「精品」高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型优化练习新人教A版必修3

3.3.1 几何概型

[课时作业] [A组 学业水平达标]

1．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( ) 1

A. 21C. 3

B.3 2

1D. 4

π

解析：如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，由圆的32π31

对称性及几何概型得P＝＝.故选C.

2π3答案：C

2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为( ) π1A. B. 22ππC. D. 48

112

×π×22π

解析：所求概率P＝＝.故选D.

1×18答案：D

3．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) 11

A. B. 10911C. D. 118

解析：总的时间段长为10 min，在车站停1 min， 1∴P＝.

10答案：A

4．已知点P，Q为圆C：x＋y＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )

2

2

1

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39A. B. 525162C. D. 255

解析：PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点25π－16π9落在M内的概率为＝，故选B.

25π25答案：B

5．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1发生的概率为( ) 32

A. B. 4311C. D. 34解析：由－1≤

1

(x＋)≤1得，

2

11≤log(x＋)≤

22

1113

，≤x＋≤2,0≤x≤，2222

1

(x＋)≤1”

2

3－023

所以由几何概型概率的计算公式得，P＝＝，故选A.

2－04答案：A

6．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧度小于1的概率为________．

的长

解析：如图可设2

其概率是. 32答案：

3

7．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他9

任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________

10

与

的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则

2

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分钟广告．

9

解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为，则看到广告的概

1011

率约为，故60×＝6.

1010答案：6

8．已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm的概率为________．

解析：依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x8－41－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于＝. 1231

答案：

3

9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．

解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． 红灯亮的时间302(1)P＝＝＝；

全部时间30＋40＋55黄灯亮的时间51

(2)P＝＝＝；

全部时间7515

不是红灯亮的时间黄灯亮或绿灯亮的时间

(3)P＝＝ 全部时间全部时间453

＝＝. 755

10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使M­ABCD的体积小1

于的概率． 6

解析：设点M到面ABCD的距离为h， 111

则VM­ABCD＝S底ABCD·h＝，即h＝. 362

1

所以只要点M到面ABCD的距离小于时，即满足条件．

2

111

所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以面ABCD为底，高为的长方体，其体积为.

222又因为正方体体积为1，

2

3

3

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1211

所以使四棱锥M­ABCD的体积小于的概率为P＝＝.

612

[B组 应考能力提升]

1．如图所示，在一个边长为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在

32梯形内部的概率为( ) 11A. B. 12457C. D. 1212

11解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S矩形＝ab，S梯形＝(a235ab15S梯形125＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝. 212S矩形ab12答案：C

2．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数f(x)＝

aax＋1，x≥01

－x＋1，x＜02

等于( )

的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率

11A. B. 31C. D. 82

解析：由已知得B(1,0)，C(1,2)，D(－2,2)，F(0,1)，则矩形ABCD的面积为3×2＝6，阴3

2113

影部分的面积为×3×1＝，故该点取自阴影部分的概率等于＝.

22答案：B

4

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3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠

AOC和∠BOC都不小于30°的概率是________．

解析：将圆心角为90°的扇形等分成三部分：

当射线OC位于中间一部分时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°， ∴使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为：

P＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝，故使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为.

1答案：

3

4．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm，4 cm，2 cm.某人站在3 m之外向此

板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？

(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？

解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256(cm)． 设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则

事件A所占区域面积为dA＝π×6＝36π(cm)； 事件B所占区域面积为

2

2

2

13

13

dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；

事件C所占区域面积为

dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)．

由几何概型的概率公式，得

dA36π9

(1)P(A)＝＝＝π，

D256

9

即投中大圆内的概率为π.

dB12π3

(2)P(B)＝＝＝π，

D256

3

即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为π.

dC256－36π9

(3)P(C)＝＝＝1－π，

D256

5

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9

即投中大圆之外的概率为1－π.

5.设关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解析：设事件A为“方程x＋2ax＋b＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是(2a)－4b≥0，即a≥b.

(1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

93事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.

124

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，而构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，即如图所示的阴影部12

3×2－×2

22

分，所以P(A)＝＝. 3×23

2

2

2

2

2

2

6