如 化与认知活动的有机融合 充和夏欺的概念”教学同课并构 ｛：较研宄 吴增生（浙江省仙居县教育局教研室） 体现数学文化价值是高中数学课程的基本理念之一．人教版 （２）数ｉ与实数之间可以进行四则运算，且交换律、结合 师：这样规定后，实数与ｉ之间的运算结果可能有：３＋ｉ， 高中数学课标教材中，除了单独设置“数学史选讲”等专题外， 律、乘法对加法的分配律仍然成立． 还在许多知识的学习中体现了数学文化的教育价值，如选修２－２ 体现数学文化教育价值的好素材． 第三章“数系的扩充和复数引入”就是在数学知识学习过程中 ３ｉ，３＋３ｉ，…，于是，在实数集中加入数ｉ后，出现的所有可 能的数都可以用。＋ｂｉ（ｏ∈Ｒ，ｂ Ｒ）表示，我们把这些数叫 师：请大家思考：这样得到的复数集与我们以前学习的自 生，：Ｎ Ｚ Ｑ Ｒ Ｃ． 最近，笔者有幸观摩了几位教师的“数系的扩充和复数的 做复数，用 表示，把集合Ｃ＝｛ａ＋６ｉｌｏ Ｒ，ｂ Ｒ｝叫复数集． 概念”的同课异构课堂，从中领略了不同的教师在该内容的教 题，供大家研讨． 一学中体现数学文化教育的处理方法，也发现了一些共同性的问 然数集Ｎ、整数集ｚ、有理数集Ｑ、实数集Ｒ有什么关系？ 课例中体现数学文化教育价值的做法 、师：在复数 ＝ｏ＋ｂｉ（ｏ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ）中，可能有什么情 况？比如当ｂ＝０时—— 生（齐声地）：是实数． 师：当ｂ≠０时，我们把ｚ＝Ⅱ＋６ｉ（０∈Ｒ，ｂ∈Ｒ）叫虚数， 师：大家会对复数集进行分类吗？ 生 ：复数可分为实数和虚数． 师：对，而且虚数还可以分成 课例１ 先请学生回顾从小学到高中所学过的不同的数：小学一、 二年级—数数一自然数；小学三年级开始～除不尽的数一分数； 数一无理数，这样数的范围从自然数集到非负有理数集再到有 理数集最后到实数集；让学生感悟数的范围是随着数学学习的 深入而不断扩充的． 初中七年级一不够减的数一负数；初中八年级一开方开不尽的 当Ⅱ＝０，ｂ≠０时，ｚ＝ｂｉ叫纯虚数，ｉ叫做虚数单位． 师：到现在为止，我们所接触的数都是实数，那么实数是 纯虚数和非纯虚数，因此我们进一步 否就够用了呢？让我们看方程： ＝一１，这个方程在实数范围内 得到（如图１）：…… 有解吗？ 生：无解． （教师在课堂小结中介绍了复数形 成的数学史．） 图１ 师：怎么办？我们想办法引入一个新的数，使这个方程有 【点评】在这一课例中，教师用伴随学生成长的数系不断扩 解．那么引入的数有什么特征？要使类似的方程有解，比如 ＝ 充过程引发学生对数的扩充思想的感悟，努力让学生以自身有 一９，就是求ｘ／－ｚ￣，如果只是从形式上规定它有意义，并且可以 关数系的学习经历为参照理解数系扩充的动力和基本思想，却 与实数一样进行运算，那么、／二 ＝、／ 丽：：一１有解的关键是ｘ／：Ｆ有意义，同样ｘ／－ｚｑ－有意义等价于 ＝３Ｖ２Ｔ－，而使 难以让学生感悟数系发展的真正动力（生活实际需要和对数学 内部进行逻辑思辩的结果）；其次，课例中数系扩展的基本原则 基本没有涉及，学生基本没有感悟为什么引入的虚数单位ｉ要满 足两个条件；第三，在引入虚数单位ｉ后，复数的统一表示方式 ＝口＋ｂｉ（ａ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ）怎么产生的？