2018年湖南省岳阳市中考数学试卷

2018年湖南省岳阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3分）2018的倒数是（ ） A．2018

B．

C．﹣

D．﹣2018

2．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 3．（3分）函数y=A．x＞3

C．a3+a2=a5 D．a2=﹣a2

﹣

中自变量x的取值范围是（ ）

B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0

4．（3分）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） 5．（3分）已知不等式组

C．（2，5） D．（2，﹣5）

，其解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

6．（3分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92 7．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．平行四边形的对角线相等

B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是0° D．圆内接四边形的对角相等

8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（ ）

第1页（共22页）

A．1

B．m C．m2 D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 9．（4分）因式分解：x2﹣4= ．

10．（4分）2018年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120000000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120000000科学记数法表示为 ．

11．（4分）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．

12．（4分）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．

13．（4分）在﹣2，1，4，﹣3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ． 14．（4分）如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．

15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．

第2页（共22页）

16．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB=18，∠A=30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①

=

；

π；

②扇形OBC的面积为③△OCF∽△OEC；

④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．

三、解答题（本大题共8小题，满分分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣

|

18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

19．（8分）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式；

（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．

第3页（共22页）

20．（8分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：

（1）这次参与调查的村民人数为 人； （2）请将条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；

（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．

21．（8分）为落实党“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？

22．（8分）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．

（1）求点M到地面的距离；

第4页（共22页）

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：

≈1.73，结果精确到0.01米）

23．（10分）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；

（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求的式子表示）．

24．（10分）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣

，0）．

（用含α

（1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y=

x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点

第5页（共22页）

B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）； （3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． ①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第6页（共22页）

2018年湖南省岳阳市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3分）2018的倒数是（ ） A．2018

B．

C．﹣

D．﹣2018 ，

【解答】解：2018的倒数是故选：B．

2．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5

C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2

【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，故本选项符合题意； B、（a3）2=a6，故本选项不符合题意；

C、不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； D、a﹣2=故选：A．

3．（3分）函数y=A．x＞3

中自变量x的取值范围是（ ）

，故本选项不符合题意，

B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0

中x﹣3≥0，

【解答】解：函数y=所以x≥3， 故选：C．

4．（3分）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5）

C．（2，5） D．（2，﹣5）

【解答】解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），

第7页（共22页）

故选：C．

5．（3分）已知不等式组

，其解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C．

，

D．

【解答】解：解①得：x＜2， 解②得：x≥﹣1，

故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，

故解集在数轴上表示为：故选：D．

．

6．（3分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92

【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数为92，众数为96． 故选：B．

7．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．平行四边形的对角线相等

B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是0° D．圆内接四边形的对角相等

【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A是假命题； 三角形的重心是三条边的中线的交点，B是假命题；

第8页（共22页）

五边形的内角和=（5﹣2）×180°=0°，C是真命题； 圆内接四边形的对角互补，D是假命题； 故选：C．

8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（ ）

A．1

B．m C．m2 D．

【解答】解：设点A、B在二次函数y=x2图象上，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2=0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3= ∴ω=x1+x2+x3=x3= 故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 9．（4分）因式分解：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ． 【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）．

10．（4分）2018年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120000000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120000000科学记数法表示为 1.2×108 ． 【解答】解：120000000=1.2×108，

第9页（共22页）

故答案为：1.2×108．

11．（4分）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．

【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＜1．

12．（4分）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 5 ． 【解答】解：∵a2+2a=1， ∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5， 故答案为5．

13．（4分）在﹣2，1，4，﹣3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．

【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P=， 故答案为：．

14．（4分）如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= 80° ．

【解答】解：∵a∥b， ∴∠4=∠l=60°，

∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°， 故答案为：80°．

第10页（共22页）

15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是

步．

【解答】解：∵四边形CDEF是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF，

设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x， ∵DE∥CF，

∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴∴x=

，

（步），

， ，

∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是故答案为：

．

第11页（共22页）

16．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB=18，∠A=30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号） ①

=

；

π；

②扇形OBC的面积为③△OCF∽△OEC；

④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．

【解答】解：∵弦CD⊥AB， ∴

=

，所以①正确；

∴∠BOC=2∠A=60°， ∴扇形OBC的面积=∵⊙O与CE相切于点C， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90，

∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE， ∴△OCF∽△OEC；所以③正确；

AP•OP=（9﹣OP）•OP=﹣（OP﹣3）2+9， 当OP=3时，AP•OP的最大值为9，所以④错误．

第12页（共22页）

=π，所以②错误；

故答案为①③．

三、解答题（本大题共8小题，满分分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣【解答】解：原式=1﹣2×=1﹣=2．

18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

+1+

|

+1+

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB=CD， 又∵AE=CF， ∴BE=DF，

∴BE∥DF且BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

19．（8分）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式；

（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．

第13页（共22页）

【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6 ∴反比例函数的解析式为y=．

（2）设B点坐标为（a，b），如图作AD⊥BC于D，则D（2，b）

∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b） ∴b= ∴AD=3﹣． ∴S△ABC=BC•AD =a（3﹣）=6 解得a=6 ∴b==1 ∴B（6，1）．

设AB的解析式为y=kx+b，

将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得

，

，

第14页（共22页）

解得，

直线AB的解析式为y=﹣x+4．

20．（8分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：

（1）这次参与调查的村民人数为 120 人； （2）请将条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；

（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．

【解答】解：（1）这次参与调查的村民人数为：24÷20%=120（人）； 故答案为：120；

（2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人）， 如图所示：

第15页（共22页）

；

（3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为：

×360°=90°；

（4）如图所示：

，

一共有12种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种可能， 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：．

21．（8分）为落实党“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？

【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，

根据题意得：解得：x=500，

经检验，x=500是原方程的解， ∴1.2x=600．

第16页（共22页）

﹣=11，

答：实际平均每天施工600平方米．

22．（8分）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．

（1）求点M到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：

≈1.73，结果精确到0.01米）

【解答】解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N， Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2， ∴∠M=30°， ∴ON=OM=0.6，

∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9； 即点M到地面的距离是3.9米；

（2）取CE=0.65，EH=2.55， ∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，

过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P， ∵∠GOP=30°， ∴tan30°=∴GP=

=

，

≈0.404，

OP=

∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，

第17页（共22页）

∴货车能安全通过．

23．（10分）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；

（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求的式子表示）．

【解答】解：（1）如图1中，

（用含α

第18页（共22页）

∵B、B′关于EC对称， ∴BB′⊥EC，BE=EB′， ∴∠DEB=∠DAC=90°， ∵∠EDB=∠ADC， ∴∠DBE=∠ACD，

∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD=BB′=2BE．

（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．

理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°， ∴△BAB′∽△CAD， ∴∴

==

=，

，

∴CD=2•BE•tan2α．

（3）如图 3中，

第19页（共22页）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α， ∵EC平分∠ACB，

∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α， ∵∠BCF=45°+α，

∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°， ∴∠BEC+∠ECF=180°， ∴BB′∥CF， ∴∵

==

=，

=sin（45°﹣α），

∴

=sin（45°﹣α）．

24．（10分）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣

，0）．

（1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y=

x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点

B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）； （3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． ①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第20页（共22页）

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣∴

，解得：

， x．

x，得：x2=m，

，0），

∴抛物线F的解析式为y=x2+（2）将y=解得：x1=﹣∴y1=﹣∴y2﹣y1=（（3）∵m=， ∴点A的坐标为（﹣

x+m代入y=x2+，x2=+m，y2=

，

+m，

+m）=

（m＞0）．

+m）﹣（﹣

，），点B的坐标为（，2）．

∵点A′是点A关于原点O的对称点， ∴点A′的坐标为（

，﹣）．

①△AA′B为等边三角形，理由如下： ∵A（﹣

，），B（

，2），A′（

，﹣），

∴AA′=，AB=，A′B=， ∴AA′=AB=A′B，

∴△AA′B为等边三角形． ②∵△AA′B为等边三角形，

∴存在符合题意得点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．

（i）当A′B为对角线时，有，

解得：，

，）；

第21页（共22页）

∴点P的坐标为（2

（ii）当AB为对角线时，有，

解得：，

∴点P的坐标为（﹣，）；

（iii）当AA′为对角线时，有，

解得：，

，﹣2）．

∴点P的坐标为（﹣

综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2

，）、（﹣

，

）和（﹣

，﹣2）．

第22页（共22页）