理科数学(解析版)6：平面向量

2012高考真题分类汇编：平面向量

1.【2012高考真题重庆理6】设x,yR，向量a(x,1),b(1,y),c(2,4)且ac,b//c，则ab （A）5 （B）10 （C）25 （D）10 【答案】B

【解析】因为ac,b//c，所以有2x40且2y40，解得x2，y2，即

a(2,1),b(1,2)，所以ab(3,1)，ab10，选B.

2.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

abb都是非零向量，3.【2012高考真题四川理7】设a、下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）

|a||b|A、ab B、a//b C、a2b D、a//b且|a||b|

【答案】C

abab【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得

|a||b||a||b|或a|a|b|b|为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.

4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是 (A) a∥b (B) a⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=ab 【答案】B

【解析】一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0,

所

a⊥b，故选B

二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角

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线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B

【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。

5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

PAPBPC222=

A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】D

【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设A(a,0),B(0,b),a,b0，

a2b2a2b2a2ba29b2abab222则D(,)，P(,),所以PC()()，PB()(b)，

2244441616441616ab29a2b2a29b29a2b2a2b22222PA(a)()，10()10PC,所以PAPB4416161616161616162所以

PAPBPC22210，选D.

6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，ABBC= 1则BC___.

A.3 B.7 C.22 D.23 【答案】A

【解析】由下图知ABBC= ABBCcos(B)2BC(cosB)1.

1AB2BC2AC2cosB.又由余弦定理知cosB，解得BC3.

2BC2ABBC第2页（共8页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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ABC

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转

化思想等数学思想方法.需要注意AB,BC的夹角为B的外角. 7.【2012高考真题广东理3】若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=

A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10) 【答案】A

【解析】BCBACA(2,3)(4,7)(2,4)．故选A．

8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义．若平面向量a，bn(0,){|nZ}满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab=

42A．

135 B.1 C. D. 222 【答案】C

ab|a|ba|b|2coscos1， 【解析】因为ab，bacoscos2bb|b|aa|a|n|b|1|b|1且ab和ba都在集合{|nZ}中，所以ba，所以cos，22|a|2cos|a||a|32abcos2cos2，因为(0,)，所以1ab2，故有ab．故选C．

42|b|39.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转后，

4得向量OQ，则点Q的坐标是（ ）

(A)(72,2) (B) (72,2) (C) (46,2) (D)(46,2)

【答案】A

【命题立意】本题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题。

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34【解析】【方法一】设OP(10cos,10sin)cos,sin，

5533),10sin())(72,2)． 则OQ(10cos(443【方法二】将向量OP(6,8)按逆时针旋转后得OM(8,，6则

21OQ(2OP)OM(72．, 2)10.【2012高考真题天津理7】已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足APAB，

3AQ(1)AC，R，若BQCP，则=

2（A）

112 （B） 22 （C）

110322 （D） 22【答案】A

【解析】如图

，设ABb,ACc ，则bc2,bc2，又

BQBAAQb(1)c，

CPCAAPcb22，由

BQCP32得

[b(1)c](cb)(1)cb(21)bc32，即

4(1)42(21)1322，整理4410，即(21)0，解得选A.

22a·b=0，|a|=1，|b|=2，

11.【2012高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若则

(A) （B） (C) (D)

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【答案】D

【解析】在直角三角形中，CB1，CA2，AB5,则CD25,所以

AD4444444,即ADAB(ab)ab，选D. ,所以AB5555555

12.【2012高考真题新课标理13】已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab10；则b_____

ADCA2CD24【答案】32 【解析】因为2ab10，所以(2ab)10，即4a4abb10，所以

2224b4bcos4510，整理得b22b60，解得b32或b-2（舍去）.

13.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=________. 【答案】-16

【解析】法一此题最适合的方法是特例法．

202假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34．

34341008cos∠BAC＝．ABAC＝ABACcosBAC16

23417

法二：ABAC(221111BCAM)(BCAM)BCAM1023216. 224414.【2012高考真题上海理12】在平行四边形ABCD中，A3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、

N分别是边BC、CD上的点，且满足【答案】[2,5].

|BM||BC||CN||CD|，则AMAN的取值范围是 。

BM【解析】设BCCNCD=（0≤≤1），

则BMBC=AD,DN(1)DC=(1)AB，

则AMAN=(ABBM)(ADDN)=(ABAD)[AD(1)AB]

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=ABAD+(1)AB+AD+(1)ADAB, 又∵ABAD=2×1×cos

223

=1，AB=4，AD=1，

22∴AMAN=225(1)26，

∵0≤≤1，∴2≤AMAN≤5，即AMAN的取值范围是[2,5].

15.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，

此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为

______________.

【答案】(2sin2,1cos2)

【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA2，即圆心角PCA2,则

,

PCA22,所以

PBsi2n()co2s，CBcos(2)sin2，所以

22xp2CB2sin2，yp1PB1cos2，所以OP(2sin2,1cos2)。

16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________，DEDC的最大值为______。 【答案】1，1

【解析】根据平面向量的数量积公式DECBDEDA|DE||DA|cos，由图可知，

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|DE|cos|DA|，因此DECB|DA|21，

DEDC|DE||DC|cos|DE|cos，而|DE|cos就是向量DE在DC边上的射影，要想让DEDC最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为DC，所以长度为1．

17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量a,b满足：2ab3，则ab的最小值是_____。

【答案】9 8【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。

222ab34ab94ab【解析】2 294ab4ab4ab94ab4abab818.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF2，则AEBF的值是 ▲ ．



【答案】2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由ABAF2，得ABAFcosFAB2，由矩形的性质，得AFcosFAB=DF。

∵AB2，∴2DF2，∴DF1。∴CF21。

 记AE和BF之间的夹角为，AEB,FBC，则。

又∵BC2，点E为BC的中点，∴BE1。

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 ∴AEBF=AEBFcos=AEBFcos=AEBFcoscossinsin

=AEcosBFcosAEsinBFsin=BEBCABCF122212。

 本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

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