维普资讯 http://www.cqvip.com 第３４卷第６期 成都理工大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．６ ２００７年１ ２月 ＪＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＣＨＥＮＧＤＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＩ ＯＧＹ（Ｓｃｉｅｎｃｅ＆ Ｆｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．２００７ ［文章编号］１６７１－９７２７（２００７）Ｏ６—０６３４—０５ 基于电子化供应链管理的 动态定价数学模型的研究 张 勇 路应金 杨 洪。 （１．电子科技大学管理学院，成都６１００５４；２．成都大学信息科学与技术学院，成都６１０１０６） ［摘要］随着不确定性因素在商业交易中的越来越突出的影响，考虑价格随机波动的动态定价 研究成为管理经济学的重要课题。作者把随机误差所带来的不确定因素引入制造商主导定价 数学模型，引入零售价格的期望、方差和转移价格的期望，将不完全信息博弈转化为完全信息 博弈，并结合最优生产和存储模型，运用泛函极值方法解决供方先动需方后动的转移价格定价 问题。获得了最优转移价格的预期 的结构模型和预期价格与价格波动的比例关系，进而指 出掌握定价主动权的制造商一方掌控了大部分利润。 ［关键词］数学模型；随机波动；动态定价；不完全信息博弈；泛函极值 ［分类号］Ｆ２７３；０１４１．４ ［文献标识码］Ａ 在网络环境和电子商务条件下，Ｉｎｔｅｒｎｅｔ全 模型，运用泛函极值方法解决供方先动需方后动 球到达的特性，导致了需求或供给的不可预测性 的完全信息博弈的最优定价问题。 大幅增加，同时较低的菜单成本支持交易者依据 市场条件的变化更为频繁地对价格作出相应的调 １ 模型基本分析和假设 整；因此，需求和价格都在随机波动，静态地给出 我们假设某新产品上市处于垄断阶段，市场 需求价格模型来确定最优价格越来越低效口ｌ￣［ 。 上只有一个制造商和一个销售商。由于是新产 很多学者研究了动态的定价模型，有文献讨 品，制造商占主导地位，并且对销售商的市场需求 论了在需求函数中加入时间因素后的制造商主导 可以进行预测的环境下，制造商根据自己利润最 定价模型 ；或提出了把不确定因素引入经济模 大化的原则，确定自己产品的转移报价；然后由销 型，建立价格理性预期模型的想法［５ ；也有较全面 售商根据自己利益最大化来确定最佳订货数量。 地展示了动态博弈、非线性定价的优化和支配型 可以把这个过程看成采取分散决策的不完全信息 企业价格领导模型 ］。本文在以上文献的基础 博弈。本文把不确定性因素作为一个内生变量引 上，进一步讨论把电子商务环境中不可避免的随 入到模型中，假设消费市场上对该产品的需求量 机误差所带来的不确定因素导入制造商主导定价 不仅和价格相关，也和价格的不确定因素——价 模型，引入了不确定量的期望和方差，将不完全信 格的波动幅度相关，用价格的方差来表示价格的 息转化为完全信息博弈，并结合最优生产和存储 波动。 ［收稿日期］２００７—０３—１９ ［基金项目］数学地质四川省高校重点实验室资助；教育部博士点基金项目（２００３０６１４０１１）；国家杰出青年科学基金项 目（７９７２５００２）；中国博士后科学基金项目（７９７２５００２） ［作者简介］张勇（１９７２一），男，讲师，主要从事供应链管理、收益管理、数学建模和统计与数据挖掘研究， Ｅ—ｍａｉｌ：ｐａｓｔｕｒｅｗｉｎｄ＠１６３．ｃｏｍ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期 张 勇等：基于电子化供应链管理的动态定价数学模型的研究 Ｃｈ—ＰｌＱ十Ｃｌ 计ｃ ・６３５・ ２供应链模型 ２．１销售商的最优订货决策 （５） 制造商根据已知的信息，由利润最大化先给 出销售价Ｐ，的条件下，配送商选择其最佳订货 量。