一、选择题
1． 如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长
为（ ）
A．22 B． C. D．42+2 2． 已知集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于（ ）A．0 B．1 C．2 D．3 3． 满足集合M⊆{1，2，3，4}，且M∩{1，2，4}={1，4}的集合M的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[] B[]
C[]
D[
] 5． 复数满足2＋2z
1－i＝iz，则z等于（ ）
A．1＋i B．－1＋i C．1－i
D．－1－i
6． 如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ ） A．x2﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1
7． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ A．4 B．8 C．12 D．20
第 1 页，共 15 页
）
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8． 若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1 B．
1没有公共点，则实数k的最大值为（ ） ex1 C．1 D．3 2【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
y29． 圆(x-2)+y=r（r>0）与双曲线x-=1的渐近线相切，则r的值为（ ） 3A．2 B．2 C．3 D．22 2222【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
10．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
11．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）
A．4320 B．2400 C．2160 D．1320
12．三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（ ） A．[﹣6，2] B．[﹣6，0）∪（ 0，2] C．[﹣2，0）∪（ 0，6] D．（0，2]
第 2 页，共 15 页
二、填空题
13．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1
是“单曲型直线”的是 ．
14．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ．
15．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
16．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为 ．
17．若非零向量满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．
18．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 ．
，
三、解答题
第 3 页，共 15 页
19．已知命题p：方程
2
表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x+（2m﹣3）x+1与x轴
交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
20．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
21．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 87 90 86 91 80 74 90 95 （Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
第 4 页，共 15 页
22．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；
（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S的值． 序号 （i） 1 2 3 4 合计 分组 组中值 频数 频率 （分数） （Gi） [60，70） 65 [70，80） 75 [80，90） 85 [90，100） 95 （人数） （Fi） 0.10 ① 20 ③ ④ 50 ② 0.20 ⑤ 1
第 5 页，共 15 页
23．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方
x＝cos t程为（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.
y＝1＋sin t
（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．
24．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）
＜
；
**
（n∈N）．证明：对一切n∈N，有
（Ⅱ）0＜an＜1．
第 6 页，共 15 页
南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
点：平面图形的直观图. 2． 【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2
﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2． 故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：∵M∩{1，2，4}={1，4}， ∴1，4是M中的元素，2不是M中的元素． ∵M⊆{1，2，3，4}， ∴M={1，4}或M={1，3，4}． 故选：B．
4． 【答案】B 【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，
。
∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，
。 第 7 页，共 15 页
考
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是5． 【答案】
2＋2z
【解析】解析：选D.法一：由＝iz得
1－i2＋2z＝iz＋z， 即（1－i）z＝－2，
－2－2（1＋i）∴z＝＝＝－1－i.
21－i法二：设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi）， 即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，
。
。
2＋2a＝a－b
∴， 2b＝a＋b
∴a＝b＝－1，故z＝－1－i. 6． 【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，
22
可设双曲线的方程为x﹣y=λ（λ≠0），
代入点P（2，λ=4﹣2=2，
），可得
22
可得双曲线的方程为x﹣y=2，
即为﹣=1．
故选：B．
7． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
112312，故选C. 38． 【答案】C
【解析】令gxfxkx11kx1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，xe第 8 页，共 15 页
1110．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没
等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．
9． 【答案】C
10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值xe
10．【答案】D
【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．
11．【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q， ∵a+b+c=6， ∴
=6，
﹣
）•
=932
•
=388，
=2
，
，
第 9 页，共 15 页
∴b=．
当q＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 ①② ．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即对于①，联立
，消y得7x﹣18x﹣153=0，
2
，（x＞0）．
2
∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立2
，消y得x=
，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立2
，消y得20x+36x+153=0，
2
∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②． 故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．
第 10 页，共 15 页
14．【答案】345 【解析】
点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
15．【答案】 9 ．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9
16．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C， 所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：
故答案为：
17．【答案】 90° ． 【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
第 11 页，共 15 页
考
18．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有： {2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}， 故共有4个， 故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：∵方程∴
⇒m＞2
表示焦点在x轴上的双曲线，
若p为真时：m＞2，
2
∵曲线y=x+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点， 2
则△=（2m﹣3）﹣4＞0⇒m＞或m
，
若q真得：或，
由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假 若p真q假：若p假q真：
或
．
；
∴实数m的取值范围为：
【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．
20．【答案】
【解析】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真 命题，m＜1 f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2， 由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m＜2．
【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．
第 12 页，共 15 页
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一： 依题意有
，
答案一：∵答案二：∵
∴从稳定性角度选甲合适．
乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为； 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率
．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5， ②中的值为
=0.40，③中的值为50×0.2=10，
=0.30；
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为（2）不低于85的概率P=
×0.20+0.30=0.40，
∴获奖的人数大约为800×0.40=320； （3）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82， ∴800名学生的平均分为82分
23．【答案】
第 13 页，共 15 页
x＝cos t
【解析】解：（1）由C1：（t为参数）得
y＝1＋sin t
x2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程， 由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程． （2）由题意得A，B的极坐标分别为 A（2sin α，α），B（－23cos α，α）． ∴|AB|＝|2sin α＋23cos α| π
＝4|sin（α＋）|，α∈[0，π），
3π1
由|AB|＝2得|sin（α＋）|＝，
32π5π
∴α＝或α＝.
26
ππ5π当α＝时，B点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，
2265π此时l的方程为y＝x·tan（x＜0），
6
即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0）， |3×（－3）|3
∴C2到l的距离d＝＝，
2
（3）2＋321
∴△ABC2的面积为S＝|AB|·d
2
133＝×2×＝. 222
3
即△ABC2的面积为. 224．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=，an+1=an+∴an＞0，an+1=an+∴
*
＞0（n∈N），an+1﹣an=
（n∈N），
*
＞0，
，
第 14 页，共 15 页
*
∴对一切n∈N，＜
*
．
＜
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N，∴
∴当n≥2时， =＞3﹣[1+=3﹣[1+=3﹣（1+1﹣=
，
，
*
，
] ]
）
∴an＜1，又
∴对一切n∈N，0＜an＜1．
【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．
第 15 页，共 15 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容