(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

数学与计算科学学院

实 验 报 告

实验项目名称 人口预报 所属课程名称 数学模型 实 验 类 型 综合型 实 验 日 期 班 级 信计1001班 学 号 201053100127 姓 名 徐 超 成 绩

0

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

一、实验概述： 【实验目的】 【实验原理】

1

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

【实验环境】 二、实验内容：

2

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

【实验方案】 有效的控制我国人口的增长，不仅是深入贯彻落实科学发展观，到2020年实现全面建成小康社会的需要，而且对于全人类的美好理想来说,也是我们义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长产前提。请利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据，建立人口预测模型,并对模型作模型的参数估计、检验和预报。 表1 美国人口（单位：百万） 年 人口 年 人口 1790 3.9 1870 1800 5。3 1880 1810 7。2 1890 62.9 1820 1830 1840 1850 1860 9。6 12。9 17。1 23。2 31。4 1900 76.0 1910 1920 1930 1940 38。6 50。2 92。0 106。123。131.7 5 2 年 人口 1950 1960 1970 1980 1990 2000 150.7 179。204.0 226.5 251.4 281.4 3 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析) 1 模型假设 （1）假设各年的人口数均为当年年末人口数。 （2）假设人口数量足够大,为时间的连续可微函数。 (3）假设人口不流动,即不考虑迁入或迁出对全国总人口的影响。 3

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

（4）假设生存空间等自然资源无限,不考虑自然资源对人口变化的影响. （5）不考虑大规模疾病等意外灾难因素对人口变化的影响。 (6）不考虑同一时间间隔（例如每一年)内人口数量的变化。 （7）假设成都市人口的老龄化趋势与全国基本保持一直。 （8）假设我国的政治体制对人口状态变化的影响保持不变,如计划生育政策的稳定不变。 2 符号说明 ˆ(t):模型（1)中表示第X(t)：模型(1）中表示第t 年的实际人口数；Xt 年的预测人口数;：模型（2)中表示内禀增长率；t0:模型（2）中表示初始年份；wm：模型（2）中表示环境条件所能容许的最大人口数；W(t)：模型(2)中表示第t 年的人口数;m:模型（3）中表示嵌入维数；：模型（3）中表示时间延迟；Yi：模型(3）中表示重构相空间；M:模型（3）中表示m维相空间的嵌入点数；:模型(3)中表示最大Lyapunov指数；Tm：模型（3）ˆ(i)(k):中表示最长预测时间；X(i)(k)：模型(4）中表示第k 年的实际人口数；X：模型(4)中表示第k 年的预测人口数；模型（5）中表示人口老龄化指数;Di:模型(5)中表示第i 个年龄段的人数;Bi：模型(5）中表示第i 个年龄段的人数占总人数的比例. 3 模型建立 (1) 针对问题（1），我们建立了三个模型： 模型（1）：灰色系统GM(1,1)模型 dX(t)aX(t)u dtwdww(1)wm 模型（2）：Logistic人口模型dtw(t)w00模型（3）：最大Lyapunov指数预测模型

4

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

1Y-YY-Ye dM(0)minY-Y-Y^=YMM1kk1MMk^jj(2） 针对问题（2）,我们建立了等维灰数递补动态预测模型： 模型(4）： X^(0)(k)X(k1)X(k) ^(1)^(1)（3） 针对问题（3），我们定义了老龄化指数 模型(5）： D3100% D1D2D34 模型求解 （1) 问题（1)：我国人口数量的变化趋势 A、模型（1） 在模型（1）中包含两个参数：a和u,首先需要估计出这两个参数。我们把方程（1)改写为 a[X(t)]udX(t) dt然后把t换为(t1)并与原式作算术平均，得 11a{[X(t)X(t1)]}u[X'(t)X'(t1)] 22ˆ(t)[X(0)]eat 求得时间函数X(t)的估计值：Xuaua我们把上述方程作为我们的人口预测方程。 根据我们上网查到的1981年～2005年的全国人口统计数据，得到如下的原始数据序列： X(0)＝（100072 101654 103008 109300 117171 111026 118517 104357 105851 107507 112704 114333 115823119850 121121 122589 123626 124761 125786 126743

5

127627 128453 (完整word版)数学建模-人口预测实验报告

129207 129735 130137） ˆ(t)176060.7575988.75e0.022552t 得人口预测方程：X将各个年份分别代入上面的方程即得各个年份的人口数据预测值，然后将其分别与实际值比较，并计算出其误差. 实际值与预测值的比较图[1］ 该模型对于中短期的人口预测，所得结果较为准确,大部分预测数据与实际数据的误差率都在2%以内，较好地估计出了最近几十年的人口数量。 根据我们的模型所预测出的结果，到本世纪中叶我国的人口数量将超过15亿，但是根据国内的本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，可以预测我国的总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14。5亿人,2033年前后达到峰值15亿人左右，即我国人口的上限不会超过15亿人。这一结论与我们的模型所得到的数据有所出入。 于是我们将模型进行改进,选择在长期预测方面比较精准的模型(2)Logistic人口模型来求解. B、模型（2） 这个问题是典型的伯努利方程初值问题，其解为：

6

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

w(t)-(t-t)wm01(-1)ew0wm 分析上式可知： (1）当t时，w(t)wm,即无论人口初值如何随着时间推移而变化，人口总数总是趋向于一个确定的值wm； wd2w2w（2)2(1)，所以当人口达到极限值的一半m时，属于加速增2dtwm长，超过一半属于减速增长，但是增长率仍为正的，并且其增长率随时间的增加而减少。 根据1981年~2005年的全国人口统计数据，利用计算机Matlab编程得， 0.0422，Wm150000 从而得到全国总人口数的Logistic模型方程为：w(t)150000 1500001(1)e0.0422(t1981)100072利用该模型对1981年～2005年的人口数据进行检验并对2006年～2050年的人口数据进行预测。 实际值与预测值的比较图［2]