学生不甚了解；第四， 、／＝ｒ有意义，那么怎样规定、／＝１ｕ＿的意义？ 我们规定：ｉ＝、／＝＿ｒ，这样，我们引入了一个新的数ｉ（我 们称之为虚数），它满足下面条件： （１）ｉ ＝一１； 课例中复数概念不是学生经过逻辑思辩自然合理地发现的，而 是教师告诉学生的，课堂中学生的参与率不高，参与的深度不 中国数学教育［２００９卑第１１期ｊ ７ 够；第五，课例中的数学史介绍游离于复数概念形成之外，是 师的告知，而没有自己的感悟．综上所述，这个课例中没有有效 嫁接的，因此，课例的数学文化就显得很单薄． 课例２ 地利用数学吏作为启发学生思考的线索，这种为介绍数学史而 介绍数学吏，谈不上进行了数学文化与数学认知活动的有机融 合，数学文化价值也远没有得到应有的体现． 课例３ 阶段１：提出问题． 在这节课的开始，教师指出，数学是发展的，数学发展的 动力有外部因素，也有内部原因，接着，教师引用了教材的章 首图，指出了复数引入的基本思想和复数的广泛应用． 师：（介绍已学过数系的扩展过程．） 塑煎 自然数 负数ｃ整 ｊ分数 有 薜 无理数ｃ实数 医 至至三三 至 ｆ ＋ｖ＝１０． 问题：已知两个数的和为１０，积为４０，求这两个数． 生 ：不存在，设这两个数为 ，Ｙ，则｛ ’ ，Ｙ是 Ｌｘｙ＝４０． 方程 一１０ｘ＋４０＝０的两根，因为△＜０，所以无解． 师：我们把这个问题一般化，关于 的方程似 ＋ ＋ｃ＝０ 中不 （ａ＃Ｏ）的根怎么求？ 生 ： ：＿－ｂ＋Ｘ／￣－４ａｃ，其中需要条件ｂ：一４ｎｃ≥０． 数中 师：为什么？原因：负数不能开二次根！这就产生了矛盾． 阶段２：解决问题． 负有 师：类比前面学习过的数系的扩展过程，我们先看方程 ＋ 的扩充解决了某些运算在原来数集 １＝０甘 ＝一１在实数范围内无解，为了解决这个问题，我们设 不可行的问题． 想引入一个新数，并且规定： （１）ｉ ＝一１； 图 数系的扩充规则：原来数系中的运算法则和运算律在新的 数系中仍然成立． 师：实数集中有没有矛盾呢？请解方程： ＋１＝０． 生（齐声地）：无解． （２）新引进的数ｉ和实数之间仍然能像实数系那样进行加法 和乘法运算，并希望加法与乘法的运算律（包括交换律、结合 律和乘法对加法的分配律）仍然成立． 师：我们这样扩充实数集，使这个方程在新数集中有解？ 于是有形如ｏ＋６ｉ，６ｉ，。＋ｉ的数，说明新数是由实数和ｉ 把 ＋１＝０变成 ｚ＝一１，我们引人一个新数ｉ＝、／二Ｔ－，则这个 构成的，这样我们就得到了一个新的数集Ｃ＝｛ｏ＋蚓。 Ｒ，ｂ ＲＩ． 方程就有解 ＝±ｉ了【接着介绍欧拉用ｉ表示虚数单位的史料）． （教师接着简要介绍了欧拉用符号表示复数的史料．） 师：引入新数（虚数单位）ｉ后，规定： （１）ｉ ＝一１； 【点评】在这个课例中，在课堂的开始和复数概念初步形成 成过程，学生也知道了数学的发展动力既来自于外部需要又来 （２）ｉ与Ｒ中的数可以运算，且所有运算律（加法结合律、 时简要介绍了数学史，至少使学生了解了历史上复数概念的形 交换律，乘法结合律、交换律，乘法时加法的分配律）都成立． 这样我们就扩充了实数集Ｒ． 