假设销售商进货时间是固定的，周期是常数 其中Ｃ 是固定采购费用，从而总成本Ｃ丁Ｓ为： ＣＴＳ— ＋Ｃｓ （６） 销售商的收入为： 丁；在根据销售利润最大原则下预测订货量以后， 提前Ｋ天订货，商品在第Ｋ天送达。 把不确定性因素作为一个内生变量引入到模 型中，销售商可以在网站上根据市场需求来制定 价格。在这个周期内消费者对销售商的需求函数 假设如下： ｑ （￡）一Ｄ（ｐ （￡），ＰＹ，“１） 一日一ｂｐ （￡）＋ ＋“ｌ （１） 式中：Ｐ （￡）为ｔ时刻的销售价格，ｑ （￡）为ｔ时刻的 需求量，二者为随机过程；ＰＹ为价格的方差（恒 定），反映价格的波动程度，当 为负值时表示消 费者厌恶价格的波动，当 为正值时表示消费者 偏好价格的波动；“，为随机扰动项；参数ａ，ｂ＞０。 由于制造商占主导地位，确定了批发价格 Ｐ ；销售商在最大化销售利润的条件下制定销售 价格Ｐ （￡），市场对Ｐ （￡）产生符合需求函数（１）的 需求量ｑ （￡）。假设在Ｐ （￡）下的所有需求量应该 得到满足，该周期的订货量是瞬时需求量ｑ （￡）的 累积量，即： Ｑ—Ｉ ｑ （￡）ｄｔ （２） 时间０到丁中任意时刻．２７的库存量为： Ｑｓ—Ｑ—Ｉ ｑ （￡）ｄｔ —Ｉ ｑ （￡）ｄｔ—Ｉ ｑ （￡）ｄｔ —Ｉ ｑ （￡）ｄｔ （３） 设单位产品在单位时间的库存成本为ｃ ，库存成 本为： Ｃｓ—ｊ。ｃｚ‘Ｑｓ（ｘ）ｄｘ—ｃｚｊ。（ｊ ｑ ）出）ｄ ＿ｆ２ ｄ ＿ｆ２ ０ ０ 舢 ）ｄ ｒＴ —ｆ２ Ｉ ｔ・ｑ （￡）ｄｔ （４） 其中Ｄ是由．２７—０，．２７一Ｔ，ｔ一．２７，ｔ—Ｔ四条直线围 成的三角形。采购成本为： ｒＴ 一Ｉ Ｐ （￡）ｑ （￡）ｄｔ √ｏ — 『 一 １ ｑ （ ）＋ ＋ ］ｑ （ ）ｄ —ｆｌｅ ａ ㈤一 ㈤ ＋ ㈤＋ ㈤ （７） 该订货周期的利润为： Ｒ 一Ｉ 一Ｃ丁Ｓ—Ｉ 一Ｃｂ—Ｃ 一肌 １ ２㈤ ＋ ㈤＋ ㈤ ｒＴ Ｔ Ｐ１ Ｉ ｑ （￡）ｄｔ—ｆ２ Ｉ ｔ×ｑ （￡）ｄｔ—Ｃｌ Ｔ一 ｌ＿ｑａ ）一＿ｑ１ ） 。＋ ㈤＋＿ｑＩＩ１ ） Ｄ Ｄ 一加 ）＿ ㈤ ＿Ｃ （８） 销售商预测并选择该周期的供货量ｑ （￡）及其相 应的销售价格Ｐ （￡）（假设各期供货量等于需求 量）使利润Ｒ 最大。设： Ｆ一 ｑ （￡）一 １ ｑ ２（￡）＋ ｑ （￡） ＋＿ｑＩＩ１ （￡）一 ｌ吼（￡）－－Ｃ２ｔ×ｑ （￡） 据最简泛函极值的必要条件——欧拉方程 ，要 使利润Ｒ 最大，则要： 砜ａａｑ Ｆ一 ［￡］ ｄｄ（￡Ｉ ａｑ ［￡］Ｊ） ｕ一。 （９） 解微分方程得ｔ时刻的最佳利润时的销售量函数 为： ｑ （￡）一 （口一ｂｐ ＋ 一ｂｃ ２ｔ＋“ ） （１０） Ｑ 即为制造商先确定其批发价后销售商的最佳 订货量： 维普资讯 http://www.cqvip.com ・６３６・ 成都理工大学学报（自然科学版） 第３４卷 一 丁 （Ｏ ￡）ｄ￡， 一一丢６ ｃ Ｔ ＋（。一 ＋ 户 ＋ｕ１）Ｔ， 户 ≤ 口 （１１） 户 ＞ 口 ２．２制造商确定最优生产计划和转移价格的理性预期 假设市场的需求函数、销售商的订货周期对制造商都是透明的，因此销售商的订货量可以预测，从 而可以确定利润最大化下的批发价格Ｐ 。制造商与销售商签订订货合同，按价格Ｐ 购人数量为Ｑ 的 产品，在时刻Ｋ时提交。 对制造商来说，要考虑销售收入、生产费用和储存费用。销售收入为价格乘以订货量；生产费用通 常取决于生产率（单位时间的产量），生产率越高费用越大；储存费用由已经生产出的产品和到期时间决 定。 在不考虑资金的时间价值的条件下，设生产计划为到时刻ｔ为止的累积产量，记作ｚ（￡）。因为时刻 ｔ的生产率（边际产量）表示为 （￡），所以ｔ时刻的单位时间的生产费用（边际生产费用）可以记作ｆ（ｘ （￡）），单位时间的储存费用（边际储存费用）记为ｇ（ｘ（￡）），单位时间的收入或产值（边际收入）为 （ｚ （￡））。