山西省祁县中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

数学试卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项符

合题目要求。）

1.不等式x2y60表示的平面区域在直线x2y60的 （ ） A. 右下方 B. 右上方 C. 左上方 D.左下方 2.如果ab0，那么下面不等式一定成立的是 （ ）

A．ab0

B．acbc

C．

12a1b D．ab2

3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S36,a30，则公差d等于（ ） A．1

B．1

C．2

D．2

4. 数列1，3，6，10，„的一个通项公式是（ ） A．a22

n(n1)nn=n-(n-1) B．an=n-1 C．an=2 D．a(n1)n=2 5.下列结论正确的是 （ ） A．当x0且x1时，lgx1lgx2 B．2x2x2 C．当x2时，x1x的最小值2 D．当x0时，sinx1sinx2 6. 在△ABC中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=（ ）

A.

15 B.59 C.53 D.1 7. 如果a、xx1、x2、b成等差数列，a、y1、y2、b成等比数列，那么

1x2aby等于（ ） A 1y2abbaababab C ab D ab 8.在ABC中，a,b,c是角A，B，C的对边，若a,b,c成等比数列，A450，则

bsinBc（ ）A．

132 B．

32 C．

22 D．

4 1

B

9.已知ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为

A．9

B．12

C．15

3，则这个三角形的周长是 （ ） 2D．18

10. 若数列{an}中,a1=3,an+an-1=4(n≥2),则a2015的值为（ ） A.1

B.2

C.3

D.4

ππ11. 设α∈（0，2），β∈（0，2），那么2α－3的范围是（ ）

5ππ5ππA.（0，6） B.（－6，6） C.（0，π）D.（－6，π）

12. 函数f(x)=a+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,则错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。的最小值是( ) A.12

B.13

C.24

D.25

x-1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本题共4小题；每小题5分，共20分。请将正确答案填入答题卡中对应的位置） 13. 在ABC中，若a:b:c1:2:6，则最大角的余弦值等于 .

x214.已知x、y满足y2，则zx2y的最大值为 .

xy215.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若3acosBbcosA2csinC，ab4，且

ABC的面积的最大值为3，则此时ABC的形状为 . 16. 等差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0 ②S9一定小于S6

③a7是各项中最大的一项 ④S7一定是Sn中的最大值 其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

1若不等式ax25x20的解集是xx2，

2求不等式ax25xa210的解集. 18.（本小题满分12分）

已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

2

(2)若S5a1a9，求a1的取值范围. 19.（本小题满分12分）

在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且满足(1)求角B的大小；

(2)若ABC最大边的边长为14，且sinA2sinC，求最小边长. 20.（本小题满分12分）

某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m，最大装水量为72m，池底和池壁的造价分别为2a元/m、a元/m，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？ 21.（本小题满分12分）

设数列an的前n项和为Sn2an2n，（1）求a1，a2； （2）设cnan12an，证明：数列cn是等比数列；

223acba. abc（3）求数列

n1

的前n项和为Tn． 2cn

22.（本大题满分12分）

ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知：a,b,c成等比数列 (1) 求角B的取值范围；（2）

是否存在实数m，使得不等式

1(x3sin2B)2x2msin(B)对任意的实数x及满足已知条件的所有角B都成立？

48若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

2 3

高一年级第二学期期末考试数学答案

一．选择题：

1---5：ADCCB 6---10：BACCC 11---12：DD 二．填空题：

13．-1/4 14．6

15．等腰三角形 16．①②④

三．解答题

17.（本小题满分10分） 解析：由已知条件可知a0，且1,2是方程ax225x20的两个根，„„3分

由根与系数的关系得55a2，解得a2 „5分 2a1

所以ax25xa210变为2x25x30 „„.7分

2x1x30 3x12 即不等式ax25xa210的解集是1x|3x2„„10分

18.（本小题满分12分）

解析：（1）因为数列an的公差d1，且1,a1,a3成等比数列，

所以a211(a12)，即a21a120，解得a11,或a12„„6分 （2）因为数列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a218a1„„9分 即a213a1100，解得5a12„„12分 19.（本小题满分12分） 解析：（1）由

acabbac整理得：(ac)c(ba)(ab)，„„1分 2即acc2b2a2,cosBac2b22acac2ac12„„4分 0B,B23„„6分 （2）B23 最长边为b14，sinA2sinCa2c„„8分 c为最小边，„„9分

由余弦定理得(14)24c2c222cc(122)，解得c2„„11分

4

c2，即最小边长为2„„12分

20.（本小题满分12分）

解析：设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z,

由最大装水量知8xy72，y9 x z18aa16x144 x0 „„„„6分 x 18a2a16x14418a96a114a x当且仅当16x1449即x3,y3时，总造价最低，zmin114a xx答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元。 „„„12分

21. （本小题满分12分）

解析：（1）由已知：a1S12a12,a12,„„1分 又a1a2S22a222,a26.„„2分 （2）Sn2an2n,Sn12an12n1

两式相减得：an1Sn1Sn2an12an2n„„4分

an12an2n,即cn2n

cn12n1，又c120„„6分 n2（常数）

cn2cn是首项为2，公比为2的等比数列，cn2n„„7分

23n122232n1（3）„„8分

123nn1Tn34n1n222222Tn11(1)n112111n1123n12Tn234n1n2n21222222221两式相减得：

231n1n1n2422

„10分

5

Tn31n13n3nn1n1.„„12分 22222222．解：(1) 由已知：a,b,c成等比数列，得bac

a2c2b22acb2在ABC中，由余弦定理：cosB

2ac2ac 2acac1，当且仅当ac时，“=”成立，„„„„3分

2ac2又∵B(0,)，∴角B的取值范围为0,2 „„„„5分 32（2）由题(x32sinBcosB)xm(sinBcosB)角B恒成立 令tsinBcosB1对任意的实数x及满足已知条件的所有82sin(B4)

∵B0,27sin(B),1 ，∴ ，∴B,4244123∴t1,2且2sinBcosBt1 „„„„7分 ∴由已知(xt2)(xmt)22222221对任意实数x及所有t1,2上恒成立， 8222方法一：而(xt2)(xmt)(xt2)(xmt)

(xt22xmt)2(t22mt)2 恒成立，

22t2mt2 仅当xt2xmt，即存在x使“=”成立，

22(t22mt)21在t1,2上恒成立 „„„„9分 ∴只要

28∴2t2mt50或2t2mt30

2253或mt关于t1,2上恒成立， 2t2t557令g(t)t在t1,2为减函数，∴g(t)g(1)1

2t22即mt令(t)t33326，当且仅当t，即t2t2t231,2时，“=”成立 2 6

∴m7或m6满足条件 27∴存在满足条件的实数m，取值范围为,62,„12分

方法二：x22(t22)x(t22)2x22mtxm2t218 即2x22(t22)2mtx(t22)2m2t2180对任意的实数x恒成立

∴2(t22)2mt28(t22)2m2t2180恒成立

即：4(t22)2mt21∴2t22mt50或2t22mt30 „„„„9分

以下同方法一

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