由于ｉ可以与实数进行运算，且运算律仍然成立， 能 自于内部矛盾，学生也知道复数形成是解方程和负数开平方的 需要．但教师只是为了介绍数学史而介绍数学史，没有让历史上 产生下面的数：ｉ ＝一１，ｉ＋Ⅱ＝ ＋ｉ；ｉ６＝ｂｉ，０＋６ｉ，…，由此 数学专家的思想成为启发学生思考和探究的线索．提出设想中的 得到形如ｏ＋ｂｉ（ｎ Ｒ。ｂ ｅＲ）的数，把具有这种形式的数叫 虚数单位有一定的依据，给出规定（１）也有一定依据（是为了 做复数． 使一１可以开平方），但规定（２）是怎样来的？为什么要这样规定？学 生并不知道．其次，为什么得到的新数都可以表示成ｎ＋ｂｉ（ｎ Ｒ， 【点评】这个课例中，教师在引导学生回顾以前学过的各种 ｂ Ｒ）？由于学生没有经历过根据规定（２）把ｉ与不同的实数进 数的基础上，介绍了数系发展的外在动力和内在动力，引导学 行形式“运算”再进行归纳的过程，因此，学生只是接受了教 生比较自然地提出“使方程 ＝一ｌ有解”这一问题，同时也给 ８…［２…００９～一 …１ｔ～霸－『车画薮举薮 出了数系扩展的基本原则，学生能比较自然地想到需要引入新 的启发应用于自己今后的数学学习和探究过程，使之内化为自 数ｉ，并且ｉ ＝一１；教师也能引导学生根据规定（２）写出各种复 己的观念，提升自身的数学文化品位．数，从而归纳出复数的一般形式ｎ＋６ｉ ∈Ｒ，ｂ Ｒ）．但没有引 数系是最基本的代数结构，它的本质是运算法则、单位元 导学生充分利用前面的总结结论，使学生自然合理地想到规定 素、逆元素和运算律所反映的代数结构属性，通过对学生已有 （２），这就削弱了数学史的启发学生思考的价值． 二、课例同存在的问题 学习经验的再加工，让学生体会数系的上述本质属性是数学课 堂教学突出数学本质的需要． 首先，上面三个同一学习内容的不同课堂片断中，课例１ 由于本章学习内容具有良好的可探究性和良好的数学文化 采用了学生学习经验作为引入复数概念的出发点，把数系扩展 接口，而且整章内容始终沿着“复数的概念形成一复数的几何 的数学史渗透到学生的学习经验中，并在形成复数概念后集中 意义一复数代数形式的四则运算一复数运算（只限加减）的几 介绍复数形成的史料；课例２和课例３都采用从数系发展史中 何意义”展开，具有从概念理解到运算理解（数形结合理解） 提出实数集中运算的矛盾：方程 ＝一１无解，从而提出扩充实 的系列性，因此，本章学习内容适合于采用单元整体教学． 数集，使该方程有解的认知操作任务．虽然三个课例都基本达成 第一节“数系的扩充和复数的概念”的核心教学任务是引 了让学生了解实际需求和数学内部矛盾在数系扩展中的作用， 导学生分析自身对数的认知发展过程，结合数学史介绍，从中 但没有一个课例能让学生在重新认识实数范围内的几次数系扩 感悟实际需求与数学内部矛盾（数的运算规则、方程理论）在 充过程中感悟数系扩充的基本思想并通过类比把这些基本思想 数系扩充过程的作用，感受人类理性思维的作用，在感受的基 应用到从实数系到复数系的扩充中．没有引导学生自然合理地提 础上体会数系扩充的一般原理（解决矛盾、保持数的运算性质 出问题、自然合理地接受前人思想的启发，从而自然合理地想 的相容性）．到引入新数ｉ，并根据解决问题的需要和数系的扩充原则自然合 的时机介绍了数学史，但都没有引导学生从了解和认识数学史 中得到有效的启发，复数的有关概念还是由教师直接“教”给 基于上述分析，可针对本课主体学习内容（复数概念形成） １．