三角函数训练题教师版

1131、已知向量a,sinx与 共线，设函数 yf(x)。 cosx22b(1,y)2（Ⅰ）求函数f(x)的周期及最大值；

（Ⅱ）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有 fA3，边321，求 △ABC 的面积． BC7，sinB7

(a2b). 3、设向量a(sinx,cosx)，b(sinx,3sinx)，xR，函数f(x)a(1) 求函数f(x)的最大值与单调递增区间； (2) 求使不等式f(x)2成立的x的取值集合.

(1) f(x)a(a2b)a22absin2xcos2x2(sin2x3sinxcosx) …………

2分

11cos2x3sin2x22(sin2x31cos2x) 2222(sin2xcoscos2xsin)22sin(2x).

666∴当sin(2x 由2k6)1时，f(x)取得最大值4.

22x62k2，得k6xk3(kZ)，

∴f(x)的单调递增区间为[k(2) 由f(x)22sin(2x,k](kZ).

63)，得f(x)4cos(2x).

66由f(x)2，得cos(2x6)1，则2k2x2k， 即2363k12xk4(kZ).

∴使不等式f(x)2成立的x的取值集合为xk12xk,kZ. 4234、已知a(53cosx,cosx),b(sinx,2cosx),设函数f(x)ab|b|.

2（Ⅰ）当x[（Ⅱ）当x[,],求函数f(x)的的值域； 62,]时，若f(x)=8, 求函数f(x)的值； 6212(Ⅲ)将函数y＝f(x)的图象向右平移

π个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐 12233解：(Ⅰ)f(x)ab|b|53sinxcosx2cos2x4cos2xsin2x

2253sinxcosx5cos2x 由

551cos2x53sin2x5 5sin(2x)5； 222266x2,得22x671, sin(2x)1 6266x5时,函数f(x)的值域为[,10]. … 22(Ⅱ) f(x)5sin(2x3)58,则sin(2x), 665674； 所以cos(2x), 6656x2,得22xf(x12)=5sin2x55sin(2x33)57. 662))555sin2x，

126(Ⅲ)由题意知f(x)5sin(2x6)5g(x)5sin[2(x所以g(x)5sin2x；

g(x)5sin(2x)5sin2xg(x)，故gx为奇函数． 向下平移5个单位，

得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性.

5、已知在VABC中，A﹑B﹑C所对的边分别为a﹑b﹑c，若

sinCcosA(Ⅰ)求角A、B、C的大小；

cosAb 且cosBaC(Ⅱ)设函数fxsin2xAcos区间，并指出它相2x，求函数fx的单调递增．．

2邻两对称轴间的距离.

.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:

cosAsinB,得sin2Asin2B cosBsinA∴2A2B或2A2B ,即AB或AB当AB时,有sin(2A)cosA, 即sinA当AB∴AB2

21,得AB,C;

3262时,有sin(2)cosA,即cosA1 不符题设

6,C2 3(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:f(x)sin(2x当2x)cos(2x)2sin(2x) 6366[2k,2k](kZ)时, f(x)2sin(2x)为增函数

226即f(x)2sin(2x6)的单调递增区间为[k,k](kZ).

36它的相邻两对称轴间的距离为

. 26、已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3,3). （Ⅰ）求sin2tan的值；

（Ⅱ）若函数f(x)cos(x)cossin(x)sin，求函数2π上的取值范围． y3f(2x)2f2(x)在区间0，23解：（1）因为角终边经过点P(3,3)，所以

sin133，cos，tan 232 sin2tan2sincostan333 (2) 236f(x)cos(x)cossin(x)sincosx ，xRy3cos(2x)2cos2x3sin2x1cos2x2sin(2x)1

26247,02x,2x 33666 0x 1sin(2x)1，22sin(2x)11 266 故：函数y3f(2π2x)2f2(x)在区间0，上的取值范围是[2,1] 23227、已知函数fxsinxcosx2cosx2 （）求函数fx的最小正周期; () 当x3,时,求函数fx的最大值,最小值 44(1)fxsin2xcos2x2sin2x fx的最小正周期为 47233, ,2x1sin2x444444232fx1 当x,时,函数fx的最大值为1,最小值2 44(2) x,28、已知函数fxsinxcosx2cosx2 2（）求函数fx的最小正周期;

