通项公式

1、观察归纳法

已知数列前若干项，求该数列的通项公式时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式。一般从以下几个方面考虑：

nn1-1-1（1）符号相隔变化用或来调节；

（2）分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，并注意分子与分母的联系；

（3）分别观察奇数项与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项公式；

（4）观察是否与等差数列和等比数列相联系；

（5）分析相邻项的关系。

例1：根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式。

248246810-3，5，7，...；（2）3，15，35，63，99，...；

（1）1，

-2、由Sn求an

S1n1anSnSn1n2可求得通项公式an。注意对n1与n1的讨论。 利用

a13n1SnanSnnN，且a4，求数列an的通项2例2：设数列的前n项和为，

公式。

3、累加法（叠加法）

累加法适用于an1anfn型。

解题思路为：（1）将原递推公式转化为anan1fn1，an-1an2fn2，...，

a2a1f1，格式相加，正负抵消，即得an；（2）利用迭代法，anan-1fn-1an2fn-2fn-1...fn-1fn-2...f1a1。

特殊情形有：（1）差后等差数列：

an1anpnq；（2）差后等比数列：

an1anbn。

2n1anan1n1ana2n例3：已知数列满足，a12，求数列an的通项公式。

4、累乘法

累乘法适用于an1fnan型。

anfn1an1an-1fn2an2a2f1a1解题思路为：（1）将原递推公式转化为，，...，，各

anfn1fn2...f1a式相乘，得1，即得an；（2）利用迭代法，anfn1an1fn1fn2an2fn1fn2...f1a1。

an12nanan例4：已知数列满足，且a11，求an。

5、辅助数列法

（1）递推公式为anpan1q[其中p，q为常数，pqp1q10型]

满足anpan1q型的数列an的通项公式的求法：①利用待定系数法将其变形为

anpan1，再设anbn，则bn即为b1a1为首相，p为公比的等比数列，求出

bn的通项公式，从而求出an；②由anpan1q，得an1panq，则an1anpanan1，

则an1an是等差数列，从而求出an。

例5：已知数列an满足an13an2nN，a11，求通项公式。

[其中p，q均为常数，pqp1q10型]

（2）递推公式为

anpan1qn1anpan11n1nnqqqqq，引入辅助数列bn，一般地，先在原递推公式两边同除以，得（其中bnanp1bbnn1qn）qq，再应用类型（1）的方法解决。 ，得

an12an32na12an例6：已知数列满足，，求数列an的通项公式。

dan1can1d（其中c，d为常数）

（3）递推关系为

anan3an1a1an2an15例7：已知数列中，，，求an的通项公式。