创设情境提出问题 理地对ｉ的特征进行规定．因此，三个课例中尽管教师都在不同 设计如下的教学活动线索． （１）在解实数方程一 ＋ ＋ｃ＝０（ａ＝Ａ０）中，我们常常遇 学生的，而不是学生经过自己的探索得到的．这种把教材中体现 到方程没有实数解的情况，这样在解方程时，往往需要先判断 数学文化的要求理解为“数学文化介绍＋知识教学”的简单组 有没有实数解，在有实数解的情况下再讨论怎样解 ＝ 合，显然难以使学生在学习中达到“古为今用”的效果，因此， 这种数学文化的体现是肤浅的． Ｚｏ 生，我们想，能否想出一种方法使所有一元二次 其次，为解决“使方程 ｚ＝一１有解（或负数开平方）”问 方程都有解？ （２）从简单问题开始：设法使方程 ｚ＋１：０有解． ＋１＝０ 题，实数集到复数集的扩充活动是需要进行整体方案设计的， 需要经历从设想到验证再到概念形成的过程．学生的探究活动受 等价于 ＝一１，也就是要寻找一个数，使这个数的平方等于一１先前学习的数系的扩展过程的启发，从问题出发，经历设想、 （这在实数范围内当然是不可能的！）（造成认知冲突）．怎么办？ ２．搜索先前经验 检验和概念形成的过程，但三个课例中基本都是设想与概念形 成两个认知活动过程不加区分，对虚数概念规定的合理性没有 （１）以前，我们是否有解决类似问题的经验？比如，在七年 ｚ一２＝０有解吗？ 充分的检验，从而学生难以开展有效的真正的探究，教师很少 级时，我们在有理数范围内讨论问题，这时，没有有理数解；当我们还没有学习负数时，方程 ＋３＝０ 让学生说说自己的完整想法，在关键核心概念（复数概念）的 —— 学习中，都是由教师直接告知学生，而不是学生自己思考的结 有解吗？我们是怎样解决这些问题的？（引入新数，扩充数系，）如：自然数集Ｎ扩展到整数集ｚ， 果，因此，这三个课例中都没有引导学生进行真正有深度的思 在扩充后的新数系中解决问题．考和有价值的探究． 三、改进建议 使方程 ＋３＝０有解 ＝一３；把有理数集Ｑ扩充到实数集Ｒ， 使方程 ｚ一２＝０有解 ＝±、／ ． （２）回顾数系的扩充过程． （数学史介绍．） 本章学习内容的基本学习目标是理解复数的有关概念和几 何意义，掌握复数的四则运算，了解复数代数形式的加减运算 的几何意义；了解数系的扩充过程、扩充的动力和扩充方法， 感受人类理性思维的作用及数与现实世界的联系；核心教育价 值是理解复数的基本知识和感受数系扩充的数学历史文化．数学 文化不只是游离于数学认知活动之外的风景，而是体现在数学 知识的学习过程，融合于数学认知活动过程中；数学文化的真 正价值在于感悟欣赏的同时得到启发，并把这种数学思想方法 ①从社会发展需要来看． 记数的需要［＝＞记数的需要［＝ 自然数ｌ『 望望 兰兰兰 兰 １分数Ｉ网 扩展到非负有理数集 网 扩展到有理数集 扩展到实数集 中国数学教育［２００９年第１１期 ９ ②从数学学科本身矛盾解决看（如图２）． 分数的引入，解决了在自然数中不能整除的矛盾． 负数的引入，解决了在正有理数中不够减的矛盾． 无理数的引入，解决了有些非负有理数不能开平方的矛盾． 