3,时,求函数fx的最大值,最小值 44．解：（1）xy＝（2a＋c）cosB＋bcosC＝0，

() 当x由正弦定理 2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0， 2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0．

12π

sinA(2cosB＋1)＝0． ∵A，B∈(0，π)，∴sinA≠0，cosB＝－，B＝．（2）3＝a2＋

23

a＋c22π22

c－2accos3＝(a＋c)－ac， (a＋c)＝3＋ac≤3＋(2)， ∴(a＋c)2≤4，a＋c≤

2

2． ∴当且仅当a＝c时，(a＋c)max＝2．

9、在ABC中，C120，求

11的最小值. tanAtanB解：C120,AB60,B60A.

11sinAcosBcosAsinBsin(AB)3 tanAtanBsinAsinBsinAsinB2sinAsin(60A)32323.

sinA(3cosAsinA)3sin2Acos2A12sin(2A30)1由题意，0A60，则302A30150， 所以当2A3090，即A30时，

11有最小值23 tanAtanB

11311、已知向量a,sinx与b(1,y) 共线，设函数 yf(x)。 cosx222（Ⅰ）求函数f(x)的周期及最大值；（Ⅱ）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、21B、C，若有 fA3，边BC7，sinB，求 △ABC 的面积．

7312、已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a,b，c，

tanAtanB33tanAtanB,a2,c19. （Ⅰ）求tan(AB)的值； （Ⅱ）求ABC的面积.

解：（I）解tanAtanB33tanAtanB3(1tanAtanB)

tan(AB)tanAtanB3 1tanAtanB13、已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinBcosB1，

b1．（Ⅰ）若A5，求c； （Ⅱ）若a2c，求A． 1261． 因为0B， 2 解：由题意 整理得sin(B)所以55B. 故B，解得B. 由A，且66666312cb. 由，即

4sinCsinBABC，得Ccsin41sin3， 解得c6. 314、已知函数f(x)3sin2xsinxcosx，x[,π].

π2（Ⅰ）求f(x)的零点； （Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.

（Ⅰ）解：令f(x)0，得 sinx(3sinxcosx)0，

（Ⅱ）解：f(x)31π3. ………………8分 （1cos2x）sin2xsin(2x)2232

15、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B， C成等差数列.

（Ⅰ）若b=13，a=3，求c的值；（Ⅱ）设tsinAsinC，求t的最大值.

解：（Ⅰ）因为A,B,C成等差数列， 所以2BAC. 因为ABC， 所以B. 3

sinA(31311cos2AcosAsinA)sin2A() 22422112sin(2A). 因为0A， 4263732A. 所以当2A，即A时，t有最大值.

4666623所以所以sinπ4. .…………5分. 4517、在△ABC中，已知2sinBcosAsin(AC)．

（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若BC2，△ABC的面积是3，求AB．

因为 ABAC4， 所以 AB2. ……………13分 18、已知函数f(x)(sin2xcos2x)22sin22x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象向右平移

1个单位长度得到的，当x[0,

个单位长度，再向上平移8]时，求yg(x)的最大值和最小值. 4 2sin(4x)1. 因为0x43，所以4x. 4444当4x3，即x时，g(x)取最大值21； 4216，即x0时， g(x)取最小值0. 44当4x解：（Ⅰ）因为f(x)(sin2xcos2x)22sin22x

sin4xcos4x2sin(4x) , 所以函数f(x)的最小正周期为.

42 当4x

，即x0时， g(x)取最小值1. …………13分 4420、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinBbcosCccosB． （Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若f(x)sinx+cosx，求f(A)的最大值．

形． ……………………6分

（法2）因为 asinBbcosCccosB，

由余弦定理可得

B2的直角三角形，所以 0A2， 所以 4A44，

所以 22sin(A4)1． 即f(A)的最大值为2．

ABC是

因为△