厦门市一中2021届高三数学上学期12月段考卷附答案解析

一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案。1.如果集合U1,2,3,4,5,6,7,8，A2,4,8，B1,3,4,7，那么(ðUA)IBA．{4}B．{1，3，4，5，6，7}C．{1，3，7}D．{2，8}2.已知复数z满足z(1i)35i，则z的共轭复数zA．4iB．4iC．1iD．1i3.等差数列{an}中，a1a510，a47，则数列{an}的公差为A．1B．2C．3D．44.设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则P的一个充分条件是A．存在两条异面直线a，b，a，b，aP，bPB．存在一条直线a，aP，aPC．存在一条直线a，a，aPD．存在两条平行直线a，b，a，b且aP，bP5.学生甲、乙、丙报名参加校园文化活动，活动共有四个项目，每入限报其中一项，则甲所报活动与乙、丙都不同的概率等于39323A．B．C．D．4168186.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C，空气的温度是0C，tmin后物体的温度C可由公式0(10)e0.24t求得．把温度是100C的物体，放在10C的空气中冷却tmin后，物体的温度是40C，那么t的值约等于(参考数据：ln31.099，ln20.693)A．6.61B．4.58C．2.89D．1.697.已知O为ABC的外心，OA2OB6OC0，则ACB的正弦值为uuruuuruuurr

648.设抛物线y28x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2y24x30交于点P,Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP||QB|的最小值为A.22B.12C.38D.A．223B．225C．425D．423二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得3分，选错或不答得0分。6

9.在(x)的展开式中，下列说法正确的有A．所有项的二项式系数和为64C．常数项为201xB．所有项的系数和为0D．展开式中不含x2项2

10.已知函数fx3sin2x2cosx1，将fx的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数ygx的图象，若gx1gx24，则x1x2的值可能为A．5412B．3422C．2D．411.已知F1，F2是双曲线E:xyF1(a0,b0)的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别13a2b2交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM||MF1|，下列判断正确的是1A．PF2F1B．|MF2||PF1|62C．E的离心率等于23D．E的渐近线方程为y2x12.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信1形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”．半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则下列关于该多面体的说法中正确的是A.多面体有12个顶点，14个面B.多面体的表面积为3C.多面体的体积为56D.多面体没有外接球(即经过多面体所有顶点的球)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校高三年段有三个班级，人数分别为1班40人、2班45人、3班50人，在一次考试中，三个班级的平均分数分别为81分、86分、90分，则这次考试该年段学生的平均分数为▲．14.若,为锐角，tan，tan是方程x26x70的两个根，则▲．15.定义在R的偶函数f(x)在(,0)单调递减，且f20，则不等式xf(x1)<0的解集是▲.16.已知正项等比数列an中，a4a26, a5a115，则an_▲_，数列b1

1

n满足b12, bn11b；若nSn为数列an1bn的前n项和，那么S3n_▲_.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。17.(本小题10分)已知在中，为钝角，，．(1)求证：；(2)设，求边上的高．18.(本小题12分)厦门市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光．交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到如图示的列联表：闯红灯不闯红灯合计年龄不超过45岁67480年龄超过45岁2496120合计30170200(1)能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？(2)如图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图．请建立y与x的回归方程yˆbxˆaˆ，并估计该路口6月份闯红灯人数．n

n(adbc)2iyinxy附：K2x(ab)(cd)(ac)(bd)，bˆi1n，xii2nx2aˆybxˆ1

P(K2󰆆k)

0.0500.0250.00100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.82855参考数据：yii685，1xiiyi1966.1219.(本小题12分)如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB

D,E分别为线段AB,BC上的点，且CDDE2，CE2EB2.(1)证明：ED平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值.，2

20.(本小题12分)在①Snan1nn12n1；②an1an2Sn；③a12a22a32Lan2这三个条件中n26

.任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，满足(1)求an的通项公式；(2)若Tn为数列2

an

的前n项和，记bn

Tn21

，求证：b1b2Lbn.TnTn12

21.(本小题12分)x2y2

已知椭圆:221(ab0)在右、上顶点分别为A、B，F是椭圆ab23P2,2是椭圆上的点，且|OB|=|OF|(O是坐标原点).

的左焦点，(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相切于点M(M在第二象限)，过O作直线l的平行线与直线MF相交于点N,问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数(1)讨论(2)若证明：(i)的单调性；是；的两个零点．(ii)．3数学答案一、单项选择题：1.C2.A3.B4.A5.B6.B7.D8.D8.因为圆的方程为x2y24x30即为(x2)2y21，所以圆心(2,0)，半径R1，因为2|AP||QB|2(|AF|R)(|BF|R)，所以2|AP||QB|2|AF||BF|3，pp因为|AF|xAxA2，|BF|xBxB2，所以2|AP||QB|2xAxB3，22xmy2设l:xmy2，所以2，整理得x2(48m2)40，所以xAxB4，y8x则2|AP||QB|2xAxB3󰆆2xAxB3423，当xA2，xB22时取等号，二、多项选择题：9.AB10.ABD11.BC12.AC12.可将半正多面体补成棱长为1的正方体，故其顶点是正方体各棱的中点.2半正多面体的棱长为，表面积为S82

