苏教版高中数学选修21期末测试题

江苏省淮安市四星级高中2010-2011学年度第一学期期末考试 高二数学试卷

命题：江苏省盱眙中学数学组 注意事项：

1、本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15～第２０题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟；

2、请将试题的答案写在答题纸的规定位置，写在其它区域无效，考试结束后，交回答题纸。 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）请将答案填在答卷相应的横线上。 1、函数ysin2x的最小正周期T= ☆ 。 2、复数z(1i)i的实部是 ☆ ；

3、写出命题：“xR，使x2xa0”的否定为 ☆ ；

2x8y的焦点坐标为 ☆ ； 4、抛物线

25、若将一枚硬币连续抛掷三次，则出现“至少一次正面向上”的概率为 ☆ ；

36、函数f(x)xsinx的导函数是 ☆ ；

7、已知向量a和b的夹角为120，|a|3,|b|4，则a•b ☆ ；

08、关于不重合的直线m,n及平面,，下列命题为真命题的是 ☆ （填写所有真命题的序号）

①若m//,n//,//，则m//n； ②若m//n,m,n，则； ③若m,m//n，则n//； ④若m,mn，则n。 9、在等比数列

{an}中，

a10,a2a42a3a5a4a625，则

a3a5 ☆ ；

2210、已知a，b，c均为实数，b4ac0是axbxc0的 条件

（填“充分不必要”、 “必要不充分” 、 “充要” 、“既不充分也不必要”中的一个）。 11、如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线是l，

y 4.5 l 则f(2)f(2)= ☆ ．

12、根据下面一组等式： ………… 可得

O 2 4 y=f(x) x s1s3s5s2n1 ☆ ．

(第11题图)

x2y221(a0，b0)2FFab13、已知双曲线的左、右焦点分别为1，2，P是准线上一点，

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且PF1PF2，

PF1PF24ab，则双曲线的离心率是 ☆ ．

2f(x)mxlnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围 ☆ ； 14、已知函数

二、解答题（本大题6小题，共90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分） 已知数列（1）求

{an}是一个等差数列，且

a21，

a55。

{an}的通项

an；（2）求

{an}前n项和

Sn的最大值。

16、（本题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的中点．

P 求证：（1）EO∥平面PAD； （2）平面PDC⊥平面PAD．

E 17、（本题满分15分） 已知向量m(3sin2x2,cosx),n(1,2cosx),设函数f(x)mn. D f(x)（1）求的最小正周期与单调递减区间。

O A f(A)4,b1,△ABCB （2）在△ABC中，a、b、c、分别是角A、B、C的对边，若的面C 3积为2，求a的值。

18、（本题满分15分）

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小． （1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？

（2）如防洪堤的高在[3,23]的范围内，外周长最小为多少米？ 19、（本题满分16分）

22xy2交x轴于A，B两点，曲线已知：如图，圆O：

2C是以AB为长轴，离心率为2的椭圆，其左焦点为Ｆ，

若Ｐ是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Ｑ。

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（1）求椭圆的标准方程； （2）若点P的坐标为（1，1）， ①求线段PQ的长；

②求证：直线PQ与圆O相切； 20、（本题满分16分） 已知函数f(x)lnxax(aR).

（1）当a2时，求函数f(x)的单调区间； （2) 当a >0时，求函数f(x)在[1,2]上最小值.

江苏省淮安市2010-2011学年度高二第一学期期末考试 数 学 参 考 答 案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）请将答案填在答卷相应的横线上。

722 2、1、—1 3、xR，使x2xa0 4、0,2 5、8 6、f(x)3xcosx

1[,)493n7、-6 8、② 9、5 10、 既不充分也不必要 11、 12、 13、 14、2

8

二、解答题（本大题6小题，共90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

a15、解：（Ⅰ）设n的公差为d，由已知条件，

解出所以

a1d1a14d5，

a13，d2 …4分

……………………………………7分

ana1(n1)d2n5（Ⅱ）

Snna1n(n1)dn24n4(n2)2……………………………………12分 2取到最大值4． ………………………………14分

所以n2时，

Sn16、（1）证法一：连接AC．

因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点．

又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．……………………………………………4分 因为PA平面PAD，EO/平面PAD，所以EO∥面PAD．……………………7分 证法二：取DC中点F，连接EF、OF．

