泰勒公式及其应用典型例题

常用近似公式

，将复杂函数用简单

的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当

较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数希望

，想找多项式

来近似表示它。自然地，我们所具有的性态 —— 如：在某点的形式如何确定；。

近似

所

尽可能多地反映出函数

处的值与导数值；我们还关心产生的误差【问题一】

设于

在含的

的开区间内具有直到 次多项式

阶的导数，能否找出一个关

1

v1.0 可编辑可修改

近似

【问题二】

若问题一的解存在，其误差

的表达式是什么

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数

。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

2

v1.0 可编辑可修改

于是， 所求的多项式为：

(2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数则当

在含有时，

的某个开区间可以表示成

内具有直到

阶导数，

这里是

与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

3

v1.0 可编辑可修改 这表明：

只要对函数 之间反复使用【证明】以

与为端点的区间

及

在与

次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

或

记为

，

。

阶的导数，

函数 且

在上具有直至

函数 且

于是，对函数 定理， 有

在上有直至阶的非零导数，

及 在上反复使用 次柯西中值

4

v1.0 可编辑可修改

三、几个概念

1、

此式称为函数或者称之为函数当

按在点

的幂次展开到 处的

阶的泰勒公式；

阶泰勒展开式。

时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若 有

5

v1.0 可编辑可修改 此式可用作误差界的估计。

故 表明： 误差

是当

时较

高阶无穷小， 这一

余项表达式称之为皮亚诺余项。 3、若式

，则在

与 ，

之间，它表示成形

泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式

近似公式

误差估计式

【例1】求解：

6

的麦克劳林公式。

v1.0 可编辑可修改 ，

于是 有近似公式

其误差的界为 我们有函数(1)、

的一些近似表达式。

(2)、 (3)、

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求

的

阶麦克劳林公式。

解：

它们的值依次取四个数值

7

。

v1.0 可编辑可修改

其中：

同样，我们也可给出曲线 作出它们的图象。

的近似曲线如下，并用matlab

【例3】求

的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

解：

于是：

8

v1.0 可编辑可修改 利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限 解：

，

。

【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为

，从而

当

时，

，应为

的近似值， 并估计误差。

【例5】利用三阶泰勒公式求

解：

9

v1.0 可编辑可修改 故：

10