考研数学高数真题分类—多元函数微分学

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数微分学知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。

第六章多元函数微分学

综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.

本章的主要知识点有：二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们，考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.

本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.方向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平面，6.空间曲面的切平面与法线.

常考题型一：连续、偏导数与全微分

1．【1994-1 3分】二元函数f(x,y)在点x0,y0处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的（）

A充分条件而非必要条件B必要条件而非充分条件 C充分必要条件D既非充分条件又非必要条件

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

xy，(x,y)(0,0)222．【1997-1 3分】二元函数f(x,y)xy，在点(0,0)处（）

0，(x,y)(0,0)A连续，偏导数存在B连续，偏导数不存在 C不连续，偏导数存在D不连续，偏导数不存在

3．【2002-1 3分】考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质，正确的是（） ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续 ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在

A②③①B③②①C③④①D③①④

4．【2003-3 4分】设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

ACf(x0,y)在yy0处的导数等于零. Bf(x0,y)在yy0处的导数大于零. f(x0,y)在yy0处的导数小于零. Df(x0,y)在yy0处的导数不存在.

5．【2007-1 4分】二元函数f(x,y)在点0,0处可微的一个充分条件是（）

A(x,ylimf(x,y)f(0,0)0.

)0,0Blimx0f(x,0)f(0,0)f(0,y)f(0,0)0,且lim0.

y0xyC(x,ylim)0,0f(x,y)f(0,0)xy220.

f(x,0)f(0,0)0,且limf(0,y)f(0,0)0. Dlimxxyyx0y06．【2008-3 4分】已知f(x,y)ex2y4，则

ACfx(0,0)，fy(0,0)都存在Bfx(0,0)不存在，fy(0,0)存在 fx(0,0)不存在，fy(0,0)不存在Dfx(0,0)，fy(0,0)都不存在

7．【2012-1 4分】如果f(x,y)在0,0处连续，那么下列命题正确的是（） __________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

（A）若极限limx0y0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微

xyf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 22xyf(x,y)存在

xyf(x,y)存在 22xy（B）若极限limx0y0（C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx0y0（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx0y08．【2012-2 4分】设函数f(x,y)可微，且对任意x,y都有f(x,y)0，f(x,y)0，

xy则使得f(x1,y1)f(x2,y2)成立的一个充分条件是

(A) x1x2,y1y2(B)x1x2,y1y2 (C)x1x2,y1y2(D)x1x2,y1y2

9.【2012-3 4分】连续函数zf(x,y)满足limx0y1f(x,y)2xy2x(y1)220，则

dz(0,1)________。

【小结】：1、二元函数在x0,y0处连续当且仅当函数值等于极限值，这里的极限指二重极限，也即limf(x,y)fx0,y0.

xx0yy02、二元函数在x0,y0处的偏导数fx'x0,y0就是一元函数fx,y0在xx0处的导数，它存在当且仅当极限limxx0f(x,y0)fx0,y0存在.注意，与连续性不同的是：这里的

xx0极限过程是一元函数的极限.

3、判断函数在某一点x0,y0是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数

fxx0,y0,fyx0,y0.如果二者至少有一个不存在，则不可微.如果两个偏导数都存在，则

计算极限

x,y(0,0)limzfxx0,y0xfyx0,y0yxy22，如果该极限不存在或不等于0则

不可微，如果该极限等于0则可微.

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

4、多元函数各种概念之间的关系与一元函数有所区别，具体来说：在多元函数中，偏导数存在不一定可导，偏导数存在也不一定连续，但可微则一定是连续并且存在偏导数.

常考题型二：偏导数的计算

1．链式法则的运用

10．【2000-3 3分】设zfxy,xzyg，其中均可微，则 f,gyxx11．【2004-3 4分】设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]xg(y)确定，其中函数

2fg(y)可微，且g(y)0，则.

uv12．【2005-3 4分】设二元函数zxexy(x1)ln(1y)，则dz13．【2014-2 4分】设zz(x,y)是由方程e2yzxy2z14．【2006-3 4分】设函数f(u)可微,且f0的全微分dz1,2.

