不同坐标系之间的变换

§10.6不同坐标系之间的变换

10。6.1欧勒角与旋转矩阵

对于二维直角坐标，如图所示,有：

x2cosysin2sinx1y(10—8）

cos1

在三维空间直角坐标系中,具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示,设旋转次序为： ①绕OZ1旋转Z角，OX1,OY1旋

00OX,OY转至；

0OX,OZ1旋②绕OY旋转Y角

00OX,OZ转至； 200OY,OZOX③绕旋2旋转X角,

转至OY2,OZ2.

X,Y,Z为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与

它相对应的旋转矩阵分别为：

01R1(X)0cosX

0sinXcosYR2(Y)0

sinYsinX (10-10） cosX00sinY100cosY128

）

cosZsinZ0

R3(Z)sinZcosZ0001 令 R0R1(X)R2(Y)R3(Z) 则有：

X2X1X1 YRZ1(X)R2(Y)R3(Z)Y1R0Y21 2Z1Z1代入：

cosYcosZcosYsinZR0cosXsinZsinXsinYcosZcosXcosZsinXsinYsinZsinXsinZcosXsinYcosZsinXcosZcosXsinYsinZ一般X,Y,Z为微小转角，可取：

cosXcosYcosZ1sinXX,sinYY,sinZZsinXsinYsinXsinZsinYsinZ0

于是可化简

ZYR101

ZXYX1 (10—16）

测绘数据处理

（10—11

(10-12）

（10-13)

（10-14） sinYsinXcosYcosXcosY129

测绘数据处理

上式称微分旋转矩阵.

10。6.2不同空间直角坐标之间的变换

当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一

个尺度变化参数，共计有七个参数.相应的坐标变换公式为：

X2X10Y(1m)Y21ZZ2Z1Y）

Z0XYX1X0YYX10(10—170Z1Z0上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有7个转换参数，为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可按最小二乘法求得个参数的最或是值。 10。6。3不同大地坐标系的变换

对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同大地坐标系的换算公式. 由（7-30)式

130

测绘数据处理

X(NH)cosBcosLY(NH)cosBsinL 2Z[N(1e)H]sinB取全微分得

dXdY dZ式中

XLYJLZLXBYBZBdLdaJdBA（10—19) d dHXH(NH)cosBsinL(MH)sinBcosLcosBcosLY(NH)sinBcosL(MH)sinBsinLcosBcosLH0(MH)cosBsinBZH（10—20）

XaYAaZaXYZMN2cosBcosLcosBcosLsinBa1NMcosBsinLcosBsinLsin2B1aN(1e2)sinBMsinB(1cos2Be2sin2B)1a (10—21）

上式两端乘以J1并加以整理得：

dLdXdBJ1dYJ1Adad  dHdZ式中

（10-22)

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测绘数据处理

dXX2X1dYYY21 dZZ2Z1dLL2L1dBBB21 dHH2H1顾及（10-21）式及

J1sinL(NH)cosBsinBcosLMHcosBcosLcosL(NH)cosBsinBsinLMHcosBsinL0cosBMH （10-23） sinB（10-22)式可写为:

sinLdL(NH)cosBdBsinBcosL MHcosBcosLdHcosL(NH)cosBsinBsinLMHcosBsinLX0cosBY0 MHsinBZ00tgBcosLsinL 2NesinBcosBsinLtgBsinLcosLNesinBcosBcosL21X0Y 0Z0N2esinBcosBm MH 22N(1esinB)H132

测绘数据处理

0Ne2sinBcosB(MH)aN22(1esinB)a0daM(2e2sin2B)sinBcosB(MH)(1)d

M222(1esinB)sinB1(10—24）

上式通常称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式.如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的大地坐标微分公式.根据3个以上公共点的两套大地坐标值，可列出9个以上（10-24）式的方程，可按最小二乘法求得8个转换参数。

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