专题11 函数性质综合大题

专题11 函数性质综合大题

目录

【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数 .................................................................................................. 1 【题型二】“分式型”2：转化为“对勾” .............................................................................................................. 2 【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲” ............................................................................................................ 3 【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型 .................................................................................................. 4 【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型 .......................................................................................................... 5 【题型六】“分式型”6：判别式法 .......................................................................................................................... 5 【题型七】“分式型”7：中心对称求和型 .............................................................................................................. 6 【题型八】“分式型”8：保值函数 .......................................................................................................................... 6 【题型九】分式型结构不良型 .................................................................................................................................. 7 【题型十】含绝对值型 .............................................................................................................................................. 8 培优第一阶——基础过关练 ...................................................................................................................................... 8 培优第二阶——能力提升练 ...................................................................................................................................... 9 培优第三阶——培优拔尖练 .................................................................................................................................... 10

【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数

【典例分析】

kx3(常数kZ). x2(1)若k1，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;

(2)若该函数在区间[3,)上是严格减函数，且在[3,)上存在自变量，使得函数值为正，求整数k的值.

已知函数y

【提分秘籍】 基本规律 形如f(x)cxd axb型1.通过分离常数，可以得到平移后反比例函数，在连续区间内，具有单调性，大题可用定义法证明，小题可用分离变量为主证明。在前两种方法掌握的前提下，可以适当引入快速画图法。 2.反比例函数有对称中心，满足f(x)f(2ax)2b(其中（a，b）是对称中心， 可通过“左加右减上加下减”求得. 3.涉及到恒成立或者解不等式等问题，大多数可以转化为一元二次型求解。 【变式训练】 2x52，gxxax3． x1(1)若x0,，使得gxx6，求实数a的取值范围；

(2)若集合A{y|yf(x),x[0,2]}，对于xA都有gx0，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”

【典例分析】

x24xa 已知函数fx，g(x)xb，h(x)x22bx

x(1)当a2时，求函数yfxgx的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；

(2)当a3,4时，函数fx在区间1,m上的最大值为fm，试求实数m的取值范围； (3)若不等式hx1hx2gx1gx2对任意x1，x20,2（x1x2）恒成立，求实数b的取值范围.

【提分秘籍】 基本规律 cx2dxff(x)次型 axb1.当b=0时分母是ax型。很容易出对勾或者双曲函数，可以用单调性（大题用定义法证明单调性）或者均值不等式搞定最值。

2.当分母是ax-b型（b不为0），往往可以分离常数。对于理解力稍微好点的学生，还可以通过换元法（慎重，因为坐标系发生了变换）化简。程度差点的学生，可以换元化简后再还回去，也能达到分离常数的目的。 【变式训练】 已知函数yx单调递增．

t有如下性质：若常数t0，则该函数在0,t上单调递减，在t,上x4x212x3(1)已知fx，x0,1，利用上述性质，求函数fx的单调区间和值域；

2x1(2)对于（1）中的函数fx和函数gxx2a，x0,1，若对任意x10,1，总存在x20,1，使得gx2fx1成立，求实数a的值．

【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲”

【典例分析】

3mx21已知函数fx是奇函数，且f2.

2xn(1)求实数m,n的值；

(2)用函数单调性的定义证明：fx在0,上单调递增；

2(3)当x0时，解关于x的不等式：fxf2x3. 【提分秘籍】 基本规律 形如f(x)ax-（或bxb ax，a，b0）xf(x)ax-1.bx是奇函数，y轴两侧都是单调递增函数，y=ax是“渐近线”。如图一 f(x)2.baxx是奇函数，y轴两侧都是单调递减函数，y=ax是“渐近线”如图二

【变式训练】 xm110已知函数fx满足f23.

x(1)求fx的解析式，并判断其奇偶性；

(2)若对任意x5,，不等式fx3a0恒成立，求实数a的取值范围.

