第３１卷 第２期 ２０１１年 ３月 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．３ｌ Ｎｏ．２ Ｍａｒ． ２Ｏｌｌ 文章编号：１００７—９８３１（２０１ １）０２—００１０—０２ 一类减算子的正不动点定理 李鹤，梁兰兰 （西北大学数学系，陕西西安７１０１２７） 所得结果改进和推广了某些已知相应结果 摘要：研究了范围广泛的凸幂凝聚算子的正不动点， 关键词：凸幂凝聚算子；减算子；不动点；正规锥 中图分类号：Ｏ１７７．９２ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ： １０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７－９８３１．２０１１．０２．００３ Ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｆｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ａｎ ｋｉｎｄ ｏｆ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ＬＩ Ｈｅ，ＬＩＡＮＧ Ｌａｎ—ｌａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１０１２７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｆｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ ｆｏｒ ａｎ ｋｉｎｄ ｏｆ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅｓｅ Ｎｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｌｄｓ．＂ｃｏｎｖｅｘ－ｐｏｗｅｒ ｃｏｎｄｅｎｓｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ；ｎｏｒｍａｌ ｃｏｎｅ １引言及预备知识 文献【１］中引入了比凝聚算子范围更广泛的凸幂凝聚算子，并给出了该算子在抽象半线性发展方程中的 应用．本文在文献［１］的基础上讨论了凸幂凝聚算子的某些性质，推广了文献［２】中的若干结论，并获得了２ 个有关减算子的正不动点定理． 定义１ｌｌ 设 是Ｂａｎａｃ＿ｈ空间，ＤｃＥ，Ａ：Ｄ Ｅ是连续有界算子，并且存在Ｘｏ∈Ｄ及正整数‰， 使得对任何非相对紧的有界集Ｓ ｃ Ｄ，都有ａ（Ａ（ （ ））＜ａ（Ｓ），则称算子Ａ是凸幂凝聚算子．其中： Ａ【１’ ’（ ）：Ａ（ ）；Ａ（ｎｏ，ｘｏ）（ ）＝Ａ（ｃｏｆＡ（ｎ０－ｌ，ｘ０）（ ），Ｘ０））（ ＝２，３，…）． 注１ 定义１中ｎ ＝１的情形就是凝聚算子．因此凸幂凝聚算子是比凝聚算子更广泛的算子类． 定义 设Ｅ是Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ是Ｅ中的非空闭集．如果满足（ｉ）Ｘ∈Ｐ， ≥０＝＝＞ ∈Ｐ；（ｉｉ） ∈Ｐ，一Ｘ∈Ｐ＝＝＞ ＝０．则称Ｐ是Ｅ的一个锥．若存在常数Ｎ＞０，使得对于０≤Ｘ Ｙ，有ｌＩｘ（１ ＮｌｌＹｌ｝，则 称Ｐ是正规的． 定义３ Ｄ， 设Ｄ是Ｂａｎａｃｈ空间 中的非空集合，算子Ａ：Ｄ 称为减算子，如果对于任意 ，Ｘ，∈ Ｘ２，有Ａｘ１≥Ａｘ２． 引理１设 是Ｂａｎａｃｈ空间，Ｄ是 中的非空有界集，Ａ：Ｄ Ｄ是凸幂凝聚算子且是ｌ一集压缩的， Ｂ：Ｄ Ｄ是凝聚算子，则ＡＢ：Ｄ Ｄ是凸幂凝聚算子． 证明 由于Ａ是凸幂凝聚算子，所以存在Ｘｏ∈Ｄ及正整数，ｚｎ，使得对任何非相对紧的有界集Ｓ ｃＤ， 都有ａ（Ａ ”而’（ ））＜ （ ）． 收稿日期：２０１０—１０—１７ 基金项目：陕西省教育厅专项基金项目（２００７ＪＫ４１３）；西北大学科学研究基金项目（０９Ａ２５） 作者简介：李鹤（１９８２一），男，甘肃定西人，在读硕士，从事非线性泛函分析及其应用研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｔ ｅ０４０９＠１２６．ｃ０ｍ 第２期 李鹤，等：…类减算子的正不动点定理 又由于 是凝聚算子，从而也是１一集压缩的，于是ｔｚ（（ＡＢ）‘ （ ））＝ （ （ｃｏ（（Ａ曰） ａ（Ｂ（ｃｏ｛（ＡＢ） 】’（ ）， ）））） ’（ ），－、｝）） （ｃｏ｛（Ａ ）‘ ＾ （ ），ｘｏ））＝口（ｆ（Ａ ）‘ 一 ， （ ）， 【ｌ｝）＝ （（ ）‘ 一 ’ （ ））≤… （（ＡＢ）ｕ （ ））：ａ（ＡＢ（Ｓ）） （ （ ））＜ａ（Ｓ） ．因此ＡＢ是凸幂凝聚算子． 证毕． 引理２…设Ｅ是Ｂａｎａｃｈ空间，Ｄ是 中的有界闭凸集，Ａ：Ｄ Ｄ是凸幂凝聚算子，则Ａ在Ｄ中至 少有一个不动点． 注２引理２是文献【５］中Ｓａｄｏｖｓｋｉｉ定理的推广． ２主要结果及证明 定理１ 没Ｐ是Ｂａｎａｃｈ空间 中的正规锥，Ａ：Ｐ Ｐ是凸幂凝聚算子且是ｌ一集压缩的，Ｂ：Ｐ Ｐ是 凝聚算子，并且Ａ， 都是减算子．若 （ｉ）Ｂｘ ａｘ（ｘ∈ ），ＡＢ＝ＢＡ； （ｉｉ）ＢＯ＞０，ＡＢＯ≥ＥｏＢＯ，其中： 则Ａ和 在［０，ＢＯ】中有唯一正不动点． ＞０；ＡＢ（［Ｏ，Ｂ ）是相对紧集； （ｉｉｉ）对任何０＜ ≤ＢＯ及０＜ｔ＜１，存在７７＝ｒｌ（ｘ，一ｔ）＞０，使得Ｂ（ｔｘ）≤【ｔ（１＋７７）ｒｌ Ａｘ． 证明由引理１可知，ＡＢ：Ｐ－－）．Ｐ是凸幂凝聚算子，并且显然是增算子．由于０＜ＢＯ， ＞０，所以 ＜Ｇ０ＢＯ，即０＜ ＢＯ．又由于Ｇ０ＢＯ ＡＢＯ，因此 ＜ ＢＯ≤ＡＢＯ．由于ＡＢ＝ＢＡ且 是减算子，故 ＡＢ（ＢＯ）＝Ｂ（ＡＢＯ） ＢＯ．又ＡＢ（［Ｏ， ］）是相对紧集，于是，ＡＢ在【 ，ＢＯ］中有最大不动点ｖ’和最小不动 点Ｕ ，且ｌｉａｒ ＝Ｕ ，ｌｉａｒ ＝ｖ’，其中 月—＇ｏ。 ｎ—｝∞ Ｕｏ：０，Ｕ ＝ＡＢｕ ；Ｐｏ：ＢＯ， ＝ＡＢｖ ｌ一（ｎ＝１，２，…） （１） 满足０：Ｕｎ≤ １≤…≤Ｕ ’ …≤ｖ１≤ｖ０＝ＢＯ． 因Ｕｌ＝ＡＢＯ≥ｇｏＢＯ＞０，故ｖ’≥Ｕ ＞０．由式（１）及ＡＢ＝ＢＡ可知，Ｕ ＝Ａｖ ，ｙ ：Ｂｕ ，从而 Ｕ＋＝ｌｉｒａ Ｕ ＝ｌｉｒａ Ａｖｎｌ＝Ａｖ ， ’＝ｌｉｒａ ｎ—：ｌｉｍ Ｂｕ ＝Ｂｕ ． 令ｔ０＝ｓｕｐ｛ｔ＞０１ Ｕ。≥ｔＶ’｝，贝０ Ｕ＋ ｔｏＶ’．由ｕ ≥“１ ｃｏＶｏ Ｇ０ｖ’及ｖ ≥ｕ ＞０可知， ０ ｔ０ １．若ｔ０＜ｌ， 则存在ｒｉｏ＞０，使得Ｂ（ｔｏＶ ）＜［ （１＋ｒ／ｏ） Ｂｖ ≤［ｔｏ（１＋７７ｏ）】 Ａｖ ： （１＋ｒ／ｏ） Ｕ。，故ｖ ＝Ｂｕ＋≤Ｂ（ｔ０ｖ。） ［ｔｏＯ＋ｒ／ｏ）］一Ｕ＋，即Ｕ ≥ｔｏ（１十７７ｏ）ｖ’，这与 的定义矛盾．因此ｔｏ＝１．从而Ｕ。＝ｖ’．令 ’＝Ｕ ＝ｖ ，则 ＞０，Ｘ’：Ａｘ’， ＝Ｂｘ’，即 ’是Ａ和 在［０，ＢＯ】中的不动点． 证明Ｘ 是唯一的．若另有 ＞０，满足 ：Ａ２：ＢＹ，则 也是ＡＢ在［０，ＢＯ】中的不动点．由１，。的最 大性和Ｕ。的最小性可知，Ｕ ’，’，从而五＝ ．因此Ａ和日在【０，ＢＯ］中有唯一正不动点． 证毕． 定理２设Ｐ是Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中的正规锥，Ａ：Ｐ Ｐ是凸幂凝聚算子，并且是减算子．若存在Ｘ０＞０， 使得Ｘｏ Ａ Ｘｏ Ａｘｏ，则Ａ至少有一个正不动点． 证明 序区间【 ， 】显然是闭凸集．因Ｐ正规，故【 ｏ，触ｏ】有界 卢．当 。≤ ≤Ａｘ。时，由于 Ａ：Ｐ Ｐ是减算子，因而 个正不动点。 参考文献： Ａ。Ｘ。≤Ａｘ≤Ａｘ０，因此Ａ映【 ，Ａ 】入 ， 】．于是，根据引理２可知， 证毕． Ａ在【Ｘ。，Ａｘ。】中具有不动点 ‘．由假定 ＞０可知， ＞０，从而 是Ａ的正不动点．因此Ａ至少有一 『ｌ１孙经先，张晓燕．凸幂凝聚算子的不动点定理及其对抽象半线性发展方程的应用【】Ｊ】．数学学报，２００５，４８（３）：４３９—４４６ 【２］郭大钧．关于减算子正不动点的存在唯一眭【Ｊ］．山东大学学报：自然科学版，１９８５，３（１）：１－８ 【３】孙经先．非线性泛函分析及其应用【Ｍ】．北京：科学出版社，２００８：７０－９０ 【４】张石生．不动点定理及其应用［Ｍ］．重庆：重庆出版社，１９８４：１９７—２３４ ｆ５１ Ｓａｄｏｖｓｋｉｉ Ｂ Ｎ．Ａ ｉｆｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［Ｊ］．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９６７（１）：１４０—１６０
