《直线与圆的位置关系》教学设计 王维刚 （喀左县教师进修学校，辽宁喀左 １２２３００） 《直线与圆的位置关系》选自高中人教Ｂ版必修２第二章， 通过例１。师生归纳总结直线与圆的位置关系判断方法一 是学生在学习直线与圆的方程之后．在已获得一定探究方法 的基础上进一步理性分析．既是对直线与圆的方程应用的延 续和拓展，又是研究圆与圆的位置关系的基础，为后续研究直 线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．具有承上启下的作用．下 面是我对本节课教学过程做的设计． 一、复习巩固 为探究新知识做铺垫复习以下几个问题． １．直线方程的一般式：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ不同时为零）． ２．圆的标准方程：（ｘ—ａ）‘＋（ｙ＿ｂ）‘＝ｒ ． ３．圆的一般方程：】【‘＋ｙ‘＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝Ｏ（其中Ｄ‘＋Ｅ＇－４Ｆ＞０）． ４．点到直线的距离公式：ｄ：—ＩＡｘｏ＋ＢＹｏ＋ＣＩ—． 、／Ａ ＋Ｂ 二、创设情境 首先教师利用多媒体展示一幅太阳从海平面升起过程的 画面，问：这幅美丽的图片带你进入怎样的意境。能否用一句 古诗句形容你看到的画面？ 问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始，通过美丽 的图片创设问题情境，激发学生的学习兴趣，不同学生表达不 同的诗句，启发学生从不同角度看问题结论会有所不同，鼓励 学生多角度看待问题．找准新旧知识的结合点． 师：如果从数学角度出发，你又联想到什么呢？ 师：如果我们把明月看成一个圆．海平面看成一条直线． 直线与圆的位置关系有几种？ 你是如何判断的呢？揭示本节课课题《直线与圆的位置 关系》． 学生：初中是通过直线与圆的公共点的个数判断的。直 线与圆有两个公共点叫做直线与圆相交，直线与圆有一个公 共点叫做直线与圆相切，直线与圆没有公共点叫做直线与圆 相离． 师：现在直线和圆都可以用方程表示，那能不能通过方程 研究直线与圆的公共点的个数问题，从而判断直线与圆的位 置关系？小组讨论给出结论． 学生：可将直线和圆的方程联立求解，有两个解就有两个 公共点，有两个相等的解就有一个公共点，无解就没有公共 点，从而得到直线与圆的位置关系． 这样通过问题引导，学生的思维从“形”的角度转化为 “数”的角度思考，激发学生运用旧知探求新知． 三、探究新知 师：通过具体的例题，小组合作学习用代数方法研究直线 与圆的位置关系问题． 选出一位小组代表进行板演． 例１：已知圆的方程是ｘ‘＋ｙ‘＝２，直线的方程是Ｙ＝ｘ＋ｂ。当ｂ 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公 共点？ 学生：解｛ｔｙ＝ｘ＋ｂ Ｙ ，ｇＳｙ－－ｘ＋Ｍ￣Ａｘ‘＋ｖ‘＝２，得：２ｘ‘＋２ｂｘ＋ｂ￣－２＝ ０，贝０△＝—４（ｂ＋２）（ｂ一２）． 当Ａ＞Ｏ时，即一２＜ｂ＜２，直线与圆有两个公共点： 当Ａ＝０时，Ｉ！Ｐｂ＝一２或ｂ＝２，直线与圆只有一个公共点： 当Ａ＜０时，即ｂ＜一２或ｂ＞２。直线与圆没有公共点． 代数法； ｆ【 （ｘ－ａ ＋Ｌｙ—ｂ ？ 、Ｊ ： 消去ｙ（或 ）得到ｐｘ２＋ｑｘ＋ｔ＝Ｏ： △＞Ｏ甘相交：△＝０铮相切：△＜Ｏ骨相离． 同时学生体会用代数方法解决几何问题的思维方式，真正 把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的”再创造”过程． 师：通过多媒体动画展示刚刚所求直线与圆的位置关系 的变化过程． 让学生再次观看动画，思考圆心到直线的距离发生了怎 样的变化？你有什么发现？ 学生：通过小组交流发现圆心到直线的距离与半径的比 较也能判断直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于 半径时，直线与圆相离；等于半径时，直线与圆相切；小于半径 时．