2019高二数学上册期末考试试卷及答案

2019高二数学上册期末考试试卷及答案

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( C )

A．p：∃x∈R，sinx≥1 B．p：∀x∈R，sinx≥1 C．p：∃x∈R，sinx>1 D．p：∀x∈R，sinx>1

2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B )．

A．160

B．180

C．200

D．220

3．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值

等于( C )．

A．5

B．13

C．13

D．37

x2y2

4．若双曲线a2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )

A.

73 B. C. 3 D. 3

5．在△ABC中，能使sinA＞

3

2

成立的充分不必要条件是( C ) A．A∈π2πππ0，π

3 B．A∈π5π3，3 C．A∈3，2 D．A∈2，6

6．△ABC中，如果

atanA＝btanB＝c

tanC

，那么△ABC是( B )． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点， F是AD上一点，当

BF⊥PE时，AF∶FD的值为( B )

A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1

8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线A B1夹角的余弦值为( A )

A.

55 B. 5

3

C. 255 D. 35

9．当x＞1时，不等式x＋

1x1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( D )． A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]

10．若不等式组x≥ 0x＋3y≥ 4，所表示的平面区域被直线y＝kx＋4分为面积相等的两部分，3x＋y≤ 43则k的值是( A )．

A．

73 B．37 C．433 D．4 11．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是( A )

A．a≤－4 B．a≥－4 C．a≥－12

D．a≤－12

12．定义域为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2(x－3)2，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围为 ( B )

A. 23560，2 B. 0，3 C. 0，5 D.0，6

解析 由于定义为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T＝2，图象以x＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，

∵y＝loga(x＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有loga(2＋1)>f(2)＝－2且01，解得a∈3



0，3。

第Ⅱ卷（选择题 共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置

13．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________。x2＝－4y 14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是______

75__。 2215．过椭圆

x16y41内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线

的斜率等于________ －1

2

16．已知函数

f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令 a1

*n＝

fn＋1＋fn，n∈N。记数列{an}

的前n项和为Sn，则S2 016＝________。2 017－1

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

17．(12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC。

(1)若a＝b，求cosB；

(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积。

解 (1)由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac，

a2

＋1a2

－a2∵a＝b，∴a＝2c。由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b2

2ac＝41

2a×1＝4

。

2

a(2)由(1)得b2＝2ac。∵B＝90°，a＝2，∴a2＋c2＝2ac，∴a＝c＝2，∴S1

△ABC＝2ac＝1。

18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2

＜0，其中a≠0，q：实数x满足x2－x－6≤0，x2

＋2x－8＞0。

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。

解 (1)由x2－4ax＋3a2＜0，得：(x－3a)(x－a)＜0， 当a＝1时，解得1＜x＜3，

即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3。

由x2－x－6≤0，x2

＋2x－8＞0。

解得：2＜x≤3，

即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3。

若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3。 (2)p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，

设集合A＝{x|p(x)}；集合B＝{x|q(x)}，则集合B是集合A的真子集， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12， 于是|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。

20．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是直角三角形，且PA＝AB＝

AC。又平面QBC垂直于底面ABC。

又B＝(2,3]，

当a＞0时，A＝(a,3a)；a＜0时，A＝(3a，a)。 所以当a＞0时，有

a≤2，

解得1＜a≤2，



3＜3a，

当a＜0时，显然A∩B＝∅，不合题意，

19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切。

(1)求动圆圆心P的轨迹M的方程；

(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|。

解 (1)设动圆圆心P(x，y)。

因为动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切，

所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，

故点P的轨迹是一条抛物线，其焦点为F，准线为x＝－2，设轨迹方程为y2＝2px(p＞0)，则p2

＝2，

所以轨迹M的方程为y2＝8x。

(2)轨迹M的焦点(2,0)，直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，于是其方程为y＝－(x－2)。

由y＝－x－2，



y2

＝8x，

消去y得x2

－12x＋4＝0。

(1)求证：PA∥平面QBC；

(2)若PQ⊥平面QBC，求锐二面角Q－PB－A的余弦值。 解 (1)证明：过点Q作QD⊥BC交BC于点D， 因为平面QBC⊥平面ABC。 所以QD⊥平面ABC。 又PA⊥平面ABC， 所以QD∥PA。

而QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC， 所以PA∥平面QBC。 (2)因为PQ⊥平面QBC， 所以∠PQB＝∠PQC＝90°。

又PB＝PC，PQ＝PQ， 所以△PQB≌△PQC， 所以BQ＝CQ。

所以点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，因此AD⊥平面QBC，故四边形PADQ是矩

形。

分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 an=3n-2 设PA＝2a，则Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。 设平面QPB的法向量为n＝(x，y，z)， 因为→PQ＝(a，a,0)，→PB＝(0,2a，－2a)， 所以

ax＋ay＝0，2ay－2az＝0，

取n＝(1，－1，－1)。

又平面PAB的一个法向量为m＝(1,0,0)， 设锐二面角Q－PB－A的大小为θ，

则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n3

|m||n|＝3，

即锐二面角Q－PB－A的余弦值等于

33

。 21．(本小题满分12分)若{a}的前n项和为S31nn，点(n,Sn)均在函数y＝2x22x的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;an=3n-2 （Ⅱ）bn3a，Tn是数列{bn}的前n项和， nan1(1) 点(n,S31n)均在函数y＝2x22x的图像上,

S31n=2n22n,

故S31n12(n1)22(n1) (n2),…

从而当n2

Sn-Sn1=3n-2,即an=3n-2, 又当n=1时,a1S11,满足上式

(2) bn3a,an=3n-2, nan1bn3(3n2)(3n1)=13n213n1 Tn11414171111710...3n23n1=113n3n13n1.

22．(本小题满分12分)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线y＝k(x－1)与椭圆C交于A，B两点，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得对任意的k∈R，→MA·→MB为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

解 (1)设椭圆的短半轴为b，半焦距为c， 则b2

＝a2

，由c2＝a2－b222

a2a2

2，得c＝a－2＝2， 由1

2

×b×2c＝4解得a2＝8，b2＝4，则椭圆方程为 x2y28

＋4

＝1。 (2)由y＝kx－1，2

x＋2y2

＝8，

得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系，得 x4k22k2－81＋x2＝2k2＋1，x1x2＝2k2＋1，

则→MA·→MB＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)

＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝(k2＋1)x1x2－(m＋k2)·(x1＋x2)＋k2＋m2 2k2－84k22

＝(k＋1)2－(m＋k)2＋k2＋m2

2k＋12k＋1

2

＝－

5＋4mk2＋8

＋m2， 2

2k＋1

117时，→MA·→MB＝－为定值， 416

当5＋4m＝16，即m＝

11

故存在点M，0，使得→MA·→MB为定值。

4