2326233，42

3

22115

体积可看作正方体扣去八个三棱锥，V18

626

又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以有外接球.三、填空题：13.86四、解答题：17.（1）证明：又314.4，15.,1U0,316.2

n1

8n1，7

，，（2）解：由（1）知即：又因为为锐角，，将，所以解得，···································4分········································5分代入上式并整理得：，．···········································································7分设得上的高为，则，故边上的高为，···················9分．············································10分·····18.解：（1）设H0:闯红灯的行为与年龄无关；·························1分200(6967424)25.8825.024，··································3分由列联表计算K

3017080120

所以假设不成立，在犯错误概率不超过0.025的前提下可认为闯红灯的行为与年龄有关即有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．-------------------------------------------5分241（2）由题意得，x(12345)3，-------------------------------------------6分51y(158143134130120)137；-------------------------------------------7分5ˆ所以bxyi15i5i5xy5x2xi121966531378.9，-------------------------------------------9分5559ˆ137(8.9)3163.7，-------------------------------------------10分ˆybxaˆ8.9x163.7，-------------------------------------------11分所以y与x的回归方程yˆ8.96163.7110.3；估计该路口6月份闯红灯人数为110（或111）．---12分x6时，yi19.解：（1）QPC平面ABC，DE平面ABC，PCDE．QCDDE2,CE2EB2，-------2分CDE为等腰直角三角形，CDDE．QPCICDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，DE平面PCD．--------------4分（2）由（1）知，CDE为等腰直角三角形，DCE．4如图，过D作DF垂直CE于F，则DFFCFE1，又已知EB1，故FB2．DFFB233由ACB，得DF//AC，，故ACDF．2ACBC322uuruuruur以C为坐标原点，分别以CA,CB,CP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，----------------------------------------------------------------------7分3则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A(，0，0)，E(0，2，0)，D(1，1，0)，2uuur1uuuruuurED(1，1，0)，DP(1，1，3)，DA(，1，0)．-------------------------------8分2r设平面PAD的法向量为n(x1，y1，z1)，x1y13z10rrruuuruuu由ngDP0，ngDA0，得1，取x12，x1y102r得n(2，1，1)．rruuu由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量mBD(1，1，0)，----------------10分rrrr3mgn3，故所求二面角APDC的余弦值为．---------------------------12分cosm,nrr6|m|g|n|620.解：Snan1.解：即2Snnan1，（i）n1时，2S1a2，即a22n2

（ii）n1时，2Sn1(n1)an，作差得2annan1(n1)an，即(n1)annan1

aaaaaa

即n1n，即n1n211综上ann.n1nn1n21解：（i）n1时，a1a22S1，即a22

1在横线上填写（ii）n1时，anan12Sn1，作差得(an1an1)an2an，又an0即an1an12

即a2k1a2k12，{a2k1}是以1位首项，2位公差的等差数列.则a2k12k1同理a2k+2a2k2，{a2k}是以2位首项，2位公差的等差数列.则a2k2k综上ann.5（i）n1时，an11，（ii）n1时，an12n112a22a32Lan21

6，作差得a2n1n2



nn1nn12n1n2，又an0即ann.a66综上nn.------------------------6分（2）T1

2

n

2(12n)

n22L2122n12，bTn22n1bn1Tn1TnTn1Tn11nTT

nTn1TnTn1TnTn1TnTn1Tnn1TnTn1

所以b1b11111111111

2Lbn

=TT++L+==-----------12分12T2T3TnTn1T1Tn122n+22221.解：（1）由题意可得bca2b2c2，解得a22，b21，c21，132a24b21椭圆C的方程为x22y21；---------------------------4分（2）设M(x0，y0)，QM在第二象限，故切线l的斜率存在，l的方程为ykxxyx2设直线0y0，即ykx0kx0，与椭圆2y21联立，整理得：(12k2)x24k(y20kx0)x2(y0kx0)20(*)因为直线与椭圆相切，所以△16k2(y0kx0)28[(y0kx0)21](12k2)0----------------6分整理得(2x2)k22kx200y01y00①(xyx2又因为点0)在椭圆上，所以020，2y01代入①得2y22x20k2kx0y002(2yx02)20，所以kx0k02y，0所以切线方程为yyx0022y(xx0)，即x0x2y0y2y0x202；---------------------8分0①M(1,

22)，直线MF:x1，则N(1,2②直线MF:yy2

),|MN|2.0x(x21)，联立两直线方程可得x2y02y02

01Nx022y02x02x0

|MN|2

y02(x01)2+y02(2y02x02[1(x)](x0xN)2

2x01(x01)20)2(x02)2(x2xx0

201102

)(22x)2

2(x02

4x04)=2，|(x2001)2(x02)2(x02)2MN|2为定值.22.解：（1）定义域，则当时，f'x0，在为增函数；········································1分6当时，x0,

1



a

,f'x0，在为增函数，x1

a,

,f'x0在为减函数·····················································3分（2）证明：（ⅰ）原不等式等价于，因为①②由②-①得，则，则等价于因为所以即证③等价于，设，设，③等价于，在上为增函．，，即------7分（ⅱ）设，则所以在上递增，在上递减因为有两个不相等的实根，则且易知对恒成立，则对恒成立，因为，所以又因为，，所以或因为且，所以因为，所以即·······················································································12分7