【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型

【典例分析】

已知函数fxaxb是定义在1,1上的奇函数，且2x112f. 25(1)求函数fx的解析式；

(2)判断函数fx在1,1上的单调性，并用定义证明；

11(3)解不等式：ftft0.

22 【提分秘籍】 基本规律 f(x)形如axbcx2dxf次型 1.当b=0时分子是ax型时，可以在x≠0时，同时除x，分母得到对勾或者双刀函数，为小题做积累。 2.当分子是ax-b时，也可以通过换元或者直接配凑，使得分母依旧是对勾或者双刀函数。 3.大题中单调性证明，依旧是定义法 【变式训练】 .已知函数f(x)xm1[1,1]f(1). 是定义在上的奇函数，且

nx212

(1)求m，n的值；

(2)判断f(x)在[1,1]上的单调性，并用定义证明；

(3)设g(x)kx52k，若对任意的x1[1,1]，总存在x2[0,1]，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围.

【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型

【典例分析】

ax2(a4)x2．已知f(x)．

1x2(1)若a=4时，求fx的值域；

5(2)函数g(x)x21f(x)，若函数h(x)g(x)的值域为[0,)，求a的取值范围．

2

【提分秘籍】 基本规律 1.分子与分母都有二次型的，最常见的，就是分子分母可以分离常数达到降幂目的，有时候换元也可以。 2.如果分母分子有线性关系，可以直接分离常数。这类题比较少。了解即可。 3.必要时可以用判别式法。 【变式训练】 x24x5求函数f(x)2的单调区间，并比较f()与

x4x4

2f2的大小． 

【题型六】“分式型”6：判别式法

【典例分析】

2x2x1已知函数f(x)2．

xx1(1)解不等式：f(x)1； (2)求函数f(x)的值域．

【变式训练】

x21．已知函数fx2．

x(1)求函数yfx的值域；

23(2)若不等式xfx1xkx在x1,2时恒成立，求实数k的最大值；

【题型七】“分式型”7：中心对称求和型

【典例分析】

x2已知函数fx．

1x211(1)求f2f，f3f的值；

231(2)求证：fxf的定值；

x1111(3)求2f1f2ff3ff2021ff2022f的

2320212022值．

【变式训练】

113x.(1)求f(2)+f的值；(2)求证：f(a)f是定值； 已知函数f(x)1xa21111(3)求2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f++f(2021)+f+f(2022)+f的值.

2320212022

【题型八】“分式型”8：保值函数

【典例分析】

若函数fx在定义域的某个区间m,n（mn）上的值域恰为km,kn（k0），则称函数

fx为m,n上的k倍域函数，m,n称函数fx的一个k倍域区间．已知函数

hxx2axb，且关于x的不等式hx0的解集为2,2．

(1)求实数a，b的值；

4xgx(2)若（x0,1），是否存在k（kN），使得函数gx为定义域内的某个

hx5区间m,n上的k倍域函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 基本规律 把函数h(x)存在区间m,n，使得函数h(x)为m,n上的k倍域函数，结合函数的单调性，

h(m)=km转化为h(n)=kn是解答的关键. 【变式训练】 对于定义域为I的函数f(x)，如果存在区间[m,n]I，使得f(x)在区间[m,n]上是单调函数.且函数yf(x),x[m,n]的值域是[m,n]，则称区间[m,n]是函数f(x)的一个“优美区间”

4(1)判断函数yx2(xR)和函数y3(x0)是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不

x要求证明）

(a2a)x1(2)如果[m,n]是函数f(x)(a0)的一个“优美区间”，求nm的最大值； 2ax2(3)如果函数g(x)xa在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.

【题型九】分式型结构不良型

【典例分析】

xb.

2x2a2①函数fxx2ax4在定义域b1,b1上为偶函数；

已知______，且函数gx①函数fxaxba0在[1,2]上的值域为2,4.

在①，①两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题. (1)判断gx的奇偶性，并证明你的结论；

(2)设hxx2c，对任意的x1R，总存在x22,2，使得gx1hx2成立，求实数c的取值范围.