于是从ｔ一０到￡一Ｋ的总费用Ｃ（ｚ（￡））是： Ｃ（ｚ（￡））一Ｉ Ｅｆ（ｘ （￡））＋ｇ（ｚ（￡））］ｄｔ （１２） 为了确定函数的具体表达式，我们假设： （１）单位时间内生产率提高一个单位的生产费用的变化率与这时的生产率成正比，比例系数为 ， 有 一 ｚ ）’目ｐ： ｆ（ｘ （￡））一ｋ１ Ｅｘ （￡）］ （１３） （２）单位时间储存费与储存量ｚ（￡）成正比，比例系数为ｋ ｚ，即： （ｚ（￡））一ｋ ２ｚ（￡） （１４） 从ｔ一０到ｔ－－￣Ｋ的总收入：－ Ｊ（ｚ（￡））一Ｉ （ｚ （￡））ｄｔ—Ｉ Ｐ１ｚ （ｔ）ｄｔ （１５） 从￡一０到￡＝＝：Ｋ的利润为： Ｒ—Ｒ（ｚ（￡））一Ｊ（ｚ（￡））一ｃ（ｚ（￡））一Ｉ （ｚ（￡））ｄｔ—Ｉ Ｅｆ（Ｔａ （￡））＋ｇ（ｚ（￡））］ｄ￡ 一Ｉ［户１ｚ （￡）一ｋｌｚ （￡）一ｋ２ｚ（￡）］ｄｔ （１６） ｚ（Ｏ）一０， ｚ（Ｋ）一Ｑ （１７） 问题归结于求泛函Ｒ（ｚ（￡））的最大值，由变分法求解。记ＭＲ（ｔ，ａＴ，ａＴ ）一Ｐｌ ａＴ 一ｋｌｚ 一ｋ ２ ，根据 最简泛函极值的必要条件——欧拉方程，要使利润Ｒ最大，则要： ａｚ ｄ一 ￡（＼ｄ ｚ Ｊ 可以获得二阶微分方程： 一ｋ ２＋２ｋ１ｚ （￡）一０ 在约束条件（１７）下解为： 一 这就是使利润最大的生产计划。显然应该有ｚ（￡）≥Ｏ，Ｏ≤￡≤Ｋ，从而可以得到： Ｑ＊≥ （１９） 维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期 张 勇等：基于电子化供应链管理的动态Ｙ＿４ｋ￣学模型的研究 ・６３７・ 即仅当销售商的订货量满足条件（１９）的数量时，（１８）式确定的生产计划才是最优的。如果Ｑ ＜志ｚＫ ／ ４志 时，可以将开始生产时间向后推迟，使得开工时间ｆ—ｔ （＞Ｏ）到ｆ＝Ｋ的时间差Ｋ满足Ｑ 一是ｚＫ ／ ４走 时生产计划是比较好的策略。 将ｚ（ｆ）代人（１６）式求得给定Ｐ 后按生产计划ｚ（ｆ）进行生产的最大利润： Ｒ 一 ４８ｋ一 一 ２＋ １Ｑ 一 １， Ｋ （２Ｏ） 将（１１）式中销售商最佳订货量Ｑ 的非零值代人（２Ｏ）得： Ｒ 一 ＋（ 等）『一 Ｔ 一 ）Ｔ］ （２１） （２２） ｛ ｚ Ｔ ＋ 一ｂｐ ＋Ａｐ ７ ）Ｔ］ ８ｂ（Ｋ＋ｂ ｋ Ｔ） 显然，Ｒ是定价Ｐ 的二次函数，开口向下，适当取Ｐ 的值使得Ｒ最大，即解ｄＲ／ｄｐ 一Ｏ，有： ２ｂＺｃｚｋｌ Ｔ２＋４ａ（Ｋ＋２ｂ ｋｉ Ｔ）＋４Ｋ（Ａｐ：＋ｕ１）＋２ｂＫ Ｚｋ２－－ｂ ｃ ｚＫＴ＋８ｂ ｋｌ Ｔ（Ａｐ￣＋ｕ１） １一 制造商对最优定价的预期值 ｉ为Ｐ 的数学期望： —Ｅ（Ｐ１）一 堕 ｛ 軎 ８ ｂ Ｋ （＋ ｂ ｋ Ｔ ） 二 ＋ ＋ ２ｂ Ｋ 。 （＋ ｂ ｋ 】 Ｅ ｃ （２３） … 销售商的转让价ｐ 的方差 假设是常数，则 ‘）“ 这样， 由两项构成，一项由模型的结构所 决定，另一项包含零售价格的波动 ；于是，当 ＞Ｏ时（消费者偏好价格波动），预期价格 ｉ与 改。 以０为均值，所以在计算时取ｑ （ｆ）的数学 期望代替ｑ （ｆ）。 由（２３）式得 ｉ≈３１４．７８＋０．３２Ａｐ￣一 成正比例， 越大， 也越大，这与资产组合理论 中风险高的资产预期收益也高的情况是一致的。 可见，在信息不完全性的前提下，经济人的预期与 不确定性因素不仅密切相关，而且还存在着一定 的比例关系。 ３０５．３１，由（１１）式知 ｉ≤３２１．５８，则制造商主导 定价下的最优销售量为Ｑ 一３６０。 根据（２１）式和（８）式，此时制造商获得最大利 润为Ｒ 一５８ ０２８．６，分销商获得最大利润为Ｒ 一 １ ２９５．１７。 ３ 算例 假设（１）式中的ｎ一１ ０００，ｂ：３， 一一２（市 场厌恶价格波动）， 一１５，则一个订货周期内消 从数据模拟可以看出，由于单向的透明和垄 断条件下的主导定价，制造商掌握了主动权，从而 掌控了绝大部分利润。 