15．【2009-3 4分】设z(xey)x，则

(1,0).

7确定的函数，则dz|(1,1)．

2241,则zf4x2y2在点(1,2)处2z x(1,0)yx16．【1998-3 5分】设zxy22earctan2z，求dz与.

xy2u1x17．【1994-1 3分】设uesin，则在点(2,)处的值为

xyyx2z118．【1998-1 3分】设zf(xy)y(xy),f、具有二阶导数，则

xxy19．【2007-1 4分】设f(u,v)是二元可微函数，zf(xy,yx)，则

z __________. x2z20．【2009-1 4分】设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则.

xy21．【2011-1 4分】设函数Fx,yxy0sint2Fdt，则21t2x___________.

x0y2__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

22．【2007-3 4分】设f(u,v)是二元可微函数，zf__________

23．【2008-2 4分】设zzzyx ,，则xyxyxyzy，则xxyxy(1,2)

24．【2012-2 4分】设zflnx1,其中函数f(u)可微，则

xzz_______。

y2xy2z25．【1992-1 5分】设zf(esiny,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求

xyx2226．【2000-1 5分】设zf(xy,)g()，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二

xyyx2z阶连续导数，求.

xy27.【2001-1 6

分】设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微，且

f(1,1)1,d3dfdf2,3,(x)f(x,f(x,x))，求(x)

dxdx(1,1)dy(1,1)x128．【2004-2 10分】设zf(x2y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求

zz2z. ,,xyxy29．【2009-2 10分】设zfxy,xy,xy，其中f具有2阶连续偏导数，求dz2z与 xy30．【1997-3 5分】设ufx,y,z有连续偏导数，yyx和zzx分别由方程exyy0和ezxz0所确定，求

31．【2013-2 4分】设zdu. dxxzzy（） f(xy)，其中函数f可微，则

yxyx__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

（A）2yf(xy)（B）2yf(xy)（C）

22f(xy)（D）f(xy) xxxyxy32．【2005-1 4分】设函数u(x,y)(xy)(xy)(t)dt, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（）

2u2u2u2u2u2u2u2u2. 2DA22B22Cxyxxyyxyxy33．【2007-3 4分】设f(u,v)是二元可微函数，zf___ .

34.【2011-3 4分】设函数z1zzyx则xy ,，

xyxyx，则dzyxy1,1x.

35．【1996-3 6分】设函数zfu，方程uuptdt，其中u是x,y的函

y数，fu,u可微，pt,'t连续，且'u1.求pyzzpx. xy36．【2001-3 5分】设ufx,y,z有连续的一阶偏导数，又函数yyx及

zzx分别由下列两式确定：exyxy2和exxz0dusintdt，求

dx t2f2f37．【2003-3 8分】设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足21，又2uv122g2g2g(x,y)f[xy,(xy)],求22.

2xy38．【2005-3 8分】设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)f()yf()，求

22g2gxy.22xy 2yxxy

【小结】：多元函数的复合函数求导法则比一元函数复杂，根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式：

如果zf(u,v)f((t),(t))，则

dzfdufdv； dtudtvdt__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

如果zf(u,v)f((x,y),(x,y))，则

zfufvzfufv， xuxvxyuyvy如果zf(u,v)f((x,y),(y))，则

zfuzfufdv，. xuxyuyvdy2．隐函数求导

39．【2005-1 4分】设有三元方程xyzlnyexy1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（）

A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数zz(x,y)

B可以确定两个具有连续偏导数的隐函数yy(x,z),zz(x,y) C可以确定两个具有连续偏导数的隐函数xx(y,z),zz(x,y) D可以确定两个具有连续偏导数的隐函数yy(x,z),xx(z,y)

40．【2002-3 8分】设函数uf(x,y,z)有连续偏导数，且zz(x,y)由方程

xexyeyzez所确定，求du

41．【2004-2 3分】设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定, 则

3zz______. xy42．【1995-1 5分】设ufx,y,z，x2,ey,z0，ysinx，其中f,都具

有一阶连续偏导数，且

du0，求.

dxzdz. dx43．【1999-1 5分】设yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

44．【2008-3 10分】设zz(x,y)是由方程x2y2zxyz所确定的函数，其中具有2阶导数且1时.

