第六章 无穷级数
学习目的和要求
学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件,几何级数、 p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法;掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数
级数，求出其收敛半径和收敛区域．
的幂级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幂
第一节 常数项级数
1．常数项级数的定义
设已给数列 则式子
或其简写 S。
叫做无穷级数,记前 无限增大时，若数列 具有有限的极限
则称无穷级数收敛,其极限值S称为级数的和,并记为
若
没有极限，就称无穷级数发散。
1
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例如：几何级数 则
当
无极限。
从而可得如下结论：若几何级数的公式比 时,则级数
收敛．若
，则此级数发散.
2．无穷级数的基本性质
(1） 若级数
（2) 设有两个收敛级数：
，则每一项乘以一个不为零的常数
2
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则级数
收敛于和
(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化．
（4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S．
要求读者了解上述基本性质的证明,并熟练运用上述诸性质．
（5）常数项级数收敛的必要条件：若级数 趋于无穷大时，它的一般项 必趋近于零．
因而若级数的一般项不趋于零,则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛．
例如：调和级数
其一般项 但它是发散的.
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（6）级数
称为
级数收敛。
3．正项级数收敛的判别法（要求读者能熟练使用下列判别法）
若级数的每一项均为正数(即 ）则称为正项级数,有如下收敛判别法:
(1）比较判别法 设有两个正项级数
也发散．
若级数
（2）比值判别法 设正项级数的后项与前项之比值的极限等于 ，
则当
<1时级数收敛，
>1时级数发散，
=1时待定．
4．莱布尼兹判别法
若交错级数满足条件:1) ，则交错级数 收敛,且其
和
的近似值时，误差
4
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5．绝对收敛和条件收敛
若级数 各项的绝对值所成的级数 收敛，则级数 收敛,并称这样的级数叫做绝对收敛级数．
如果级数 收敛，而它的各项取绝对值所成的级数发散，则称级数 为条件收敛级数。
第二节 幂 级 数
形为 的级数称为幂级数，而常数 叫做幂级数的系数.
1．幂级数的收敛半径
对幂级数，必有数R，使当 时幂级数绝对收敛，而当 时,幂级数发散，数R被称为收敛半径．
幂级数的收敛半径可如下求得：
设极限 是幂级数相邻两项的系数.
[例］ 求幂级数 的收敛半径．
解 因为
5
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则收敛半径
2．幂级数的运算
设已知两幂级数：
其收敛区间分别为
,则有如下运算法则:
（1)加法运算
内是
两个幂级数相加或相减后所得到的幂级数至少在原来两个收敛区间中较小的区间 收敛的，其和差依次为
．
(2）乘法运算
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在区间（ -R,R）内成立．
(3)微分运算
在幂级数收敛区间( —A,A)内任意一点x处,有
也就是说，幂级数在其收敛区间内可逐项微分，且收敛半径不变
（4)积分运算
在幂级数收敛区间(一A,A）内任意一点x处,有
也就是说，幂级数在其收敛区间内可以逐项积分,且收敛半径不变。
第三节 泰勒公式与泰勒级数
1．泰勒公式
如果函数
次多项式与一个余项
内具有直到 n+1阶的导数,则当 的和：
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可以表示为
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其中
之间的某个值．
若 取0，则泰勒公式变为麦克劳林公式：
2．泰勒级数
设函数 具有各阶导数 则称级数
为函数
的泰勒级数．若
的泰勒公式的余项
无限增大时极限为零，则上述
的泰勒
级数收敛于函数本身．
3。常用函数的麦克劳林展开式
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4．类似地，有上述函数的麦克劳林级数为
5．用间接法将一些简单函数展成幂级数
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[例］将数 的幂级数.
解 因 ，而
故得
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例1：
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例2：
例3:
例4：
11
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例5：
例6:
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根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；
例7：
13
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例8:
第一步,根据级数收敛必要性粗略观察是否有
若有,则得出级数
发散结论，否则进行下一步。
例9：判断交错级数
的敛散性，若收敛 ，指出是条件收敛还是绝对收敛.
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例10：
例11:
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例12:
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例13:
例14：
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单元测试
一、选择题
1、若已知级数 收敛,Sn 是它的前n项部分和，则它的和是(）
2、级数 收敛的充分必要条件是( )
3、 是级数 收敛的（）
A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件
4、级数 的和S=（）
5、若正项级数
发散，则一定有()
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6、若级数 发散，则 (）
7、下列级数中收敛的是 (
）
8、下列级数中收敛的是（
)
9、在下列级数中发散的是 （
）
10、在下列级数中发散的是 (
）
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11、下列级数中，发散的集数是 （
）
12、级数 满足何条件时，该级数必收敛（)
13、若级数 收敛,则必有下列何式成立 （ ）
14、在下面级数中，绝对收敛的级数是（
）
15、在下面级数中，绝对收敛的级数是（
）
20
16、幂级数 的收敛区间是(）
17、幂级数 的收敛区间是（）
18、 的收敛区间是（）
19、幂级数 的收敛区间是 ()
20、幂级数 的和函数是（）
21、 的和函数是（）
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22、幂级数 的和函数是（）
23、幂级数 ， 的和函数是（）
24、函数 在 x=1 处展成的泰勒级数是（）
二、计算题(一）
求幂级数 的收敛区间
解：由 得到收敛半径 R=1
当 时,级数成为 ,是发散的
当
时，级数成为 ,是发散的。
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因此，收敛区间为(—1,1)
三、计算题（二）
1、讨论级数
解： 为正项级数
故由比较判别法， 收敛、
2、判别级数 的敛散性。
解：令
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级数收敛
3、判断级数 的敛散性。
解：
交错级数 收敛
4、判断任意项级数 的敛散性,并指出是否绝对收敛。
解:考虑各项的绝对值,对正项级数
由比值审敛法
收敛
故原级数收敛且绝对收敛
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5、求幂函数 的收敛区间
解：
故收敛区间是
6、求级数 的收敛区间。
解：由
得收敛半径
当 时,它成为级数 ,发散；
当 时，它成为级数 ，收敛。
因此，收敛区间为
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7、将函数 展为 的幂级数
解：
收敛域为 即
因此
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