因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC． 在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD． 因为OF/平面PAD，AD平面PAD，所以OF//平面PAD． 同理，EF//平面PAD．

因为OF∩EF＝F，OF、EF平面EOF，

所以平面EOF//平面PAD． ………………………………………………………4分

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因为EO平面OEF，所以EO∥平面PAD．……………………………………7分 证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN．

∥1CD，ON∥1AB． 因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EM＝＝22∥CD，所以EM∥ON． 在矩形ABCD中，AB＝＝

所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．…………………………………4分

因为MN平面PAD，EO/平面PAD，所以EO∥面PAD． ………………………7分

（2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．…………………………………9分

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD．……………………………………………………………………12分 又因为CD平面PDC，

所以平面PDC⊥平面PAD． …………………………………………………………14分 证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F．

因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD．

因为CD平面ABCD，所以PF⊥CD． ………………………………………………9分

因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．………………………………………………11分 因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．………………………………………………12分 又因为CD平面PDC，

所以平面PDC⊥平面PAD．……………………………………………………………14分 17、解：（I）m(3sin2x2,cosx),n(1,2cosx),

2sin(2x6)3 …………4分

T22 …………5分

f(x)的单调减区间为[k（II）由f(A)4得

2,k](kZ)63 …………7分

A3

…………10分

c2 …………12分

a3

…………15分

18、解：（1）

632311h(ADBC)h02，AD＝BC+2×htan60=BC+3，………………2

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分

63123(2BCh)h23，

BC解得

633hh3．…………………………………………………………4分

l2ABBC2h63363h3h62h3hsin60

设外周长为l，则

3h当

63h，即h6时等号成立．…………………………………………8分

外周长的最小值为62米，此时堤高h为6米． ………………………………………9分

3h（2）

6363(h),hh设3h1h223，

h2则

666h1(h2h1)(1)0h2h1h1h2，l是h的增函数，…………………12分

63533(米)．（当h3时取得最小值）．……………………14分

∴

lmin33答：（1）外周长的最小值为62米，此时防洪堤高h为6米；

（2）外周长最小为53米 ………………………………………………15分

x2y221(ab0)2b19、解：（1）设椭圆的标准方程为a

22因为圆O: xy2交x轴于A、B两点，所以AB=22

即2a22,a2 ………………………………………………………………3分

2而椭圆的离心率为2，所以c1，故b1… ………………………………………5分

x2y21因此椭圆的标准方程为2 ………………………………………………6分

（2）①由（1）知椭圆的左焦点F(—1，0)，而点P（1，1）

y所以直线PF的方程为

1(x1)2 ………………………………………………8分

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直线QO的方程为y2x …………………………………………………………10分 而椭圆的左准线方程为x2 所以点Q的坐标为（—2，4）

因此PQ32 ……………………………………………………………………12分 ②证明：直线PQ的方程为：y(x1)1，即xy20…………………………14分

而点O到直线PQ的距离为d2r

所以直线PQ与圆O相切 …………………………………………………………16分

20、解： (Ⅰ)

f(x)12x (x0), …………………2分

①由

f(x)11200xx2 …………………4分 ，得1120xx2 ……………………………6分 ，得

②由

f(x)11(0,)[,)2,单调减区间是2故函数f(x)的单调递增区间为. ……………… 8分

11(Ⅱ)①当a,即a1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,

∴f(x)的最小值是f(2)ln22a. ………………10分

112a2时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数， ②当a，即

∴f(x)的最小值是f(1)a. ………………12分

③当

111112a1[1,][,2]a，即2时，函数f(x)在a上是增函数，在a是减函数．

又f(2)f(1)ln2a，

1aln22∴当时,最小值是f(1)a；

当ln2a1时,最小值为f(2)ln22a. ………………15分

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综上可知,当0aln2时, 函数f(x)的最小值是f(x)mina；当aln2时，函数f(x)的最小值是f(x)minln22a. ………………16分