直线与圆相交． 通过动态演示师生归纳总结直线与圆的位置关系的另一 种判断方法——几何法： 圆心（ａ．ｂ）到直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离为ｄ： ｄ＜ｒ§相交；ｄ＝ｒ 相切：ｄ＞ｒ甘相离． 这样学生会体验数学发现和创造的历程，教师渗透数形 结合的数学思想方法． 师：用几何法继续研究例１．（学生板演） 学生：解：圆的半径ｒ＝、／ ，圆心（０，０）到直线ｙ－－ｘ＋ｂ的距 离为： ｌ０—０＋ｂｌ Ｉｂｌ — 当ｄ＜ｒ时，即一２＜ｂ＜２，有两个公共点； 当ｄ＝ｒ时，￣ｌｌｂ＝一２或ｂ＝２，有一个公共点； 当ｄ＞ｒ时．Ｉ￣ｌｌｂ＜一２或ｂ＞２，没有公共点． 四、巩固练习 师：通过两种方法判断直线与圆的位置关系． 练习、已知直线ｈ３ｘ＋ｙ一６＝０和圆Ｃ：ｘ＇＋ｙ＇－２ｙ－４＝Ｏ，判断直线 ｌ与圆的位置关系． 解法一：联立方程｛【 ｘ＋冀：Ｖ— Ｖ一４斗：＝ 消Ｕ 去ｙ ＋ｚ－。， 因为Ａ＝Ｉ＞Ｏ．所以直线１与圆相交． 解法二：圆标准方程为ｘ ＋（ｙ一１）２＝５，圆一ｇ，ｃ（ｏ，１），半径ｒ＝ 、／了， ｄ： ： ＜、／了，所以直线ｌ与圆相交． 、／，面 ２ 师：比较两种方法，并谈谈自己的想法． 学生：几何法比代数法更快，代数法计算量大． 此环节培养学生应用新知独立解决数学问题的能力，通 过解题比较两种方法的优劣，并为学生规范表达数学过程做 出示范． 五、典例讲解 例２、已知圆的方程是ｘ。＋ｙ‘＝１０，求过圆上一点Ｍ（２，、／６） 的切线方程． 师：结合所给图形小组进行分析讨论，并给出解决办法． 学生：由已知得点Ｍ在直线上，所以只要（下转第１０页） ６１ 示元件等。可以搭建教材中的一些电路，输出仿真结果，在课 堂上给学生演示；还可以方便地修改电路的参数，对一些问题 进行分析。 三、在教学过程中。应以学为主。以教为辅 高等教育应注重培养学生的创造性思维和创新能力。笔 者认为在高等教学中，老师的作用应该只是辅助性的，重要的 是通过一些教学方法和手段，激发学生的学习兴趣，调动学生 主动自学思考，让学生在探究性学习中产生思维的火花。老师 应尽可能地给学生创造更大的学习上的自由空间，让学生体 会到自主学习的乐趣。而老师的辅助作用，我认为应体现在这 样几个方面：①注重对学生加以引导；②适时的解答学生的疑 惑；③提纲挈领归纳总结。在这个过程中，老师的辅助手段可 以多样化．辅助方式要有针对性。既可结合课本加强理论指 导，又可在实践中加以点拨，如组织各种学习兴趣小组，通过 这些形式可以提高学生的学习兴趣。巩固所学专业知识，达到 提高学生创新能力和动手能力的目的。 四、根据课程的特点。做到课前集中练习。加强与学生间 的“互动” “高电压技术”课程的特点是“三新三多”，即新概念多、新 名词多和新物理现象多。不少概念是学生前所未闻的所谓“反 常”概念．但在高电压技术领域中却是经常运用的基本概念 ［３＿新概念、新名词在一定程度上可激起学生探究的好奇心， 但容易让部分学生因概念冷僻、难懂、难记而产生听觉疲劳并 渐渐失去学习兴趣。在学习过程中。掌握一系列的新概念、新 名词已成为学生在学习新课程时必须迈过去的一道坎。如何 帮助学生迈过这道坎？笔者采用课前集中练习，所谓课前集中 练习，其具体做法是每次上课，老师提前到达课堂，利用开课 前几分钟的时间将前一次课所讲的基本概念、重要名词、定义 和公式等整理成４至６个小题目，以最简洁的形式书写到黑板 上。然后请同学上台作答，一人一题。做完后由学生自己请其 他同学上台批改、补充、完善，最后由老师讲评，前后过程大约 花费５至８分钟。通过这个环节的师生互动及学生间的互动，让 每个人的注意力都集中在做题、批改和听讲评上，不经意间将 上一次课的核心内容，在互动中被牢牢掌握。以这种方式坚持 个学期．就会收到意想不到的效果。 。一利用配电网仿真实操训练中的考核平台对学生的实际操作 进行考核，同时每做完一次仿真实操训练，都要作一次课堂 教学总结。 六、采用多种形式的考核方式 考核的目的是检查学生对该门课的掌握情况。