周期函数练习题及答案

A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]D.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 上是增函数

2.（07安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为（ ）

B.1

3．fxf398xf2158xf3214x，则f0，f1，f2，…，f999中最多有（ ）个不同的值.

B.177

4. 设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)时，f(x)2x,则f(113.5)的值为(D) A. B. C. D. 5.（2005福建）

272715151，且当x3,2f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且

,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是D

A．2 B．3 C．4 D．5

6. 2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 7（2005重庆）若函数函数，且 A．

B．

，则使得 C．

是定义在R上的偶函数，在

的x的取值范围是（）

D．（－2，2）

上是减

8. （2005全国Ⅳ）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5）等于（） C.

9. （2007海南、宁夏）设函数

10. 函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数，且f02005，

gxfx1是奇函数，则f2005的值为 .

为奇函数，则( )

11. 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)

－f(4)＝________.

1

12. 已知函数f(x)满足：f(1)＝4，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 013)＝________.

1.分析：由f(x)f(2x)可知f(x)图象关于x1对称，即推论1的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于x0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右f(x)草图.故选B

TTTT2.分析：f(T)f(T)0，f()f()f(T)f()，

2222答案

TT∴f()f()0，则n可能为5

223. 分析：由已知

fxf398xf2158xf3214xfx1056

fx1760fx704fx352.

又有fxf398xf2158xf3214xfx1056

f21581056xf1102xf1102x1056f46x，

于是f(x)有周期352，于是f0,f1,,f999能在

f0,f1,,f351中找到.

又f(x)的图像关于直线x23对称，故这些值可以在f23,f24,中找到.又f(x)的图像关于直线x199对称，故这些值可以在

,f351f23,f24,,f199中找到.共有177个.选B.

11f(x6)f[(x3)3]f(x) f(x)f(x3)4. 解：f(x3)f(x)是以T6为周期的周期函数f（113.5）f（1865.5）f(5.5)f(60.5)f(0.5) 111f(30.5)f(2.5)55. 解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0. 又∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0. 又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0. ∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为5.

6. 解析：∵f（x+2）=-f（x）.∴f（6）=f（4+2）=-f（4）=f（2）=-f（2）. 又-f（x）为R上的奇函数，∴f（2）=0 ∴f（6）=0. 7. 解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.

又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减. ∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.

由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0. ∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.

8. 解：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=

f(1)f(12)f(1)f(2)f(1)f(2)

f(2)2f(1)211 2f(5)f(32)f(3)f(2)f(12)f(2)2f(2)f(1)5 29. 解析:∵f(x)=, ∴f (－x)=－

又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x). ∴

=

.∴x2(a1)xax2(a1)xa ∴a=－1.

10. 解：gxfx1gxfx1，fx1fx1，令

yx1，则fyfy2，即有fxfx20，令anfx，则

anan20，其中a02005，a10，an2005nnii，

2f2005a2005200520052005ii

20. 或有fxfx2，得

f2005f2003f2001f1999f10.

11. 解析 ∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，

∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案 －1

1

12. 法二 ∵f(1)＝4，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)， 1π∴构造符合题意的函数f(x)＝2cos 3x， 1π11

∴f(2 013)＝2cos3×2 013＝－2. 答案 －2