在上述设想下：根据设想（２）中的②：新数集中应包含下列 娄殳：口＋０・ｉ＝０（ａ∈Ｒ），０＋ｂｉ＝ｂｉ（ｂ Ｅ Ｒ），口＋ｂｉ（ ∈Ｒ， ｂ ｉｆ Ｒ），另一方面，新数集中的数应该都是ｉ与实数的各种运 算，可以表示成实数ｎ，实数ｂ与ｉ的四则运算形式，都可以表 示成。＋ｂｉ ∈Ｒ，ｂｆｉ Ｒ）的形式，记作：＝。＋ｂｉ（ｎＥＲ，ｂ∈ ， （３）数系扩充的经验总结． 的需要． ①数系的扩充既是生活实际的需要也是解决数学内在矛盾 于是新数集合可以表示为Ｃ：｛ｏ＋蚓。∈Ｒ，ｂ∈Ｒ｝． （２）这样的设想能解决开始的问题吗？即方程 ：＋１＝０在 ②数系的扩充是为了在新数系中能解决实际问题或数学内 新数集中有解吗？在新数集中，一１能开平方吗？—— ＋１＝０ 在矛盾． 的解为 ＝±ｉ， ＝ｉ． ③扩充后的新数系中的数之间的运算应与原数系中的运算 （３）这样的新数集与原来的实数集有什么关系？——Ｒ Ｃ 至此，问题得到解决． ４．把设想变成规定 规则一致，并且保留运算律（加法和乘法的交换律、结合律， 且Ｒ≠Ｃ． 乘法对加法的分配律）． ３．类比先前经验．解决问题 类比： 原因： ＋１＝０无自然数解 ０—１不能减 引导学生整理自己的设想，并形成新知． 定义１：满足下面两个条件的数ｉ叫虚数单位： （ ｉ ＝一ｌ； ｉ 目标： ＋１＝０有解， ＝一１ ０—１能减，０—１＝一１ ②ｉ与Ｒ中的数可以像实数之间一样进行运算，且所有运 方法：弓 １＋（一１） 算律（加法结合律、交换律，乘法结合律、交换律，乘法对加 法的分配律）都满足． 定义２：形如。＋ｂｉ（ｏ∈Ｒ，ｂ Ｅ Ｒ）的数叫做复数，当ｂ＝ ０时，它是实数；当ｂ≠Ｏ时叫虚数；当８＝０，ｂ≠０时叫纯虚 数；ｎ＋ｂｉ＝（ｋ ＝０且ｂ＝０． 实数集扩充一？ 原因： ＋１＝０无自然数解， 一定义３：数集ｃ＝｛口＋６ｉｌ口Ｅ Ｒ，ｂ∈Ｒ｝叫做复数集． 复数包括实数和虚数，形如ｂｉ（ｂ Ｅ Ｒ，ｂ≠Ｏ）的纯虚数是 一种特殊的虚数． １不能开平方 方法：引入 定义４：复数可以用 表示，记作ｚ＝口＋６ｉ（ｎ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ），其 中。叫做ｚ的实部，ｂ叫做ｚ的虚部． 在复数集中，方程 ｚ＋ｌ＝０的解为 ＝±ｉ，仃是，当△＜０时，方程 一Ｊ 目标： ＋１＝０有解， ＝？ 一＝ｉ，于 １能开平方，、／二ｒ：？ ＋ ＋Ｃ＝０（。≠Ｏ）的解是：札２＝ ｂ ４－Ｖ ｉ ５．新知运用练习（略） 设想：让学生提出扩充实数集的设想． （１）引入新数——记为ｉ． （２）规定规则： ６．进一步思考 （１）复数分类：如图１所示． （２）复数相等的定义：ｎ＋ｂｉ＝Ｃ＋ｄｉ甘０＝ｃ，ｂ＝ｄ． （３）拓展练习（略）． ①ｉ ＝一１； ②ｉ与Ｒ中的数可以像实数之间一样进行运算，且所有运 算律（加法结合律、交换律，乘法结合律、交换律，乘法对加 法的分配律）都满足； ７．回顾小结（略） ③新数集中的数之间可以进行四则运算，其中实数运算法 则与原来一样，新数集中的加法和乘法满足运算律（加法结合 律、交换律，乘法结合律、交换律，乘法对加法的分配律） （可以引导学生提出，但留以后讨论）． 思考：（１）这样得到的新数集中的数有哪些？怎样表示？ １ ０［２００９年第１ １期ｊ中国数学教育
