一、填空题（本大题共 1. 已知集合 A (
12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
,3) ， B (2,
1 z 5
i
) ，则 A B
。
2. 已知 z C ，且满足 3.
，求 z 。
。 。
4. 已知向量 a (1,0,2) ，b (2,1,0) ，则 a 与b 的夹角为
5 2
5. 已知二项式 (2x 1) ，则展开式中含 x 项的系数为
x 0
6. 已知 x 、 y满足 y 0
，求 z 2x 3y 的最小值为
。
x y 2
7. 已知函数 f (x) 周期为 1，且当 0 x 1， f (x) log2 x，则 f ( )
3
。
2
1 y
的最大值为 8. 若 x, y R ，且 2y 3
x ，则 x
S ，且满足 S 9. 已知数列 { a } 前n 项和为
n
n
n
。
a
n
2，则 S
5
。
2
10. 过曲线
y
2 4
x的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与曲线 y
上
4
x 交于 A、B ，A在 B
方， M 为抛物线上一点， OM 11. 某三位数密码，每位数字可在 两位数字相同的概率是
OA ( 2)OB ，则 。
0 9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有
。
*
a （ n N ），若 P (n, a ) (n 3) 均在双曲线 x n 1
n n 6
2
2
12. 已知数列 { a } 满足 a
n
n
y 2
1
上，
则 lim | PnPn 1 |
n
。
13. 已知 f (x) |
2 x 1
（ x 1， a 0）， f (x) 与 x 轴交点为 A，若对于 f (x) 图像 a |
上任意一点 P，在其图像上总存在另一点 Q （ P、Q 异于 A），满足 AP AQ ，且
| AP | | AQ |，则 a
。
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
） D. (1,2)
14. 已知直线方程 2x y c 0 的一个方向向量 d 可以是（
A. (2, 1)
B. (2,1)
C. ( 1,2)
15. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为（
A. 1
B. 2
）
1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得
C. 4 D. 8
2019.6.8 已知
R ，函数
则 的值可能为（
A.
2
f ( x) ( x 6) sin( x) ，存在常数 a R ，使得 f (x a) 为偶函数，
） B.
C.
D.
2 3 tan
tan(
4
) ，有下列两个结论：①
） C. ①对②错
5
存在 在第一象限，
在第三象
2019.6.9 已知 tan
A. ①②均正确
限；② 存在 在第二象限， 在第四象限；则（
B. ①②均错误 D. ①错②对
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
2019.6.10 如
ABCD ABC D 中， M 为 BB 上一点，已知 BM
1
2 ，CD 3，
1 1 1 1
图，在长方体
AA1 AD 4， 5 .
（1）求直线 AC 与平面 ABCD 的夹角；
1
（2）求点 A 到平面 A MC 的距离 .
1
2019.6.11 已知
f (x) ax
1
， a R .
x 1
（1）当 a 1时，求不等式 f (x) 1
f (x 1) 的解集；
（2）若 f (x) 在 x [1,2] 时有零点，求 a 的取值范围 .
2019.6.12 如图， A
BDC
（1）求 BC 的长度；
B C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧， BD 39.2km，
22 ， CBD 68 ， BDA 58 .
（2）若 AB 40 km，求 D 到海岸线 A B C 的最短距离 . （精确到 0.001km）
2
2019.6.13x 已知椭圆 8
2
y 4
1 ， F1 、 F 为左、右焦点，直线 l 过 F 交椭圆于 A、B 两点.
2
2
（1）若直线 l 垂直于 x 轴，求 | AB |；
（2）当 F1 AB 90 时，A 在 x 轴上方时，求 A、B 的坐标；
（3）若直线 AF 交 y 轴于 M ，直线 BF 交 y 轴于 N，是否存在直线 l，使得 S
1
1
F AB
1
S
F MN
1
，
若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由 .
2019.6.14 数列 {a } (n
有 100 项，
n
k
*
N )
a
1
a ，对任意 n [2,100] ，存在 a
n
a d ，
i
i [1,n 1]，若 a 与前 n 项中某一项相等，则称 a 具有性质 P.
k
（1）若 a1 1， d 2，求 a 所有可能的值；
4
（2）若 { a } 不是等差数列，求证：数列
n
{a } 中存在某些项具有性质 P；
n
（3）若 { a } 中恰有三项具有性质 P，这三项和为 c，请用 a、d、c 表示 a
n
1
a
2
a .