它可以督 促学生学习，巩固这门课的有关知识，根据该课程的特点，笔 者认为可以采用以下几种形式进行考核。第一，文献查阅。设 有多个项目任务，先对学生进行分组，每个小组成员分任务查 阅大量的相关资料，并且制定项目的可行性方案，成绩占 ２０％。第二，学生平时学习态度的考核，成绩占２０％。平时成绩 包括是否按时上课、是否按要求完成课外作业、实验态度是否 严谨等。第三，课前集中练习和小组答辩。在每一个项目完成 后，教师随机点派小组成员运用多媒体技术对项目完成情况 进行汇报，汇报结束后，其他小组成员和教师可以对该项目组 成员提出一些问题，可以点名让某个学生回答。也可以由小组 成员派代表回答，成绩占２５％。第四，项目文档及试验报告的 制作。对每一个完成的项目及试验，要求制作成文本文档，书 写规范，以便于存档，成绩占２５％。第五。其他。对于积极参加 创新实验、工程实践、专题报告、调研的学生，进行适当加分， 成绩占１０％。采用这样的考核方式，可以极大地调动学生的学 习积极性，培养学生的综合素质，是课程考核方式改革的有益 探索。 七、结语 针对“高电压技术”课程特点，结合学校的具体教学情况 和实验室条件，因地制宜地开展该课程教学方式和方法的改 革与实践，有效地激发学生的学习兴趣．变被动学习为主动学 习，使学生学出自信和成效，让老师和学生共同分享到教学改 革的乐趣和收获，为电气工程类专业课程的教学改革进行有 益的探索。 参考文献： ［１］赵霞，陈永利，栗彦辉．提高“机电控制”课程授课质量 的探索与实践［Ｊ］．中国电力教育，２０１３，（９）：１３１—１３２． ［２］杨泽斌，孙玉坤，谭伦农．电气工程及其自动化专业实 践教学的探索与思考［Ｊ］．南京：电气电子教学学报，２００７。２９ （１）：６９—７１． 五、有计划地安排学生进行配电网仿真实操训练。现场做 课程总结 针对“高电压技术”课程专业性强、实践性强的特点，利用 现有的实验室条件，为该课程专门安排３Ｄ配电网仿真实操训 练，利用３Ｄ虚拟仿真实操系统可以弥补实际现实的不足，并 ［３］张鸿博．提高“高电压技术”课程教学质量的方法探索 ［Ｊ］．中国电力教育，２０１４（１２）：４１—４２． 基金项目：长江大学教学研究项目（项目编号：ＪＹ２０１４０３１ ｏ （上接第６１页）找到直线的斜率即可，因为ＯＭ与直线垂直， 根据已知条件可先求出０Ｍ的斜率，从而得到切线的斜率，利 用点斜式得到切线的方程． 解：直线ＯＭ的斜率为 ＝ ２ ， 该一变式是对例２的归纳总结。完成从特殊到一般的过 程，培养学生的归纳总结能力． 师：上述方法和结论有什么不妥吗？ 学生：没有讨论ｘ ，ｙ 是否为零． 老师带领学生一起讨论，ｘ ＝Ｏ或ｙｎ＝Ｏ特殊情况也成立，从 而完善解题过程，总结结论及应用的条件，从而培养学生细心 规范做题的能力和归纳总结的能力． 直线ｌ的斜率为：一丁Ｖ－＃， 练习：求过点Ｍ（１，Ｖ了）与圆ｘ‘＋ｙ‘＿４相切的直线方程． ，’～ Ｉ 厂 ． ．学生通过计算得出结论ｘ＋、／３ ｙ－４＝Ｏ． 变式：求过点Ｍ（１，３）与圆ｘ‘＋ｖ‘＝４￣３Ｊ的直线方程． 学生小组交流后作答ｘ＋３ｖ－４＝Ｏ． 师：通过直线与圆的位置关系判断方法检验你的结论，看 看有什么发现？ 学生：变式题中所求直线与圆不相切，点Ｍ（１，３）在圆外， 不符合公式的应用条件． 师：这就是下节课我们要研究的问题，为下次课做好铺垫． 六、课堂小结 则直线ｌ的方程为：ｙ一、／百一 ｊ （ｘ一２），即：、／百ｘ＋３ｙ— ５、／百＝０． 通过这样设计引导学生从几何图形分析问题再转化到代 数方法求解． 师：若把条件变成一般式，你又有什么结论呢？ 变式：已知圆的方程是ｘ ＋ｙ －ｒ２求过圆上一点Ｍ（Ｘ０ Ｙ。）的 ，通过学生小组交流汇报、教师补充形式完成课堂小结，充 分体现学生主体地位，培养学生归纳概括能力，使知识系统化． 七、作业布置 作业设计必做题和选做题两部分。这样设计使学生温故 切线方程． 学生用例２的方法求得切线方程为： ０】【＋ｙ０ｙ＝ｆ． １０ 知新、查漏补缺、强化技能，通过必做题和选做题，使不同层次 学生均有所收获。体现因材施教的教学原则．
