数理统计习题答案四

1解：利用最小二乘法得到正规方程：

lxyˆ1nnlxx其中lxyxiyinxy,l2xxxinx2

i1i1ˆ0yˆ1x代入样本数据得到：ˆ10.05,ˆ024.6286 用R分析可以直接得到

Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

1 2 3 4 5 6 -2.28571 1.82857 0.94286 0.05714 1.17143 -1.71429

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 24.628571 2.15 9.2 0.0007 *** x 0.058857 0.004435 13.270 0.000186 *** ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.855 on 4 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.9778, Adjusted R-squared: 0.9722 F-statistic: 176.1 on 1 and 4 DF, p-value: 0.00018

所以：样本线性回归方程为：yˆ24.62860.05x

2证明：

1） 由于ˆN21，所以ˆ11lN0,1

1,lxxxx2又因为：SE2ˆ2n222(n2)，故2(n2)。 ˆ11所以：lxxtn2，ˆ11ˆˆlt2n2n2xx

2n2ˆpˆ11c1，p11clxxˆˆ1

c=ˆt2，所以：ˆˆ1tlnn2

xx12lxx12命题得证。

2）同理得证。

3解：利用最小二乘法得到正规方程：

lˆtynn1ltt其中ltytiyinty,lttt2int2

i1i1ˆ0yˆ1t代入样本数据得到： ˆ10.0472,ˆ00.3145 用R分析得：

Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max -0.049553 -0.0251 0.002805 0.023843 0.051012

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.3144 0.027074 11.615 2.45e-05 *** x -0.047172 0.009839 -4.795 0.00302 ** ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 1

Residual standard error: 0.03746 on 6 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.793, Adjusted R-squared: 0.7585 F-statistic: 22.99 on 1 and 6 DF, p-value: 0.003017

所以：样本线性回归方程为：yˆ0.31450.0472t 拒绝域形式为：ˆ21c

而cˆ2F0.951,6,c0.0058ˆ2l10.0022，所以是显著。 tt

’ ‘ 4解：

1）利用最小二乘法得到正规方程：

lxyˆ1lxx其中lxyˆˆ0y1xnni1xiyinxy,lxxi1xinx

22ˆ2.0698,ˆ3.0332 10用R分析得 Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max -0.074323 -0.025719 -0.002468 0.025209 0.083125

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 3.03318 0.03871 78.35 <2e-16 *** x -2.06979 0.05288 -39.14 <2e-16 *** ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.044 on 15 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9903, Adjusted R-squared: 0.97 F-statistic: 1532 on 1 and 15 DF, p-value: < 2.2e-16

ˆˆ3.03322.0698x，所以：样本线性回归方程为：y2SE2150.0020

2）第二题已证：1的置信区间为ˆ1ˆlxxt12n2，所以代入值计算得到：

1nx2ˆˆ12.1825,1.9571，0的置信区间为0lxxt12n2，代入数值

计算得到：02.95069,3.1160。 （3）cˆlxxt12(n2),经过计算，显著。

2（4）yN(0,(xxlxx11n))

2令s(x)xxlxx22211n，ˆyys(x)N(0,1)

ˆ(n2)2(n2),ˆyyˆs(x)t(n2)

ˆy(yˆts(x)12ˆ(n2),yˆts(x)12(n2))

5)解方程：

ˆˆys(x)t12ˆˆ1.68，ys(x)t121.08

最后求得： x(0.7802,0.8172)

5证明：

ˆ,ˆEˆcov0100ˆ1ˆx1y10ˆ11

ˆˆ2xˆyˆx) E(y110111101ˆ2yx2 y1xE1011101ˆ22xE112121

2ˆDˆ(Eˆ)E12lxx12

若要covˆ0,ˆ10，那么x0。

6解：

1）最小化残差平方和：SE求0，1的偏导数2[yi01(xix)]

2

2SE20S2yi01(xix)0，E2yi01(xix)(xix)01lxylxxˆy,ˆ得到：01

2）证明：

n2in2inniyi1yyi1ˆiyˆiyy(yi1ˆi)(yˆiy)2yiyˆi(yˆiy)y22i1ˆˆ(xx)yˆi其中：y01i2lxylxxnˆi(yˆiy)0 (xix)将其代入，得到yiyi1nnyiyi1(yi1iˆi)2(yˆiy)2 y2ˆ~N(,ˆy，3）i~N(0,2),000ˆ~N(, 同理，易得11n)