【变式训练】

xb，x(1,1)，从下面三个条件中任选一个条件，求出a，b的值，并22xa解答后面的问题．（注：若选择多于一个，则按照第一个选择进行计分）

3①已知函数f(x)b，满足f(2x)f(x2)0；

xa2]上的值域为[1，4]； ①已知函数f(x)xab(a0,a1)在[1，①已知函数f(x)x2ax4，若f(x1)在定义域[b1,b1]上为偶函数． (1)判断g(x)在(1,1)上的单调性； (2)解不等式g(t1)g(2t)0．

已知函数g(x)

【题型十】含绝对值型

【典例分析】

32,2f1. 是定义在上的偶函数，且

5ax24（1）求a,b的值；

（2）判断函数fx在区间0,2上的单调性，并证明；

已知函数fx3xb2（3）解不等式fm1f2m2. 【提分秘籍】 基本规律 含绝对值型，以分类讨论为主要解题思想。 【变式训练】 已知函数f(x)ax1x

（1）写出函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)2x在(1,)恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数yf(x)在[m,n]上值域是[m,n](mn)，求实数a的取值范围．

分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

x 1x2(1)判断fx的奇偶性；

1.已知函数fx(2)若当x1,2时，fxm恒成立，求实数m的取值范围.

xb12．已知函数fx2，函数fx为R上的奇函数，且f1.

xa2(1)求fx的解析式：

(2)判断fx在区间1,1上的单调性，并用定义给予证明：

2(3)若fx的定义域为1,1时，求关于x的不等式fx1f2x0的解集.

x3．已知fx.

2x1(1)若函数yhx是偶函数，且当x0时，hxfx，当x0时，求hx的表达式；

1(2)证明：函数yfx在区间,上是严格增函数.

2

12x24．已知函数f(x).

1x2(1)判断f(x)的奇偶性，并证明；

(2)证明：f(x)在区间(0,)上单调递减.

4x15．已知定义在R上的函数fxxx.

2(1)求证：fx是奇函数； (2)求证：fx在R上单调递增；

2(3)求不等式f2xf3x40的解集.

培优第二阶——能力提升练

1.已知函数fxaxb是定义在1,1上的奇函数，且x2112f． 25(1)求函数fx的解析式；

(2)判断函数fx在1,1上的单调性．

11(3)解关于t的不等式：ftft0．

22

2x14a2.已知函数fx（xR且x2a）．

2ax1(1)当fx的定义域为2a,时，求函数fx的值域；

22(2)设函数gxx2axfx，求gx的最小值．

3.已知函数f(x)2x． x1(1)用定义证明函数f(x)在区间(1,)上单调递增；

(2)对任意x[2,4]都有f(x)m成立，求实数m的取值范围．

4.已知函数f(x)xb1(x[1,1])是奇函数，g(x)x2(a2)x1是偶函数. 2x1(1)求ab.

(2)判断函数f(x)在[1,1]上的单调性并说明理由，再求函数f(x)在[1,1]上的最值. (3)若函数f(x)满足不等式f(t1)f(2t)0，求出t的范围.

培优第三阶——培优拔尖练

ax211.已知函数f(x)是奇函数，且f12．

xb(1)求f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；

xx1(3)若x1，x2(1,)，且x1x2．求证f(12)[f(x1)f(x2)]．

22

x212.已知函数fx是其定义域内的奇函数，且f12，

axb(1)求fx的表达式；

xFx(x0)，求(2)设

fxF1F2F311F2021FF231F的值．

2021

2x3.已知定义在R上的函数fxxaxaR为偶函数.

41(1)求a的值；

(2)判断fx在R上的单调性（不用证明）；

2(3)已知函数gxx2xm，x1,4，若对x1R，总有x21,4，使得fx1gx2成立，试求实数m的取值范围.

ax2xa2. 4.设fxxax1，gxx2(1)若fx在区间1,2上是单调函数，求a的取值范围；

1(2)若存在x11,2，使得对任意的x2,1，都有fx1gx2成立，求实数a的取值范围.

2