100
参考答案
一、填空题 1、 (2,3)
6、 1 8、
2 2、5 i 4、 40 5、 6 5 arccos
9 1 1 y 3 9 2 ） 7、 （提示： 3 2y 2 2y ，∴ 8 x ( x x )
2 2 8
31 9、 16 3
3、
2 10
1 3 3
1
27
（分析： 10、
C C C
2
27
，选用到的两个数字× 选用一次的数字的位置×
100
P
10
100
选用一次的数字）
2 3
（解析：法一，由条件有 11、
2
2
3
n
a
n
1 ，得
a
n
2
6
，则
n 3
2
8 2
2n 1
2
2
2
2
2
n 1
| P P |
n n 1
6 n 6
，所以
n 1 1
6 3
2
n 6 2
3
1
3
lim | P P |
n n 1
n
1 2 3 1+ = ；）
3
3
时， P P 与渐近线平行， P P 在 x 轴投影为 1，渐近
n n 1
n n 1
（解析：法二（极限法） ，当 n
线斜角 满足： tan
3 ，∴ 1 3 lim | P P |
n n
n
1 2 3
）
3
cos
6
12、a 则：
2 2 1 ，取 P 1 ， 2（分析： f (x) | ，解得 x 1 A ，则 1 ,0 ,a a |=0 a a a x 1
2
AP
1 ，因为 A、P、Q 满足 AP
,a a 2
AQ ，且 | AP |
1 ， | AQ |，则 AQ a , a
所以
1 2 ，Q 点在 图像上，则
Q 1 a, f (x) | a |
a a x 1
2 2
a
1 ，得 a
1 a 1 a
2a |
2
a |
1 2a ， a
2
a
1 2 1 2 2 ，
a a 2 a
0
2
2
， a
，所以 a 2 ）
a 2 a
二. 选择题 13、D
14.、B
2
15、C（分析： f (x a) ( x a 6) sin[ ( x a)] ，因为 f (x a)为偶函数，所以 a 6 ，
且 sin[ (x 6)] 也为偶函数，所以 6 k ，当 k 1时，
）
2
16、D（分析：特殊值验证，取 验证，① 错）
4
1
2 ，所以② 正确，再取几组
tan 1，则 tan
三、解答题
；（2）10
17、（1） .
4
3
【解析】（1）连接 AC， AA
1
面ABCD ，则 ACA 即为直线 AC 与平面 ABCD 的夹角。
1
1
在 Rt ACA 中， AA1
1
AC 5，则 ACA
1
；
4
1
d S
A MC
AA M
（2）法一，等体积法： V
C AA M
1
1
V ，
BC S A A MC
1
3
1
3
1
有条件易得：
1
AA1M
BC 4,S
2
2
15
3 5 , AM 3 2, AC 5 2, MC 2 5
1
1
2
2
2
∴ cos CA M
1
3 2 5 2 2 5 4 5
sin CAM
1
，
3
5
2 3 2 5 2
∴
S
A1MC
1
= AM AC sin CAM
1
1
1
1
3 2 5 2 2
3
9 5
z
∴
2
15
9 2
10
。
d 4
3
A xyz，
法二，建立空间直角坐标系
A1 A A1M
设 n
0,0,5 ,M 3,0,2 , A1 0,0,5 ,C 3,4,0 3,0, 3 , A1C x, y,z
1
3.4, 5
面AMC ，则
y
AM n 0 3x 3z 0
1 ，得
3x 4y 5z 0 0 AC n
1
x
x 1
1 ， n 令 x 1，则 y 2 z 1
所以 d
1 1, ,1 2
n AA
1
n
5
1 1 1 4
10 。 3
1 1
18、（1） x ( 2, 1) ；（2）
a [ , ] .
2 6
1
【解析】（1）当 a 1时， f (x) x
，则 f (x) 1
f (x 1) 得：
x 1
1 1
，化简：
1 x x 1 x 1 x 2
x 1 x 2
（2）由条件知，对x [1,2] ， ( ) 1 0
f x ax 有解；
1
0，解得 x ( 2, 1)；
1 在 x [1,2] 时 a
x(x 1)
有零点，则
1
在 x [1,2] 单调递增，则
x(x 1)
x 1 1 x(x 1)
1 1 。
, 2 6
19、（1） BC 16.310 km；（2）35.752km. 【解析】（1）∠ BCD=18°0 -22°-68°=90°，则：
BC
2
R BC 2 2 2
2
BD sin 22 4
16.310 km；
（2）作 DH⊥AB 于点 H，在 △ABD 中，
BD sin BAD AB ，即 39.2 40
sin BAD sin58 sin BDA
ABD 180 58
36.346 km
56.21058 35.752km
65.78942
∴
BAD 56.21058 ，则
∴ DH BD sin ABD 39.2 sin65.78942
BD sin68
由（ 1）知： DC
所以 D 到海岸线 A B C 的最短距离为35.752 km。
2019.6.15（1） 2
（2） A(0,2) ，
【解析】（1） AB
2 ；
2
8 2
B( , ) ；（3） x 3 3
3y 2 0 .
