第３４卷第５期 太原科技大学学报 Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．２０１３ ２０１３年１０月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩＹＵＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ 文章编号：１６７３—２０５７（２０１３）０５—０３８８—０２ 一类时滞差分方程解的吸引性 景冰清 （山西大学商务学院理学系，太原０３００３１） 摘要：研究一类变系数时滞差分方程周期解的吸引性，利用单调有界原理证明了方程的每个非振 动解Ｐ 趋于周期正解 再利用微分中值定理，给出了方程周期正解的全局吸引性的充分条件。当６ 和卢 为常数时，结果即为已知文献的相关结论，具有一定的理论意义和较强的实际应用价值。 关键词：时滞；差分方程；全局吸引性；周期正解；吸引子 中图分类号：０１７５ 文献标志码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－２０５７．２０１３．０５．０１３ Ｍａｃｋｅｙ ａｎｄ Ｇｌａｓｓ在文献［１］中将时滞微分 方程： 个非振动解Ｐ 趋于周期正解 ，￣［１ｌｉｍ（ｐ 一 ）＝０． 证明：对于充分大的 ，假设Ｐ ＞Ｐ—ｎ＂令Ｐ ＝ ＋ ｐ ）一 ）＋ （１） ，要证明ｌｉｍ（ｐ 一 ＝０成立，只需要证明ｌｉｍｚ ＝ 作为动物体内红血细胞再生模型，其中６，口， 都是 ０，由（２）与Ｐ ＝Ｐ—ｎ＋ 知ｚ ＞０，且满足： ｚ ＋１一 ＋６ ＋ｇ （ｚ 一 ）＝０ 这里： ｕ＝ 一正常数。随后，文献［２—８］进一步研究了方程（１）的 振动性和吸引性及更一般化的方程。本文考虑变系 数周期时滞差分方程： ｐ ＋ 一ｐ ＝一 ， ＋ — （３） 的解的吸引性问题。对于方程（２），假设下列条件 成立： 注意到ｇ （０）＝０，ｇ （ ）＞０（／Ｚ＞０），当Ｍ＞ ｉ； ： （２） ０，ｇ （“）＞０，由（３）有＝ 一 ＋６ ＜０，这里 南㈩ ＞ ＞０，则ｚ 是单调递减的，且ｌｉｍ ＝０． 当Ｐ ＜ 时类似可证ｌｉｍ ｚ ＝０． 定理２ 假设（ｉ）、（ｉｉ）、（ｉｉｉ）成立，对于任 （ｉ）Ｐ一 ，Ｐ一 ＋１，Ｐ一 ＋２，…，Ｐ一１∈［０，＋。。）， Ｐ０＞０； （ｉｉ） ＋ ＝ ， ＋ ＝６ ，∞∈Ｎ，０＜６ ＜１， ＪＢ ＞０， ∈Ⅳ； 意的ｂ ，满足∑ｂ ＝∞，且： ０≤ｂ ≤ｄ ：＝ （ｉｉｉ）１—６ ＝ｅ—Ｊ ｒ＋一１ ，卢 ＝ｌ芦（十ｌ一 ￡）ｅ一＾ｒｎ ＋ｌ一 ｄｔ． 方便起见，记： （ｍ＋１） （ｍ－１） ｆｉ ｌｉｍ（Ｐ 一Ｐ ）＝０． （５） ＝ｍａｘ｛ＩＢ ，…，１３ ｝， ＩＢ ＝ｍｉｎ｛ＪＢ ，…， ｝ ＝ｍａｘ｛ ｌ，…， ｝， 。＝ｍｉｎ｛６１，…，６ ｝ 线性方程Ｙ 一Ｙ ＋ｂｎｙ 一 ＝０的所有解趋于 ０，则方程（２）的周期解是一个全局吸引子，即 显然，０＜卢。≤卢 ，０＜ 。≤ ’． 定理１ 设（ｉ）、（ｉｉ）、（ｉｉｉ）成立，则方程（２）的每 收稿日期：２０１３－０４－０９ 证明：设｛ｐ ｝是方程（２）的一个解，由Ｐ ＝ ＋ 基金项目：山西省自然科学基金（２０１３０１１００３—３）；山西大学商务学院基金（２０１２０５０） 作者简介：景冰清（１９７８一），女，讲师，硕士，主要研究方向为微分方程。 第３４卷第５期 ｚ 知，ｚ 满足时滞差分方程： 陈慧杰，等：一类时滞差分方程解的吸引性 ３８９ 参 … 考 ｚ ＋１一ｚ ＋ 。 ＋ｇ （ｚ 一 ）＝０ ｎ—＋∞ （６） ｄ 在（５）中定义，另外∑ｂ ＝∞，由假设条件 ｒｔ＝１ 这里，ｇ （Ｍ）在（４）中已定义，且ｌｉｍ（ｐ 一Ｐ—ｎ）＝ ０，即ｌｉｍ ＝０．对于任意的ｎ，ｇ （０）＝０，则方程 ｎ—÷∞ ｌｉｍ Ｙ ＝ 一Ｐ ）＝０ ｂ 是收敛的，而ｌｉｍｚ ≠０，由于０＜ 假设ｓ＝∑ ｎ：１ （６）变为 ＋ 一ｚ ＋ ＋ｇ （ｚ 一 ）一ｇ （０）＝０．由 ＜ 一 ＜１且 是周期的，由式（８）知数列｛Ｙ ｝是无界 ｘ Ｉ Ｙ Ｉ，‰的。由（９）有Ｉ Ｙ Ｉ≤Ｉ Ｙ Ｉ＋ｂ ｍａＯ 微分中值定理可得： ＋１一 ＋６ ｚ ＋Ｆ （ ）ｚ 一∞＝０，０＜ （７） ０ Ｏ ， ＝ 一 ≤ ≤ｎ ｍａＤ 叫≤ ≤ｎ ≤ ｘ ｌ Ｙ ｌ， 川＝（１＋ｂ ） ．则对于任意的ｎ， ，＞ ， Ｆ （ ）： （ ）≤ｍ ａｘ 邶 一 （１＋ ） ≤ ｄ ≥ Ｙ ．由于Ｉｎ（１＋ ）≤ｕ（ｕ≥０），贝０ ＋ｌ＝ ＋ｂ ）＝ 。ｅ。ｌ 凰‘¨ ≤ ０ｅ ≤Ｘ０ｅ ＜∞， ‰丌（１ ｋ＝０ Ｙ ≤ （ｍ＋１） （ｍ一１） ｍ－１在 ：（ ｍ－１） 时取得最 接下来，／Ｌ ≤ｘｏｅ 也是有界序列。因而对于 大值。 ＞０时Ｆ （ ）＞０且 ＝Ｐ—ｎ＋“＞０令： ｚｎ Ｙｎ ∑ｂ ＜∞的情况，周期解｛ ｝也是一个吸引子。 ９ 、 ｎ＝１ ＦＩ（１—６ｉ） （８） 注１：当艿 和 为常数时，结果即为文献［３］和 文献［５］的相关结论，与常系数相比，变系数方程更 能贴切的反映客观实际。 则：ｙ ＋１一Ｙ ＋ｂ．ｚ 一 ＝ 文献 Ｏ 可 ＭＡＣＫＥＹ Ｍ Ｃ，ＧＬＡＳＳ Ｌ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎａｎｄ ｃｈａｏｓ ｉｎ ｐｈｙｓｉｏｌｏｇｉｃａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９７７，１９７：２８７－２８９． 得 ＩＶＡＮＯＶ Ａ Ｆ．