（1）求dz （2）记ux,yu1zz，求. xxyxy__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

45．【2010-1,24分】设函数zz(x,y)由方程fyz,0确定, 其中f为可微函数, xx且f20，则xzzy（） xyAxBzCxDz

46．【2013-3 4分】设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定，则

zx(1,2)________。

47.【2015-2,3 4分】若函数zz(x,y)由方程ex2y3zxyz1确定，则dz(0,0) 48.【2015-1 4分】若函数zz(x,y)由方程exyzxcosx2确定，则

zdz(0,1)________.

【小结】：1.隐函数求导实际上是链式法则的应用，处理方式和一元函数中的方法一致，都是对等式两边同时求导，再解方程.

2、隐函数存在定理是隐函数求导的理论基础，考试对隐函数求导的考查很多，但对该定理的要求不高，只需记住内容即可.该定理内容如下：

设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)附近具有连续偏导数，且有

F(x0,y0,z0)0，则方z程F(x,y,z)0在点(x0,y0,z0)附近能唯一确定一个函数zf(x,y)，满足z0f(x0,y0)及

FzFzy. x，yFzxFz3．综合运用

49．【2006-1 12分】设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且Zfx2y2满

2z2z足等式220

xy（I）验证f(u)f(u)0 u（II）若f(1)0,f(1)1求函数f(u)的表达式

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

2z2z2zux2y50．【1996-1 6分】设变换可把方程6220化简为

xxyyvxay2z0，求常数a. uv51.【1997-1 7分】设函数f(u)具有二阶连续导数,而zf(esiny)满足方程

x2z2z2xez,求f(u). 22xy52．【2007-2 10分】已知函数f(u)具有二阶导数，且f(0)1，函数yy(x)由方程yxey1dz1所确定，设zflnysinx，求

dxd2zx0,dx2x0.

53．【2010-2 11分】设函数uf(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式

2u2u2u4212520，确定a,b的值，使等式在变换xay,xby下化简为xxyy2u0. 54.【2011-1 9分】设函数zf(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函

2z数g(x)可导且在x1处取得极值g(1)1，求

xy55.【2014-2 10

分】已知函数

．

x1y1f(x,y)满足

f2(y1)，且yf(y,y)(y1)2(2y)lny，求曲线f(x,y)0所成的图形绕直线y1旋转所成的

旋转体的体积．

常考题型三：方向导数与梯度*（数一）

56．【2008-1 4分】函数f(x,y)arctanx在点(0,1)处的梯度等于（） yAiBiCjDj

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

57．【1992-1 3分】函数uln(x2y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度graduM

58．【2012-1 4分】gradxyz________。 y(2,1,1)y2z2在A1,0,1点处沿A点指向B3,2,259．【1996-1 3分】函数ulnx的方向导数为____________.

x2y2z2160．【2005-1 4分】设函数u(x,y,z)1，单位向量n{1,1,1}，

612183则

un(1,2,3)=________

61.【2001-1 3分】设rx2y2z2,则div(gradr)|(1,2,2)

常考题型四：极值

1．无条件极值

62．【2003-1 4分】已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且

x0,y0limf(x,y)xy1，则（） 222(xy)A点(0,0)不是f(x,y)的极值点. B点(0,0)是f(x,y)的极大值点. C点(0,0)是f(x,y)的极小值点.

D根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.

63.【2014-2 4分】设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连

2u2u2u续偏导数，且满足． 0及220，则（）

xyxy（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

64．【2009-1 4分】设函数zfx,y的全微分为dzxdxydy，则点(0,0)（）

A不是fx,y的连续点B不是fx,y的极值点. C是fx,y的极大值点D是fx,y的极小值点

65．【2011-1 4分】设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)0，f(0)0，则函数zf(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) f(0)1，f(0)0． (B)f(0)1，f(0)0． (C)f(0)1，f(0)0． (D)f(0)1，f(0)0．

66.【2011-2 4分】设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)0,g(0)0,且

f(0)g(0)0，则函数zf(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) f(0)0,g(0)0.(B) f(0)0,g(0)0.