费者对商品的需求函数为： ｑ （ｆ）一９７０—３ｐ （ｆ）＋ １ ４ 结论 相对于确定性问题，含价格随机波动的假设 假设定货周期Ｔ＝７ ｄ，根据运输等条件确定提前 期为２ ｄ，即Ｋ—Ｔ一２—５ ｄ；假设生产率提高一 个单位的生产费用的变化率与生产率的比例系数 为ｋ ／２：１，单位时间储存费与储存量ｚ（ｆ）的比 例系数为ｋ 一０．０５；一次采购费用为Ｃ 一１００ 元，单位产品在单位时间的库存成本为ｃ 一１元。 以上数据可以由实际统计和预测数据来调整和修 更加接近实际。随着电子商务的发展，要求预测 和决策更加可靠，从而对随机问题的研究变得越 来越重要。本文在这方面做了一些尝试，获得了 终端销售价格随机波动环境下分散决策的最优定 价策略（见公式（２３）），对于解决含不确定性因素 的商品交易问题有重要的应用价值。 维普资讯 http://www.cqvip.com ・６３８・ 成都理工大学学报（自然科学版） 第３４卷 ［ 参 考 文 献 ］ ［１］罗掌华，刘鲁．Ｉｎｔｅｒｎｅｔ交易中的动态定价机制研究 ［Ｊ］．北京航空航天大学学报（社会科学版），２００５，１８ （１）：２２～２５． ４５：２４—４１． ［４］柳键，赖明勇，张汉江．基于趋势需求的供应链订货与 定价决策优化［Ｊ］．系统工程，２００３，２１（５）：４８—５３． ［５］曹彩霞，张燕．含不确定性因素的理性预期模型［Ｊ］． 北京联合大学学报（自然科学版），２００４，１８（１）：３６— ３８． ［２］ＫＡＮＮＡＮ Ｐ Ｋ，ＫＯＰＡＬＩ Ｅ Ｐ Ｋ．Ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｉｃｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎｅｔ：Ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ａｎｄ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｎ— ｓｕｍｅｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎ— ｉｃ Ｃｏｍｍｅｒｃｅ，２００１，５（３）：６３—８３． ［６］唐小我，曾勇，李仕明，等．管理经济分析——理论与 应用［Ｍ］．成都：电子科技大学出版社，２０００． ［７］姜启源，谢金星，叶俊．数学模型［Ｍ］．北京：高等教育 出版社，２００３． ［３］ＧＡＬＬＥＧＯ Ｇ，ＶＡＮ ＲＹＺＩＮ Ｇ Ｊ．Ａ ｍｕｈｉｐｌｅ ｐｒｏｄｕＣｔ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｉｃｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｎｅｔｗｏｒｋ ｙｉｅｌｄ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９９７， Ａ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｉｃｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｅ—ｓｕｐｐｌｙ ｃｈａｉｎ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ＺＨＡＮＧ Ｙｏｎｇ 。Ｌｕ Ｙｉｎｇ～ｊｉｎ 。ＹＡＮＧ Ｈｏｎｇ。 １．