2lxx)

7解：1）令vlvyˆ1lvvˆˆ0y1vx,yabv，根据最小二乘法得到，正规方程：

ˆ1.1947,ˆ106.3013 ，最后得到10ˆ106.30131.1947x，R0.8861 所以：样本线性回归方程为：y2）令vlnx,yabv

lvyˆ1lvvˆˆ0y1vˆ1.714,ˆ106.3147 ，得到10ˆ106.31471.714lnx，R0.9367 所以：样本线性回归方程为：y3）令v1x,yabv

lvyˆ1lvvˆˆ0y1vˆ111.4875,ˆ9.833 ，得到10ˆ111.48759.833x，R0.987 所以：样本线性回归方程为：y综上，R3相关最大

8解：

Yy1,y2,y3T10TT,X21,(1,2),1,2,3

12YX

2S2EYX1YY2YXXXTTTT

SE20

ˆXTXˆ11XYT

ˆ1(YY) (Y12Y2Y3),22366

9解：

YX由多元线性模型得： 20,I140,1,2,Yy1,y2yn,1,2n

141145151152159162169X172178180190192198110349586271627471ˆXTX74798485949195TTT1XYT

ˆ15.93840.5223x10.4738x2 代入数值得到：y用R分析得

Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2, data = weight)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max -2.7400 -1.1550 -0.13 0.8862 3.92

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -15.93836 3.8 -4.133 0.00166 ** x1 0.52227 0.08532 6.121 7.51e-05 *** x2 0.47383 0.12243 3.870 0.00261 ** ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’1

Residual standard error: 1.81 on 11 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.9905, Adjusted R-squared: 0.9887 F-statistic: 570.5 on 2 and 11 DF, p-value: 7.757e-12

同样得到：yˆ15.93840.5223x10.4738x2

10解：

用R分析得 Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max -8.4750 -5.3674 -0.4031 4.1193 9.9523

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 111.69182 23.53081 4.747 0.00209 ** x1 0.01430 0.01113 1.284 0.24000 x2 -7.18824 2.55533 -2.813 0.02603 * ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.213 on 7 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.44, Adjusted R-squared: 0.83 F-statistic: 29.65 on 2 and 7 DF, p-value: 0.0003823

得到回归方程：yˆ111.69180.0143x17.1882x2

11解：

0.1 ‘ ’ 0,1,2,Yy1,y2yn,1,2n

1Xx1x211x2x12TTT1xn ˆXTX2xnT1XYT

2）

n2in2inniyi1yyi1Tˆiyˆiyy(yi1nˆi)(yˆiy)2yiyˆi(yˆiy)y22i1ˆxxxˆ其中:y=x21ˆi(yˆiy)0x，将其代入，得到yiyTi1

nnyiyi1(yi1iˆi)2(yˆiy)2 y

12解：1)令xx1,xx2，

用R分析得：

Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand)

Residuals:

1 2 3 4 5 6 7 8

1.18333 -1.55238 -0.80714 0.61905 0.92619 0.01429 -0.21667 -0.16667

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 3.41667 0.90471 3.777 0.01294 * x1 2.72619 0.60377 4.515 0.00631 ** x2 -0.39048 0.08293 -4.708 0.00530 ** ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.075 on 5 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.816, Adjusted R-squared: 0.7424 F-statistic: 11.08 on 2 and 5 DF, p-value: 0.01453

ˆ3.41672.7262x0.3905x2 求得回归方程为：y22) 拒绝域形式为：ˆ12c

而cˆF0.951,62lxxˆ2，所以是显著。 13)将x5.5代入回归方程，得到yˆ6.5982 13 解

1,2,Yy1,y2yn,1,2

TTTx11Xx21SEYXSE2x12x222Tx1n x2nTTTT2YY2YXXX

Tˆ0，得到XX1XY

T

常用统计术语：

(1) regression analysis 回归分析

(2)regression equation 回归方程 (3)regression forecasting 回归预测 (4)regression variance 回归方差 (5)linear regression 线性回归 (6)non-linear regression 非线性回归

(7)sample regression line 样本回归直线 (8)least square estimation 最小二乘估计 (9)linear model 线性模型 (10)regression diagnostic 回归诊断 (11)residual sum of squares 残差平方和 (12)residual variance 剩余方差 (13)influence case 强影响点 (14)outlier 异常点