7

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

将该模型所得结果与国内本课题专家研究组得到的数据进行比较,发现二者拟合的很好，从而保证了该模型在长期人口预测方面的可靠性. C、 模型（3) (1）重构相空间 单变量时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴涵参与运动的全部变量的痕迹.为此，需要把此时间序列扩展到三维甚至更高维的相空间中去，才能将时间序列中的信息充分显露出来,这就是时间序列的重构相空间。 设人口的混沌时间序列为{x1,x2,...,xn}，嵌入维数m，时间延迟，则重构相空间 Yi(xi,xi1,xi(m1))Rm,(i1,2,M) 其中M =n-(m-1)表示m维相空间的嵌入点数。嵌入维数m和时间延迟可由C—C方法计算得到. (2）最大Lyapunov指数算法 1〉时间序列｛x(ti)，i=1,2，…,N｝进行FFT变换,计算平均周期P； 2〉用C-C方法同时计算出嵌入维数m和时间延迟τ; 3〉根据时间延迟和嵌入维数m重构相空间{Yj,j=1,2,^M}； 4〉找相空间中每个点Yj的最近邻点Y，并限制短暂分离，即 jdj(0)minYj-Y^, j-j>p， i=1,2,^^j,min(M-j,M-j) ^j5〉对相空间中每个Yj,计算出该邻点对应的i个离散时间步的距离dj(i)； 6〉对每个i ，求出所有j的lndj(i)平均y(i) ，即： 1qy(i) =lndj(i) qtj1

8

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

其中 q 是非零dj(i)的数目，并用最小二乘法作回归直线，该直线的斜率就是最大Lyapunov指数。 （3）最大Lyapunov指数预测模型 Lyapunov指数作为量化对初始轨道的指数发散和估计系统的混沌量，是系统的一个很好的预报参数，在很多领域有着相当广泛的应用前景。设YM为预测的中心点，相空间中YM的最近的邻点为Yk，其距离为dM(0)，最大Lyapunov指数为1，即 1tY-YY-Ye dM(0)minY-Y-Y^=YMM1kk1MMk^jj其中点YM1只有最后一个分量x(tN1)未知,故x(tN1)是可以预测的。上式就是基于最大Lyapunov指数的预测模型.实际表明:此预测方法具有较高的预测精度. 已知把1949年到2006年的人口数据看作时间序列Q0(ti),i1,2,...,N，重构相空间，把人口的时间序列扩展到m的相空间中去，充分显示出人口时间序列的信息，按照最大lyapunov指数算法,MATLAB编程实现，求的最大Lyapunov指数0.029380，表明人口数量为混沌时间序列。 实际值与预测值的比较图［3］

9

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

在用最大Lyapunov指数预测2001到2030年的人口，并用前五年的真实数据进行检验最大Lyapunov指数1的倒数为混沌系统确定性预测的时间上界，即最长预测时间 Tm11134 0.02938说明该模型对我国未来34年的人口预测所得结果比较精确,较好地达到了我们的预期目标。基于最大Lyapunov指数方法不但能够充分利用时间序列资料信息，而且可以克服以往人为选择模型的缺陷，计算相对误差较小，提高了预测精度，预测效果较好。 【实验结论】（结果） 用得出的拟合参数确立的数学模型与实际数据作比较,结果如图1和图2所示： 图1 美国人口指数增长模型的拟合图形（1790-1900）12010080人口x(t)60402000246年份t81012

10

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

美国人口的指数增长模型的拟合图形（1790-2000）600500400人口x(t)30020010000510年份t152025 【实验小结】（收获体会） 三、指导教师评语及成绩： 评语等级 评 语 优 良 中 及格 不及格 1。实验报告按时完成,字迹清楚，文字叙述流畅,逻辑性 强 11 (完整word版)数学建模-人口预测实验报告

2.实验方案设计合理 3.实验过程（实验步骤详细,记录完整，数据合理，分析 透彻） 4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期: 附录1：源 程 序

程序1： ％指数增长模型的1790-1990年数据建立的预测函数 clear;clc； t=1:12; %人口增长率参数 r=0。2743; %初始人口值 x0=4.1884； ％预测模型 y1=x0.*exp(r.*t); y2=［3。9,5.3,7。2,9.6,12。9,17。1，23。2，31。4,38.6，50.2,62。9， 12 (完整word版)数学建模-人口预测实验报告

76。0］； title('指数增长模型拟合图形’)； xlabel（'年份t'); ylabel('人口x（t）'); plot(t，y2，’ro',t，y1,’b') 程序2: %指数增长模型，全部数据建立的预测函数 clear；clc; t=1：22； %人口增长率参数 r=0。2022; %初始人口值 x0=6.0450; ％预测模型 y1=x0。＊exp(r。*t）; y2=［3。9,5。3,7.2，9。6,12.9，17。1,23.2,31.4,38.6, 50。2，62。9,76。0,92。0,106。5,123。2，131。7，150.7，179。3,204。0,226。5，251。4，281。4］; title（'指数增长模型拟合图形’); xlabel(’年份t')； ylabel（'人口x(t）')； plot(t,y2，’ro',t,y1，'b'）

13

(完整word版)数学建模-人口预测实验报告

附录2：实验报告填写说明

1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。 3．实验原理:简要说明本实验项目所涉及的理论知识。 4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，还应注明其创新点、特色.

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析)：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.

7．实验结论(结果）:根据实验过程中得到的结果，做出结论。 8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩:指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

14