一元二次函数的图像性质

教师姓名 李俊方 学生姓名 周龙 上课时间 2012-10-05 课时计年级 初三 学科 数学 划 教学内容 教学重难函数图像及其性质 点 教学目标 审核 熟练掌握二次函数的图像性质 校区主任： 时间： 一元二次函数的图像性质 第（ 6 ）课 教学步骤： 一、新授内容

1．函数yax2bxc(a0)叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数yax2bxc(a0)都可把它的解析式配方为顶点

b24acb2式：ya(x)，

2a4a性质如下：

b4acb2b)，对称轴是直线x。 （1）图象的顶点坐标为(,2a4a2a（2）最大（小）值

①

当a0，函数图象开口向上，y有最小值，ymin值。

4acb2，无最大

4a②

当a0，函数图象开口向下，y有最大值，ymax值。

4acb2，无最小

4abb在(,)上是增函数。 )上是减函数，

2a2abb 当a0，函数在区间上(,)是减函数，在(,)上是增函数。

2a2a（3）当a0，函数在区间(,【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。 2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；

但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。 例题精解 一、一元二次函数的图象的画法

12x4x6的图象 211【解】yx24x6(x28x12)

22【例1】求作函数y以x4为中间值，取x的一些值，列表如下：

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … … 0 -2 0 … 【例2】求作函数yx24x3的图象。 【解】yx24x3(x24x3)

先画出图角在对称轴x2的右边部分，列表

-2 -1 0 1 2 7 6 5 4 3 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；

(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质

【例3】求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求

它的单调区间。

【解】 yx26x2x26x97(x3)27

由配方结果可知：顶点坐标为(3，7)，对称轴为x3； 10 ∴当x3时， ymin7

函数在区间(，3]上是减函数，在区间[3，)上是增函数。 【例4】求函数y5x23x1图象的顶点坐标、对称轴、最值。

4acb24(5)13229b33， 

4a4(5)202a2(5)10 ∴函数图象的顶点坐标为( 50 ∴当x 函数在区间(,32929 ,)，对称轴为x102020329时，函数取得最大值ymaz 10203]上是增函数，在区间[3,)上是减函数。 10【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法

有两个：

(1) 配方法；如例3

(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例

4，可避免出错。

b24acb2(a0) 任何一个函数都可配方成如下形式：ya(x)2a4a二次函数典型例题解析

1.关于二次函数的概念

例1 如果函数y(m3)xm3m2mx1是二次函数，那么m的值为 。

例2 抛物线yx22x4的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。

22.关于二次函数的性质及图象

例3 函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，

-1 则a、b、c，，abc，abc的符号 为 ，

Y X

O X=1

例4 已知a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（ ）

（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）

第二或第三象限

3.确定二次函数的解析式

例5 已知：函数yax2bxc的图象如图：那么函数解析式为（ ） y 3 22（A）yx2x3 （B）yx2x3 （C）yx2x3 （D）yx2x3 4.一次函数图像与二次函数图像综合考查

22-1 o 3 x

例6 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).

例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D三点的坐标；（2）抛物线yax2bxc经过B、C、D三点，求它的解析式； 二、课堂训练 基础练习 一、选择题:

1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).

A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ). >0 =0 <0 ≤0

4.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ). =3,c=7 =-9,c=-15

=3,c=3 =-9,c=21

5.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).

ca2

6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ). +m 二、填空题

1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.

2.(2003·)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.

3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)

和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.

4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.

5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.

6.(2002·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:

甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

2

三、解答题

1.(2003·安徽)已知函数y=x+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;

(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.

2.(2004·济南)已知抛物线y=- x2+(6- m2)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值;

(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;

(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.

3.(2004·南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点

A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).

(1)问符号条件的抛物线还有哪几条不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;

(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由. 三、课后作业

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。

92122

① 求函数解析式；

② 若图象与x轴交于A、B（A在B左）与y轴交于C,顶点D，求四边形

ABCD的面积。

2. 在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数yx2bxc的图象与xyBO＝CO 轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，－3），且8（1） 求这个二次函数的解析式；

（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长. 2

23.(2003·)如图,二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•-6-4-2AO-22B46x与y轴交于A点.

(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由; C-4-6(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.