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１ ００５４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｔ，ｒｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１ ０１ ０６，Ｃｈｉｎａ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｆａｃｔｏｒ ｏｎ ｂｕｓｉｎｅｓｓ ｔｒａｄｅ ｉｓ ｇｅｔｔｉｎｇ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ，ａ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｉｃｉｎｇ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｉｃｅ ｒａｎｄｏｍ ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ ｂｅｃｏｍｅｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｍａｎａｇｅｒｉａｌ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｆａｃｔｏｒ ｔｈａｔ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｉｃｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒ ｐｒｅｄｏｍｉｎａｎｃｅ． Ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｔａｉｌ ｐｒｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｐｒｉｃｅ， ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｇａｍｅ ｏｆ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｇａｍｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｂｉｎｅ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｔｏｒａｇｅ ｍｏｄｅｌ ｔｏ ｒｅｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｐｒｉｃｉｎｇ ａｂｏｕｔ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｐｒｉｃｅ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘｔｒｅｍｕｍ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ａｃｑｕｉｒｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｏｐｔｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｐｒｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｃｅ，ａｎｄ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ａｃｔｉｖｅ ｐｏｗｅｒ ｔｏ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｐｒｏｆｉｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ；ｒａｎｄｏｍ ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ；ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｉｃｉｎｇ；ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｇａｍｅ； ｅｘｔｒｅｍｕｍ ｏｆ ｆＩ】ｎｃｔｊｏｎ