(C) f(0)0,g(0)0. (D) f(0)0,g(0)0. 67．【2009-1,3 9分】求二元函数f(x,y)x22y2ylny的极值.

68．【2004-1 12分】设zz(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求zz(x,y)的极值点和极值.

69.【2011-3 10分】已知函数fu,v具有连续的二阶偏导数，f1,12是fu,v2z的极值，zfxy,fx,y，求xy1,1.

x2y2270．【2012-1,2 10分】求fx,yxe的极值。

x3xy71．【2013-1 10分】求函数f(x,y)(y)e的极值.

372.

【

2015-2

10

分

】

已

知

函

数

f(x,y)满足

fxy''(x,y)2(y1)ex,f'x(x,0)(x1)ex，

f(0,y)y22y，求f(x,y)的极值

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

【小结】：计算函数无条件极值的工具主要是如下两个定理：

1）必要条件：设函数zf(x,y)在(x0,y0)点具有偏导数，且在该点有极值，则有

fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.

2）充分条件：设函数zf(x,y)在(x0,y0)点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.令

fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C（回忆定理fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)）

若ACB20，则函数zf(x,y)在(x0,y0)点具有极值.当A0时取得极小值；当

A0时取得极大值.

若ACB20，则函数zf(x,y)在(x0,y0)点没有极值.

若ACB20，则函数zf(x,y)在(x0,y0)点可能有极值，也可能没有极值.

2．条件极值

73．【2006-1 4分】设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是（）

A若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0B若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0 C若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0D若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0

x2y22z2074．【2008-1 11分】已知曲线C:，求曲线C距离XOY面最远的

xy3z5点和最近的点

75．【2007-1 11

分】求函数

f(x,y)x22y2x2y2在区域

Dx,y|x2y24,y0上的最大值和最小值.

76．【2005-2 10分】已知函数zf(x,y)的全微分dz2xdx2ydy，并且f(1,1)2，

y22求f(x,y)在椭圆域Dx,yx1上的最大值和最小值.

477．【2008-2 11分】求函数ux2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大值与最小值.

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

78.【2008-1,2 11分】已知函数fx,yxyxy，曲线C：

x2y2xy3，求fx,y在曲线C上的最大方向导数.

79．【1999—3 6分】设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投

入量，Q为产出量，若生产函数为Q2x1x2，其中、为正常数，且1.假设两

种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

80.【2000-3 6分】假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

P1182Q1,P212Q2,

其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是

C2Q5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即QQ1Q2

(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.

81．【2010-3 10分】求函数uxy2yz在约束条件x2y2z210下的最大值和最小值 .

82．【2002-1 7分】设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为D{x2y2xy75}，小山的高度函数为h(x,y)75x2y2xy

（1）设M(x0,y0)为区域D上的一个点，问h(x,y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界曲线x2y2xy75上找出使（1）中的g(x,y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

83．【2012-3 10分】某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为20x（万元/件）与6y（万元/件）。 21）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 84.【2013-2 11分】求曲线x3xyy31(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

【小结】：拉格朗日乘数法是我们处理条件极值问题的主要方法，现对其应用过程总结如下：要求函数zf(x,y)在约束条件(x,y)0下的极值点.方法：

1）作拉格朗日函数L(x,y,)f(x,y)(x,y)

fx(x,y)x(x,y)02）解方程fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0（这三个方程其实是找三元函数L(x,y,)的驻点） 3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值.

常考题型五：空间曲线的切线与法平面*（数一）

85．【1992-1 3分】在曲线xt,yt2,zt3的所有切线中，与平面x2yz4平行的切线（）

A只有1条B只有2条C至少有3条D不存在

86．【2001-1 3分】设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且fx(0,0)3,fy(0,0)1,则（）

