求出∠F1PF2的大小．
本题考查双曲线方程的求法，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意椭圆、双曲线简单性质的合理运用．
19.【答案】解：根据题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），
由此可得 =（1，2，-3）， =（0，4，0），
=（1，-2，0）， =（-2，4，0）， =（1，-2，3）
（1）∵cos＜ ， ， ＞= =
∴直线A1D与B1C1所成角的余弦值为
；
=（x，y，z）， （2）设平面A1C1D的一个法向量为
则 ，取z=1得x=3，y=0，
=（3，0，1）是平面A1C1D的一个法向量 ∴
因此，设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，
＞= = ， 可得sinθ=cos＜ ，
即直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值等于
．
【解析】（1）根据题中所给的坐标系，可得A、B、C、D、A1、B1、C1各点的坐标，
由此得到向量 、 、 、 、 的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos
＜ ， ＞的值，即可得到直线A1D与B1C1所成角的余弦值；
=（x，y，z），利用垂直向量数量积为零的方法建（2）设平面A1C1D的一个法向量为
=（3，0，1），从而得到直线DB1与平面A1C1D所成角θ满足sinθ=cos立方程组，解出
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11
＞= ，即得直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值． ＜ ，
本题给出底面为直角三角形的直三棱柱，求异面直线所成角和直线与平面所成角的正弦值，着重考查了利用空间坐标系求空间直线与平面所成角和异面直线所成角等知识点，属于中档题．
2
（1）抛物线C：y=2x的焦点F（ ，0），设直线l的方程为x=my+ ， 20.【答案】证明：
2
联立抛物线方程可得y-2my-1=0，
设A（ ，y1），B（ ，y2），则y1+y2=2m，y1y2=-1，
抛物线的准线方程为x=- ，可得P（- ，y1），Q（- ，y2），R（- ， =（1，-y1）， • 则 =（1，-y2），可得 =1+y1y2=1-1=0， 即PF⊥QF，以PQ为直径的圆恒过定点F； （2）设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2， 则k2= =-y2，
），
k1=
= =
= =-y2，
即k1=k2， 则AR∥FQ．
【解析】（1）求得抛物线的焦点F，设直线l的方程为x=my+ ，联立抛物线方程，设A（ ，y1），B（ ，y2），运用韦达定理，求得抛物线的准线方程，可得P，Q，R的
坐标，
， 求得 ，由向量垂直的条件，即可得证；
（2）设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，运用直线的斜率公式和两直线平行的条件，以及韦达定理，即可得证．
本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，注意运用向量的数量积的垂直性质，以及两直线平行的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐
AB、AA1所在直线分别为x、标原点，以AC、
y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，-2，2），
N分别为B1C、D1D的中点，又∵M、∴M（1，
，1），N（1，-2，1）．
=（0，0，1）是平面ABCD的由题可知：
=（0，-，0）， 一个法向量，
=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD； • ∵
=（2，0，0）， （Ⅱ）解：由（I）可知： =（1，-2，2）， =（0，1，2），
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12
=（x，y，z）是平面ACD1的法向量， 设
，得 ， 由
=（0，1，1）， 取z=1，得
=（x，y，z）是平面ACB1的法向量， 设
由 ，得 ，
=（0，-2，1）， 取z=1，得
= =-sin= ， ＞= ∵cos＜ ，∴＜，＞，
∴二面角D1-AC-B1的正弦值为
；
（Ⅲ）解：由题意可设 =λ ，其中λ [0，1]，
=（-1，λ+2，1）， ∴E=（0，λ，2），
=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量， 又∵
， ＞= ∴cos＜
= =，
2
整理，得λ+4λ-3=0，解得λ= -2或-2- （舍）， ∴线段A1E的长为 -2．
【解析】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面
的数量积为0，即得结论； ABCD的一个法向量与
（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；
的夹角的余弦值为，计（Ⅲ）通过设 =λ ，利用平面ABCD的一个法向量与 算即可．
2
，抛物线E：x=2y的焦点F为（0， ）， 22.【答案】解：（I）由题意可得e= =
22
即有b= ，a-c= ，
解得a=1，c= ，
22
可得椭圆的方程为x+4y=1；
2
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x0=2y0， 2
由y= x的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y-y0=x0（x-x0）， 可化为y=x0x-y0，代入椭圆方程，
222
可得（1+4x0）x-8x0y0x+4y0-1=0，
222222
△=64x0y0-4（1+4x0）（4y0-1）＞0，可得1+4x0＞4y0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2= ，即有中点D（ ，- ），
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直线OD的方程为y=- x，可令x=x0，可得y=- ．
即有点M在定直线y=- 上；
（ii）直线l的方程为y=x0x-y0，令x=0，可得G（0，-y0），
2
则S1= |FG|•|x0|= x0•（ +y0）= x0（1+x0）；
S2=|PM|•|x0- |=（y0+）•
=x0•
，
则 =
，
令=
1+2x0=t（t≥1），则 ==
2
=2+- =-（-）2+，
则当t=2，即x0= 时， 取得最大值 ，
此时点P的坐标为（ ， ）．
【解析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y=- ．进而得到定直线； （ii）由直线l的方程为y=x0x-y0，令x=0，可得G（0，-y0），运用三角形的面积公式，
2
可得S1= |FG|•|x0|= x0•（ +y0），S2= |PM|•|x0- |，化简整理，再1+2x0=t（t≥1），
整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．
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