2b a 2 4 2 2
2 2
0
1
1
2
2
（2）由条件有： F1 ( 2,0), F2 (2,0) ，设直线方程： y k(x 2) 。 A(x , y ), B(x , y )， y1 当 F1 AB 90 时， F1 A F2 A 0，得： x1
2
2
2, y1
2
2
x1 2, y1 0 ，化简：
x1 y1 4⋯ ⋯ ① ，因为A在椭圆上，所以
x
1
x
1
y
1
1
⋯ ⋯
②
8
联立① 、② 式，解得：
4
0 2
，即 A(0,2) ，
y
1
所以，直线方程为：
y 2 x
得：
2
y 2 x
联立
2
2
x 8
y 4
3x 8x 0 ，则 x
2
8 3
2
2
， y
1
8 2 ，即 B , 。
3 3
3
（3）直线 F A方程：
y 1
y
1
x
( 2) x 2
1
2y
1 ，则与 y轴交点为： M 0,
x 2
1
2y 2 同理， N 0, ，则 x 2
2
1
S
F MN
1
2y
2 MN
1
2y
8
2
k(x x )
1
2
2 1
S
F1AB
x 2 x
1
2
2 x x
1 2
2(x
1
x ) 4
2
F F
1
2
y
1
y
2
2 k x
1
x
2
2
由 S
F AB
1
S
F MN
1
得：
k(x x )
1
2
8 x x
1 2
2(x
1
x ) 4
2
x 2 k x 1 2
所以得： x1 x2 所以 x1 x2
2( x1 x2 ) 4 4
2( x1 x2 ) 0或
8
y k(x 2)
2 2 2 2
2 2 联立 xy得： 2k 1 x 8k x 8k 8 0，则：
1
8 4
2
8k x
2
2
1
x
∴
，
2
8k
1 2
2
8 1
2
2
x x
2k
2
2k
1
8k x )
2
2
8 16k
2
24k
2
8 1
x x
1 2
2(x
1
2k
2
若 24k
2
8 0 ，解得 k
2k
2
若 24k
2
1 8 1
1 2k 3 3
1 2k
，解得 k 0 （舍） 8
2k
综上，存在满足条件的直线：
y
3
(x 2) ，即 x 3
3y 2 0 。
21、（1）3、5、7；（2）见解析；（3）
2
98a 4753d c .
3
d 1 2 3 ，
【解析】（1） a1
a3 a4 a4 ∴ a4
a1 a1 a3
1，d 2，a2 a1
a2 a2
d 1 2 3或 a3 d 1 2 3或 a4 d 5 2 7 3、5 或 7。
d 3 2 5 d 3 2 5 或 a4
a3
d 3 2 5 或
（2）证明：假设数列 { a } 中不存在某些项具有性质
n
P，即 { a } 中的项互不相等。
n
∵ a
1
a ， a
n
a
i
d ， i 1,n 1
a 3d ，⋯ ⋯ ， a100
a
∴ a
1
a d ，
a2 a 2d ， a3 99d
所以， {a } 为等差数列，与条件矛盾。假设不成立
n
综上，数列 { a } 中存在某些项具有性质 P。
n
（3）由题意，可设具有性质 P 的三项为：
c
a
m
1
a
m
a
m
2
a (m 1)d ， 3
a
m
a
m 1
a
m 2
c 。
例如： a,a d,a d,a d,a 2d, ,a 97d 满足条件。 所以 a 与其他 97 项组成等差数列，首 为相
m
a ，公差为 d 。则：
a
1
a
2
a
100
=a (a d) =a (a d)
a (m 2)d a (m 2)d
2
c 3
3 a (m 1)d a (m 1)d
a md a md
a 97d
a 97d +2 a (m 1)d
=a (a d) a 97d
98 97 2 98a d c
2 3
2 98a 4753d c 3
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