Adz(0,0)3dxdy

B曲面zf(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

zf(x,y)曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3) Cy0D曲线zf(x,y)在点(0,0,f(0,0))的切向量为(3,0,1)

y0【小结】：考试对曲线的切线与法平面的考查仅限于计算，考生只需记住相应的计算公式即可.相关公式可以这样总结：曲线x(t),y(t),z(t)(t)在曲线上对应于tt0的一点的切向量为'(t0),'(t0),'(t0)，由几何意义可知该向量是切线的方向向量，也是法平面的法向量.再由切线和法平面都要过点(t0),(t0),(t0)可以得到它们的方程分别为

xx0yy0zz0与'(t0)(xx0)'(t0)(yy0)'(t0)(zz0)0 '''(t0)(t0)(t0)常考题型六：空间曲面的切平面与法线*（数一）

3x22y21287．【1993-1 3分】由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)z0处的指向外侧的单位法向量为

88．【1994-1 3分】曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为

89.【2014-1 4分】曲面zx2(1siny)y2(1sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为． 90．【2000-1 3分】曲面x22y23z221在点(1,2,2)的法线方程为

91．【2003-1 4分】曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程是 92．【1997-1 6分】设直线l:xyb0在平面上，而平面与曲面

xayz30zx2y2相切于点(1,2,5)，求a、b之值.

93.【2013-1 4分】曲面x2cos(xy)yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程为（） （A）xyz2 （B）xyz2 （C）x2yz3 （D）xyz0

【小结】：曲面的切平面和法线相关知识点与上一节类似：曲面F(x,y,z)0在曲面上__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

一点M(x0,y0,z0)处的法向量为(Fx,Fy,Fy)，由几何意义可知该向量是切平面的法向量，也是法线的方向向量.再由切平面和法线都要过点M(x0,y0,z0)可以得到它们的方程分别为

Fx(xx0)Fy(yy0)Fy(zz0)0与

xx0yy0zz0. FxFyFy参考答案

1．【1994-1 3分】【答案】D 2．【1997-1 3分】【答案】C 3．【2002-1 3分】【答案】A 4．【2003—3 4分】【答案】A 5．【2007-1 4分】【答案】C 6．【2008—3 4分】【答案】B 7．【2012—1 4分】【答案】：（B） 8．【2012—2 4分】【答案】：(D) 9.【2012—3 4分】【答案】：2dxdy 10．【2000—3 3分】【答案】yf11yf22g yx11．【2004—3 4分】【答案】g(v) g2(v)12．【2005—3 4分】【答案】2edx(e2)dy 13.【2014—2 4分】【答案】11dxdy 2214．【2006—3 4分】【答案】4dx2dy 15．【2009—3 4分】【答案】2ln2+1 16．【1998—3 5分】【答案】

dzearctanyxy2zy2xyx2arctanx. e2xydx2yxdy ;22xyxy17．【1994 -1 3分】【答案】()2

e__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

18．【1998-1 3分】【答案】yf(xy)(xy)y(xy) 19．【2007 -1 4分】【答案】f1yxy1f2yxlny

\"\"20．【2009 -1 4分】【答案】xf12 f2'xyf2221．【2011-1 4分】【答案】4 22．【2007-3 4分】【答案】xyzzxy2f1f2 xyyx23．【2008-2 4分】【答案】2(ln21) 224.【2012—2 4分】【答案】：0. 25．【1992-1 5分】【答案】

excosyf1e2xsinycosyf112ex(ysinyxcosy)f124xyf22 26．【2000-1 5分】【答案】f127.【2001-1 6分】【答案】51 28．【2004-2 10分】【答案】

1x1yfxyffgg 112232223yyxxzz2xf1yexyf2，2yf1xexyf2, xy2z2(x2y2)exyf12xye2xyf22exy(1xy)f2=4xyf11 xy29．【2009-2 10分】【答案】dz(f1f2yf3)dx(f1f2xf3)dy

2zf3f11f22xyf33(xy)f13(xy)f23 xyduffy2fz30．【1997—3 5分】【答案】 dxxy1xyzxzx31．【2013—2 4分】【答案】A 32．【2005-1 4分】【答案】B 33．【2007-3 4分】【答案】2yxf1f2xy

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

34.【2011-3 4分】2ln21dxdy

35. 【1996—3 6分】【答案】0

xdufyfexzf36．【2001—3 5分】【答案】 1dxxxysinxzz37．【2003—3 8分】【答案】x2y2. 38．【2005-3 8分】【答案】

