辅教导学· 数学通讯——２０１２年第ｌＯ期（上半月） ２７ 例３ 若 ，Ｙ∈Ｒ，且 ４ｘ‘一５ｘｙ十４ 一５， ． 记Ｓ— ＋ 。，求—ＳＬ十 １其中 ∈（ｏ，号），且ｓｉｎ ＝－詈＿的值· 又０∈Ｅｏ，２ｕ），故２０－－ ∈［一 ，４７ｃ— ），所 解 将等式４ｘ。一５ｘｙ＋４ｙ。一５配方得 以一１≤ｓｉｎ（２０— ）≤１， （２ｚ一手 ） ＋（华 ） ＝５． 因此，Ｓ 一 ５ Ｆ６４４０］一了１０３９．３９， ５ ６４ ４０ １０ 令２ｚ一手 一瓜础， ３，一 ｓｉｎ ∈ ａｒｉｎ Ｌ 一 ｊ一两’ ［ｏ＇２ 肌一丢（ 删＋ ｓｉｎ 所以 ＋ 一 ＋ 一詈． 可以看出，对于这类二元最值问题，只要已知 ４＂ｆＳ＂ｓｉｎ０等式可以化成两个一次式的平方和等于正常数的 ，／３９ 所以 形式，就可以考虑利用三角换元的方法利用三角 ｓ＝ 。＋ｙ。 函数的有界性来求解． ［丢（ 咖＋ ＋（ 参考文献： 丢（ｃ０Ｓ２ ＋ ＋ｓｉｎ０ｃｏｓ０） Ｅ１］ 王伯龙．一类二元最值问题的极坐标解法． 数学通讯（上半月），２０１２（４）． 一５ ． ６４＋５ 十 嚣 ｉｎ２ 一筹ｃ一 ｃ。ｏ ｓ２ ） （收稿日期：２０１２—０４—２３） 一百５ Ｌ ６４十 ４０ｓｉｎ（２０— ）］例谈数学解题中的正难则反策略 丁称兴 （江苏省溧水高级中学，２１１２ｏｏ） 数学解题一般总是从正面人手，这是我们的 集的思想，则可避免分类讨论． 习惯思维．有些数学问题，如果从正面人手直接求 解 设ａ的允许值的集合为全集Ｉ一｛口Ｉ口 解比较繁琐，难度较大，不妨打破思维常规，利用 ∈Ｒ，ｎ＞０），先求椭圆和线段ＡＢ有公共点时ｎ的 “正难则反”策略，转化为考虑问题的对立方面，往 取值范围． 往能绝处逢生，开拓解题思路，简化运算过程．本 易得线段ＡＢ的方程为ｙ— ＋１，Ｘ∈［１，３］， 文就几种具体转化方法来举例说明． ｒ ２ １．补集思想 由方程组ｊ 十ｙＺ一 ’得 ｚ一要 ｚ＋２ ＋１，ｚ 有些解析几何问题，从正面处理较难，常需要 【 —ｚ＋１ ‘ 分类讨论，运算量大．如果用补集的思想去考虑问 题的对立面，可以达到化繁为简的目的． ∈［１，３］，计算可得要≤口ｚ≤ ，Ｙ－ＮＮ ｎ＞ｏ，所 ２ 例１ 若椭圆 ＋Ｙ。＝ｎ。（口＞０）与连结两 以半≤。≤下，／ｇ５． 厶 点Ａ（１，２），Ｂ（３，４）的线段没有公共点，求实数口 故当椭圆与线段ＡＢ没有公共点时，实数ｎ的 的取值范围． 分析 若直接正面求解，需要分Ａ，Ｂ两点都 取值范围为（０，挲）Ｕ（ ，＋。。）． 在椭圆外或都在椭圆内两种情况考虑，若利用补 例２ 当是为何值时，直线Ｚ：３，一１一ｈ（ｚ一１） ２８ 数学通讯——２Ｏ１２年第ｌＯ期（上半月） ·辅教导学· 不能垂直平分抛物线Ｙ ＝＝＝ 的弦． 分析 弦被直线垂直平分，就是弦的两个端 点关于直线对称．“不能”的对立面是“能”，可先考 虑问题的对立面：ｋ为何值时，直线ｚ：Ｙ一１一ｋ（ｚ １）能垂直平分抛物线Ｙ ＝ｚ的弦？ 解析 若直线ｚ垂直平分抛物线 一 的弦 ＡＢ，设Ａ（ｘｌ，ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），则Ｙ｝＝Ｘｌ，Ｙｉ＝ ２， 两式相减得：（ １一ｙ２）（ ｌ＋ｙ２）一 ｌ—ｚ２，即 二 ： ｋ ｚｌ—Ｘｚ Ｙ１＋Ｙ２‘ 又设Ｍ（ｘ。