Ｏｎ ｇｌｏｂａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍｏｄｌｅ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，１９９４，２３：１３８３—１３８９． ＳＡＫＥＲ Ｓ Ｈ．Ｑｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｈｅｍａｔｏｐｏｉｅｓｉｓ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ ｔｉｍｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，２００３，１３６（２— ３）：２７－３６． 耋ｌ ＥＩ－ＭＯＲＳＨＥＤＹ Ｈ Ａ，ＬＩＺ Ｅ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｏ ｅｑｕｌｉｂｒｉａ ｉｎ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｊ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｅｑｕ Ａｐｐｌ，２００５，１１：１１７— １３１ ［５］ ＺＡＧＨＲＯＵＴ Ａ，ＡＭＭＡＲ Ａ，Ｅ１一ＳＨＥＩＫＨ Ｍ Ｍ Ａ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｉｎ ｄｅｌａｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｄｙｎａｍｉｃｓ ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，１９９５，１：１５１－１６１． ［６］ ＳＡＫＥＲ Ｓ Ｈ，ＡＧＡＲＷＡＬ Ｓ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｎｄ ａｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｕｒｖｉｖａｌ ｒｅｄ ｂｌｏｏｄ ｃｅｌｌｓ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｄｙｎ Ｃｏｎｔｉｎ Ｄｉｓｃｒ Ｉｍｐｕｌ Ｓｙｓｔ Ｓｅｒ Ａ：Ｍａｔｈ Ａｎａｌ，２００５，１２：４２９－４４０． ［７］ 景冰清．一类脉冲时滞微分方程解的吸引性［Ｊ］．太原科技大学学报，２０１２，３３（３）：２３１．２３４． ［８］ ＹＡＮ ＪＵＲＡＮＧ，ＺＨＡＯ ＡＩＭＩＮ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｌｏｂａｇｌ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｎ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｌａｌｅｅ ｅｆｆｅｃｔｌ Ｊ】．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００５，３０９：４８９－５０４． Ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｄｅｌａｙ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＪＩＮＧ Ｂｉｎｇ－ｑｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３００３ １，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｅｖｅｒｙ ｎｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｐ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｐ ｗａｓ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅ ｓｕｆｉｃｉｅｎｔｆ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇｌｏｂａｌｌｙ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅ— ｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗａｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌ ｍｅａｎ ｖａｌａｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｗｈｅｎ ６ ａｎｄ ｃｉｅｎｔｓ，ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｍｏｒｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ． ａｒｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｉｆ— Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｅｌａｙ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｇｌｏｂａｌｌｙ ａｔｔｒａｃｔｉｖｉｔｙ，ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｔｔｒａｃｔｏｒ
