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2019高二数学上册期末考试试卷及答案

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2019高二数学上册期末考试试卷及答案

试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)

1.已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则( C )

A.p:∃x∈R,sinx≥1 B.p:∀x∈R,sinx≥1 C.p:∃x∈R,sinx>1 D.p:∀x∈R,sinx>1

2.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( B ).

A.160

B.180

C.200

D.220

3.△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=4,∠C=60°,则c的值

等于( C ).

A.5

B.13

C.13

D.37

x2y2

4.若双曲线a2-b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( D )

A.

73 B. C. 3 D. 3

5.在△ABC中,能使sinA>

3

2

成立的充分不必要条件是( C ) A.A∈π2πππ0,π

3 B.A∈π5π3,3 C.A∈3,2 D.A∈2,6

6.△ABC中,如果

atanA=btanB=c

tanC

,那么△ABC是( B ). A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形

7. 如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点, F是AD上一点,当

BF⊥PE时,AF∶FD的值为( B )

A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶1

8.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线A B1夹角的余弦值为( A )

A.

55 B. 5

3

C. 255 D. 35

9.当x>1时,不等式x+

1x1≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D ). A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]

10.若不等式组x≥ 0x+3y≥ 4,所表示的平面区域被直线y=kx+4分为面积相等的两部分,3x+y≤ 43则k的值是( A ).

A.

73 B.37 C.433 D.4 11.若关于x的不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则实数a的取值范围是( A )

A.a≤-4 B.a≥-4 C.a≥-12

D.a≤-12

12.定义域为R的偶函数f(x)满足:对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为 ( B )

A. 23560,2 B. 0,3 C. 0,5 D.0,6

解析 由于定义为R的偶函数f(x)满足:对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,即f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,如图,

∵y=loga(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)>f(2)=-2且01,解得a∈3

0,3。

第Ⅱ卷(选择题 共90分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置

13.已知某抛物线的准线方程为y=1,则该抛物线的标准方程为________。x2=-4y 14.若a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是______

75__。 2215.过椭圆

x16y41内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在直线

的斜率等于________ -1

2

16.已知函数

f(x)=xα的图象过点(4,2),令 a1

*n=

fn+1+fn,n∈N。记数列{an}

的前n项和为Sn,则S2 016=________。2 017-1

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

17.(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC。

(1)若a=b,求cosB;

(2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积。

解 (1)由sin2B=2sinAsinC及正弦定理,得b2=2ac,

a2

+1a2

-a2∵a=b,∴a=2c。由余弦定理,得cosB=a2+c2-b2

2ac=41

2a×1=4

2

a(2)由(1)得b2=2ac。∵B=90°,a=2,∴a2+c2=2ac,∴a=c=2,∴S1

△ABC=2ac=1。

18.设p:实数x满足x2-4ax+3a2

<0,其中a≠0,q:实数x满足x2-x-6≤0,x2

+2x-8>0。

(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围。

解 (1)由x2-4ax+3a2<0,得:(x-3a)(x-a)<0, 当a=1时,解得1<x<3,

即p为真时实数x的取值范围是1<x<3。

由x2-x-6≤0,x2

+2x-8>0。

解得:2<x≤3,

即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3。

若p且q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3。 (2)p是q的必要不充分条件,即q推出p,且p推不出q,

设集合A={x|p(x)};集合B={x|q(x)},则集合B是集合A的真子集, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12, 于是|AB|=x1+x2+p=12+4=16。

20.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是直角三角形,且PA=AB=

AC。又平面QBC垂直于底面ABC。

又B=(2,3],

当a>0时,A=(a,3a);a<0时,A=(3a,a)。 所以当a>0时,有

a≤2,

解得1<a≤2,

3<3a,

当a<0时,显然A∩B=∅,不合题意,

19.(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0),并且与直线x=-2相切。

(1)求动圆圆心P的轨迹M的方程;

(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A,B两点,求|AB|。

解 (1)设动圆圆心P(x,y)。

因为动圆经过点F(2,0),并且与直线x=-2相切,

所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等,

故点P的轨迹是一条抛物线,其焦点为F,准线为x=-2,设轨迹方程为y2=2px(p>0),则p2

=2,

所以轨迹M的方程为y2=8x。

(2)轨迹M的焦点(2,0),直线l的斜率k=tan 135°=-1,于是其方程为y=-(x-2)。

由y=-x-2,



y2

=8x,

消去y得x2

-12x+4=0。

(1)求证:PA∥平面QBC;

(2)若PQ⊥平面QBC,求锐二面角Q-PB-A的余弦值。 解 (1)证明:过点Q作QD⊥BC交BC于点D, 因为平面QBC⊥平面ABC。 所以QD⊥平面ABC。 又PA⊥平面ABC, 所以QD∥PA。

而QD⊂平面QBC,PA⊄平面QBC, 所以PA∥平面QBC。 (2)因为PQ⊥平面QBC, 所以∠PQB=∠PQC=90°。

又PB=PC,PQ=PQ, 所以△PQB≌△PQC, 所以BQ=CQ。

所以点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC,因此AD⊥平面QBC,故四边形PADQ是矩

形。

分别以AC,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。 an=3n-2 设PA=2a,则Q(a,a,2a),B(0,2a,0),P(0,0,2a)。 设平面QPB的法向量为n=(x,y,z), 因为→PQ=(a,a,0),→PB=(0,2a,-2a), 所以

ax+ay=0,2ay-2az=0,

取n=(1,-1,-1)。

又平面PAB的一个法向量为m=(1,0,0), 设锐二面角Q-PB-A的大小为θ,

则cosθ=|cos〈m,n〉|=m·n3

|m||n|=3,

即锐二面角Q-PB-A的余弦值等于

33

。 21.(本小题满分12分)若{a}的前n项和为S31nn,点(n,Sn)均在函数y=2x22x的图像上。(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;an=3n-2 (Ⅱ)bn3a,Tn是数列{bn}的前n项和, nan1(1) 点(n,S31n)均在函数y=2x22x的图像上,

S31n=2n22n,

故S31n12(n1)22(n1) (n2),…

从而当n2

Sn-Sn1=3n-2,即an=3n-2, 又当n=1时,a1S11,满足上式

(2) bn3a,an=3n-2, nan1bn3(3n2)(3n1)=13n213n1 Tn11414171111710...3n23n1=113n3n13n1.

22.(本小题满分12分)已知椭圆x2+2y2=a2(a>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知直线y=k(x-1)与椭圆C交于A,B两点,是否存在x轴上的点M(m,0),使得对任意的k∈R,→MA·→MB为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。

解 (1)设椭圆的短半轴为b,半焦距为c, 则b2

=a2

,由c2=a2-b222

a2a2

2,得c=a-2=2, 由1

2

×b×2c=4解得a2=8,b2=4,则椭圆方程为 x2y28

+4

=1。 (2)由y=kx-1,2

x+2y2

=8,

得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系,得 x4k22k2-81+x2=2k2+1,x1x2=2k2+1,

则→MA·→MB=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)

=x1x2-m(x1+x2)+m2+k2(x1-1)(x2-1) =(k2+1)x1x2-(m+k2)·(x1+x2)+k2+m2 2k2-84k22

=(k+1)2-(m+k)2+k2+m2

2k+12k+1

2

=-

5+4mk2+8

+m2, 2

2k+1

117时,→MA·→MB=-为定值, 416

当5+4m=16,即m=

11

故存在点M,0,使得→MA·→MB为定值。

4

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