， 。）是弦ＡＢ的中点，故Ｙ。＝ ±丝一一鱼 ２ ２‘ 又因为点Ｍ在直线ｚ上，所以 。一寺一÷． 由于点Ｍ在抛物线的内部，所以Ｙ ＜ 。，即 （一 ） ＜ 一ｉ１整理得 ＜０，分解因 式得 墨 二 ＜０，解得一２＜ｋ＜０因此，当ｋ∈（一。。，一２］Ｕ［Ｏ，＋。。）时，直 线ｚ：Ｙ一１一ｋ（ｘ一１）不能垂直平分抛物线Ｙ ： Ｘ的弦． ２．参数反串主元 矛盾的双方在一定的条件下可以互相转化， 对于含有参数的问题，在某些特定的条件下，若能 以“参数”反串“主元”，可以避繁就简，化难为易． 例３ 如果对于任意的ｔ∈（一１，１），函数 厂（ ）一Ｘ ＋（￡一４）ｘ＋４—２ｔ的值恒大于零，求自 变量ｚ的取值范围． 分析 由ｔ∈（一１，１），直接从二次函数的角 度分析需要对对称轴 一 分类讨论，转化为 求函数的最小值，此时情况复杂，计算繁琐．若以 参数ｔ为主元，则可将厂（ ）： ＋（￡一４）ｘ＋４— ２￡转化为关于￡的“一次”函数，快速得解． 解析 以参数ｔ为主元，对函数，（ ）进行整 理变形，可化为关于ｔ的“一次”函数ｇ（￡）一（ｚ一 ２）ｔ＋（ 一２） ，根据题设条件可知：对于任意的ｔ ∈（一１，１），函数ｇ（￡）一（ｚ一２）ｔ ４－（ｚ一２）。的值 恒大于零． 利用一次函数的单调性可知：｛ 墨 言。’ ｆ２一ｚ＋ｚ 一４ｘ＋４≥０， ｌ 一２＋ｚ２—４ ＋４≥０， 解得ｚ≤１或ｚ≥３． 练习 已知ｔ∈（一。。，１］，当函数，（ｚ）一 ｌｇ 一（１＋ ）ｌｇｘ一２一ｔ的值恒为正时，求实数ｚ 的取值范围． 答案：（１０００，＋ｏ。）． ３．反证法 通过条件、结论的“角色”转变，从结论或条件 的反面人手，逐步向条件靠拢以达到解决问题的 目的，这就是我们平时所用的“反证法”． 例４ 若ｚ，Ｙ，ｚ均为实数，且口一 。一２ｙ＋ 詈，厶 ｂ—Ｙ 一２ｚ＋詈，１） ｃ—ｚ。一２ｘ十詈．求证：Ｕ 口，ｂ， ｃ中至少有一个大于零． 分析 如果直接分情况证明口，ｂ，ｃ中至少有 个大于零，特别麻烦，甚至无从下手，不妨考虑 用反证法． 解析 假设口，ｂ，ｆ都不大于零，即口≤０，ｂ≤ ０，ｃ≤０，则有口＋ｂ＋ｃ≤０． 又因为 口＋ｂ＋ｆ一（ 一２ｙ＋詈）＋（厶 一２ｚ＋要）ｏ ＋（ ２—２ ＋ ） Ｏ ２ｘ＋１＋ 一２ ＋２＋ｚ。一２ｚ＋１＋ ３ （ｚ一１） ＋（ 一１） ＋（ 一１）。＋（Ｔｃ一３）， 因为耳一３＞０，且无论 ， ， 为何实数时都 有（ｚ一１） ＋（ 一１）。＋（ｚ一１） ≥０，所以口＋ｂ ＋ｃ＞０，这与口＋ｂ十ｆ≤０矛盾． 因此，假设不成立，即口，ｂ，ｃ中至少有一个大 于零． 运用反证法时，首先必须正确否定结论，明确 问题的反面，其次要注意矛盾的不可预测性，在推 理前不必要也不可能事先规定得出什么样的矛 盾，只需要进行步步有据的推理，矛盾一经出现， 证明即告结束． 通过以上的实例和分析，我们可以看到“正难 则反”策略确实是一种转化、解决问题的好策略， 它能开拓解题思路，打破思维定势，简化运算过 程，提高解题速度．但从具体的转化方法中我们可 以看到，要真正掌握好“正难则反”的解题策略必 须依托扎实的基础知识，在解题时要认真审题，能 根据题目的条件、结论正反分析确定一种合理的 解题策略，从而真正提高分析问题、解决问题的 能力． （收稿日期：２０１２—０６—０８）