2yyf xx39．【2005-1 4分】【答案】D

40．【2002—3 8分】【答案】dufx'fz'41．【2004-2 3分】【答案】2 42．【1995-1 5分】【答案】

fff1'cosx2x1'esinxcosx2 'xyz3x1xzy1yzedxfy'fz'edy z1z143．【1999-1 5分】【答案】

xdz(fxf)FyxfFz0) (FyxfFdxFyxfFz44．【2008—3 10分】【答案】dz2xdx2ydy11，

u2(12x) 3x145．【2010 -12 4分】【答案】B 46．【2013—3 4分】【答案】21ln2

1348. 【2015-1 4分】dx47. 【2015-2,3 4分】dx2dy3

49．【2006-1 12分】【答案】1、略；2、f(u)lnu 50．【1996-1 6分】【答案】a3

51. 【1997-1 7分】f(u)C1euC2eu,其中C1、C2为任意常数. 52．【2007-2 10分】【答案】0;1

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

2a2a53. 【2010-2 11分】【答案】或 52b5b2d2z(1,1)f12(1,1)|x1f1(1,1)f1154.【2011-1 9分】

dxdyy155.【2014-2 10分】V(2ln2) 56．【2008-1 4分】【答案】A 24457．【1992-1 3分】【答案】,,

999

5458.【2012-1 4分】【答案】：1,1,1 59．【1996 -1 3分】【答案】

1 23 360．【2005-1 4分】【答案】61. 【2001-1 3分】.

2362．【2003-1 4分】【答案】A 63.【2014-2 4分】【答案】A 64．【2009-14分】【答案】D 65．【2011-1 4分】A

66．【2011-2 4分】A

67．【2009-1,3 9分】【答案】极小值f(0,)

68．【2004-1 12分】【答案】点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)3.点

1e1e(9,3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(9,3)3

2z69.【2011-3 10分】

xy1,12,2f22,2f121,1f11

1270.【2012-1,2 10分】【答案】：fx,y在点1,0处取得极大值f1,0e. 在点

1,0处取得极小值f1,0e12.

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

1371.【2013-1 10分】【答案】：e 72.【2015-2 10分】极小值为f0,11 73．【2006-1 4分】【答案】D

74．【2008-1 11分】【答案】最远的点为（-5,-5,5），最近的点为（1,1,1）.

75．【2007-1 11分】【答案】函数在区域Dx,y|x2y24,y0上的最大值为8，最小值为0.

y276．【2005-210分】【答案】zf(x,y)在区域D{(x,y)x1}内的最大值

42为3，最小值为2.

77．【2008-211分】【答案】最大值为72，最小值为6 78. 【2008-1,2 11分】3

p79．【1999—3 6分】【答案】因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故x162，

p1p1x26时，投入总费用最小.

p280.【2000-3 6分】1Q14,Q25,p110,p27,maxL52万元

2p1p28,Q15,Q24,maxL49万元

81．【2010—3 10分】【答案】最大值为55, 最小值为55. 82．【2002-1 7分】【答案】1方向导数最大方向为y02x0,x02y0，

g(x0,y0)5x025y028x0y0.2M1(5,5)或M2(5,5)可作为攀登的起点

83.【2012-3 10分】【答案】：

x211）C(x,y)20x6yy210000

422）x24,y26时总成本最小C(24,26)11118

3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx(24,26)32，表示在要求总产量为50件时，甲的产量每增加一件，成本会发生32万元的改变。

__________________________________________________

学习好资料_____________________________________________

84.【2013-2 11分】最长距离2，最短距离1 85．【1992-1 3分】【答案】B 86．【2001-1 3分】【答案】C 87．【1993 -1 3分】【答案】{0,25,35}

88．【1994 -1 3分】【答案】2xy40 89.【2014-1 4分】【答案】2xyz10

x1y2z2 14691．【2003-1 4分】【答案】2x4yz5

90．【2000-1 3分】【答案】

92．【1997-1 6分】【答案】a5，b2 93．【2013-1 4分】【答案】A

在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。

__________________________________________________